第七章假设检验

第七章假设检验 本章内容 • 7.1 假设检验的基本思想 • 7.2 总体标准差已知条件下均值双侧检验 • 7.3 案例研究：运输天数单侧检验 • 7.4 标准差未知时总体均值的假设检验 • 7.5 案例研究：顾客满意度假设检验 • 7.6 总体方差的假设检验下一页返回目录第7章假设检验

7.1 假设检验的基本思想 • 7.1.1 假设检验的基本思想 • 7.1.2 假设检验的基本内容上一页下一页返回本章首页第7章假设检验

7.1.1 假设检验的基本思想 1．假设检验命题例某粮食加工厂的包装部门欲对其包装进行检测。如果包装过程操作正确，每袋粮食重量服从均值为 16公斤，标准差为0.50公斤的正态分布。现随机抽取10袋作为样本，样本的平均重量是15.43 公斤。问样本平均重量与总体平均重量是否具有显著差异，以上数据能否证明包装工作过程正常。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

在统计学中，把需要通过样本去推断其正确与否的命题称为原假设，用Ho表示。与原假设相对立的假设便是备择假设，用Ha表示。在统计学中，把需要通过样本去推断其正确与否的命题称为原假设，用Ho表示。与原假设相对立的假设便是备择假设，用Ha表示。假设检验的目的是判断原假设是否正确，所以这里首先假定原假设正确，即每袋的平均重量是16公斤；然后, 通过Excel模拟抽样，从原假设的总体中获得样本；最后,判断样本均值15.43公斤是否符合条件。如果符合，说明样本与原假设是一致的，如果不符合，则说明样本与原假设不一致，即原假设不正确。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

2．模拟抽样 • 样本重量均值是15.43公斤，与总体均值16公斤相差0.57公斤。 • 那么判断0.57公斤的差异是由于随机因素造成的，还是由于包装过程中出现的质量问题，可以通过模拟抽样来进行分析。 • 已知粮袋的平均重量服从均值为16公斤和标准差为0.50公斤的正态分布,据此可用随机数生成工具模拟一个粮袋的填装重量，以检查0.57公斤的差异是否正常。 ①打开“第7章假设检验.XLS”工作簿，选择“模拟”工作表。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

②在“工具”菜单选择“数据分析”选项，打开“数据分析”对话框。在“分析工具”列表中选择“随机数发生器”，单击“确定”按钮，打开“随机数发生器”对话框如图所示。②在“工具”菜单选择“数据分析”选项，打开“数据分析”对话框。在“分析工具”列表中选择“随机数发生器”，单击“确定”按钮，打开“随机数发生器”对话框如图所示。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

③在“变量个数”选项中输入10，“随机数个数”选项中键入1。③在“变量个数”选项中输入10，“随机数个数”选项中键入1。 ④单击“分布”框，选择“正态分布”。在“参数”选项中输入均值16，标准偏差0.5。在“输出区域”中输入单元格A2，单击“确定”按钮。10个袋重量的数值将分别显示在单元格A2:J2中。 ⑤在单元格K1中输入“样本均值”。 ⑥在单元格K2中输入计算A2：J2中数值均值的公式“=AVERAGE(A2:J2)”,注意需要使用相对引用。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

⑦在单元格N1 中输入“总体均值”,在单元格O1处输入16。 ⑧在单元格L1中输入“离差”。 ⑨在单元格L2中放置样本均值与总体均值的离差绝对值，可以使用绝对值函数ABS输入公式，其公式为“=ABS(K2-$O$1)”，它表示样本均值K2与总体均值O1之差的绝对值。 ⑩返回随机数发成器对话框，再抽取一个容量为10的样本。不改变其他内容单击“确定”。将两次抽样的样本均值与总体均值进行比较。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

上面两个样本只是说明样本均值不可能完全等于16，如果观察大量样本，结果会更有说服力。下面利用Excel模拟1000个样本。上面两个样本只是说明样本均值不可能完全等于16，如果观察大量样本，结果会更有说服力。下面利用Excel模拟1000个样本。 ①打开随机数发生器对话框 ②由于重复前面的操作，只需将随机变量个数从1改为1000，单击“确定”按钮。 ③将单元格K2和L2中的公式复制到K3:L1001区域中的各个单元格中。K列中显示的是本行中的样本均值，L列显示的是样本均值与16的离差绝对值。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

3. 判断是否存在显著差异 在1000个样本中，如果样本均值与总体均值的离差绝对值小于0.57的样本非常少，那么上例中出现的0.57离差便可能是质量问题。反之，如果在1000个样本中，离差绝对值大于0.57的样本有许多，则上例中的离差则可能是出于偶然，不一定是质量问题。如何确定有多少样本均值与总体均值的离差小于0.57呢？一个简单的办法是：根据离差进行排序，以便样本均值与16相差最大的样本出现在最顶端。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

①选择单元格A1到L1001。 ②打开“数据”菜单中的“排序”选项，打开“排序”对话框如图所示。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

