第三章 坐标变换与二次曲线的分类

1. 第三章　坐标变换与二次曲线的分类 • １　仿射坐标变换的一般理论 • ２　二次曲线的类型 • ３　用方程的系数判别二次曲线的类型和不变量 • ４　圆锥曲线的仿射特征 • ５　圆锥曲线的度量特征　　　

2. § 1.仿射坐标变换的一般理论 平面上给了两个仿射坐标系 我们研究同一个点(向量)在 和 下的坐 标之间的关系.设在 下的坐标为 在 下的坐标分别是 点M在 和 下 的坐标分别为 和 . 如图4.1,因为

4. 所以 将(1.1)写成矩阵形式 或 (1.1)或(1.2)称为平面点的仿射坐标变换公式。

5. 设向量 在 下的坐标为(u,v)，在 下的坐标 为 ，则 因此 将它写成矩阵形式 (1.3)或 称为平面向量的仿射坐标变换公式。

6. 和 的坐标向量之间的关系为 形式上可写成 矩阵 称为从坐标系 到坐标系 的过渡矩阵.

7. 注: 和 为同定向的直角坐标系的充要条 件是A为正交矩阵且|A|=1，此时 或 ; 与 为反定向的直角坐标 系的充要条件是A为正交矩阵且|A|=－1，此时 A= 其中，0≤θ<2π。

8. 设 和 均为右手直角坐标系 , 到 的转角(逆时针方向)为θ,则 若θ=0，则 （1.4）就是移轴公式。

9. 若O与 重合，则 （1.5）就是转角为θ的转轴公式。 平面上的任一右手直角坐标变换都可以经 过移轴和转轴得到。

10. 设 是空间的两个仿 射坐标系，在 下， 的坐标为 (i=1,2,3）, 那么形式上有 其中矩阵A=( )称为从 到 的过渡矩阵，且是可逆的。 设点M在 和 下的坐标分别为 , O’在 下的坐标为 ，向量 在 和 下的坐标分 别为 那么使用平面的坐标变换公式 的推导方法可以得到

11. 公式（1.6）称为从 和 的空间点的仿 射坐标 变换公式，公式(1.7)称为从 到 的空间向量的仿 射坐标变换公式。 如果 ， 都是直角坐标系，则可以证明A是正交矩 阵。进一步，如果 ， 是同定向的，那么|A|=1;如果 与 是反定向的，那么|A|=－1。

12. 例1在平面上，设 轴， 轴在原坐标系中的 方 程分别为 3x-4y+1=0, 4x+3y-7=0, 且新、旧坐标系都是右手直角坐标系。求 到 的点 的坐标变换公式；直线 :2x-y+3=0在新坐标系中的方 程；直线: 在原坐标系中的方程。 解 设原坐标系为 新坐标系为 解方程 得x=1,y=1.因此 在 中的坐标为（1，1）。 因为 轴的标准方程为： x-1 y-1 4 3

13. 所以 轴的方向数为4∶3，于是的 坐标为： 下面取 的 坐标 ；同样可得 的 坐标为 ;因此从 到 的点的坐标变换公 式为

14. 在新坐标系中的方程为 即 从 到 的点的坐标变换公式为 在 原坐标系中的方程为 即 2x-11y+14=0.

15. 例2在右手直角坐标系中，判断曲面 S: 是什么曲面. 解 考虑三个平面 2x+y+z=0, x-y-z=0, y-z=0, 它们的法向量分别是: 易知它们两两垂直，因而可以作为新的坐标系的三个 坐标轴的方向向量。 因为

16. 所以 依次构成右手系.因此取 分别 是新右手直角坐标系的坐标向量 , 即 三个平面的交点(0，0，0)作为新右手直角坐标系的原 点，因而从旧系到新系的点的坐标变换为: 由此可得 :

17. 曲面S在新的右手直角坐标系下的方程为: 即 故S是双曲抛物面。

18. 例3在平面右手直角坐标系中，方程 表示椭圆,作变换 得方程 已不能 反应原方程表示曲线的某些几何性质。