③在“当前数据清单”框中选择“有标题行”。③在“当前数据清单”框中选择“有标题行”。 ④单击“主要关键字”框中的下拉箭头，从列表中选择“离差”。选择 “递减”排序方式。 ⑤单击“确定”按钮，Excel将根据样本均值与16的离差值对模拟样本进行降序排列如图所示。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

从图中可以看出，在1000个样本中，样本均值与16的离差等于或大于0.57的样本是非常有限的。从图中可以看出，在1000个样本中，样本均值与16的离差等于或大于0.57的样本是非常有限的。这说明如果随机抽取均值为16，标准差为0.5，样本容量为10的1000个样本，其离差大于或等于0.57的可能性是很小的。随机抽取到离差为0.57公斤的样本的可能性是很小。换言之，包装过程中可能出现了某些问题，使总体均值不再是16公斤。因而拒绝接受总体均值等于16的原假设，而认为备择假设是正确的。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

如果样本平均重量为15.89公斤，将做如何解释呢？如果样本平均重量为15.89公斤，将做如何解释呢？此时样本均值与16相差为0.11，在1000个样本中离差超过0.11的样本所占比重约为0.40。这表明离差0.11（或更多）出现的可能性很大，它可能是由于随机原因引起，所以不能判断包装过程是否出错，无法拒绝原假设。假设检验的基本思想是应用小概率的原理。所谓小概率原理是指发生概率很小的随机数在一次试验中是几乎不可能发生的，根据这一原理，可以作出是否拒绝原假设的决定。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

7.1.2 假设检验的基本内容 • 假设检验的规则就是把随机变量取值区间划分为两个互不相交的部分，即拒绝区域与接受区域。当样本的某个统计量属于拒绝区域时，将拒绝原假设。落入拒绝区域的概率，就是小概率，一般用显著性水平表示。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

假设检验操作步骤： 1．构造假设根据研究问题的需要提出原假设和备择假设。在统计的假设检验中，总是原假设Ho（或）估计值，相应的备择假设用Ha，“<”或“>”估计值。 2．确定检验的统计量及其分布假设确定以后，决定是否拒绝原假设需根据某一统计量出现的数值，从概率意义上来判断，这取决于样本观察值。对于均值检验来说，当总体方差已知时，或大样本条件下，现象服从正态分布，可选用z统计量；如果在总体标准差未知，且小样本情况下，现象服从t 分布，则选择 t统计量。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

3．确定显著性水平 • 确定显著性水平以后，拒绝区域也就随之而定。 • 如果拒绝区域放在两侧，则称为双侧检验或双尾检验，两边各为a/2。 • 如果拒绝区域放在曲线一侧，称为单侧检验或单尾检验。 • 显著性水平性的大小可根据研究问题所需要的精确程度和可靠程度而定。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

4．确定决策规则 决策规则通常有两种方法。一种是临界值法，即统计量与临界值z或t进行比较，通常对于双侧检验，统计量绝对值大于临界值便拒绝原假设，小于临界值便不能拒绝原假设。另一种是P值法，它是将统计量所计算的z值或t值转换成概率P，然后与显著性水平进行比较。 • P<a，拒绝接受Ho，说明样本所描述的总体与原假设所描述的总体具有显著差异。 • P>a，不能拒绝Ho，说明所采用的检验方法不能证明样本所描述的总体与原假设所描述的总体具有显著差异。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

5．判断决策 在确定决策规则之后，就根据抽样观察结果，计算检验统计量的具体数值，按照决策规则作出统计决策。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

7.2 总体标准差已知条件下均值双侧检验 • 7.2.1 构造检验统计量 • 7.2.2 P值法 • 7.2.3 临界值法上一页下一页返回本章首页第7章假设检验

7.2.1 构造检验统计量 例  • 某企业购买金属板 • 供应商声称金属板的厚度渐近服从正态分布， • 其总体均值为15毫米，总体标准差为0.1毫米。 • 该企业随机抽取了50张金属板作为样本，测得样本均值为14.982毫米。 • 以0.05显著性水平，能否证明供应商提供的总体均值是正确的。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

①提出假设：原假设： Ho：μ=15； 备择假设：Ha：μ≠15。 ②统计量：由于总体服从正态分布且总体标准差σ已知，选z作为统计量。又因为如果样本均值显著大于或小于15，都拒绝原假设，故该检验是双侧检验。 ③确定显著性水平：根据题意可知显著性水平为a=0.05 。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

④决策规则 根据显著性水平可得下图。从图可以看出，临界值为1.96，所以，统计量绝对值如果大于1.96，则落入拒绝区域，拒绝原假设。同样，如果统计量的P值小于，则落入拒绝区域，拒绝原假设。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

进行假设检验： ①打开“第7章假设检验.xls”工作簿，选择“z双侧检验”工作表如图所示。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

②在单元格B4中输入总体均值15，单元格B5输入标准差0.1，在单元格E4中输入14.982，在单元格E6输入样本容量50。②在单元格B4中输入总体均值15，单元格B5输入标准差0.1，在单元格E4中输入14.982，在单元格E6输入样本容量50。 ③在单元格B6输入公式“=B3/SQRT(E3)”，计算标准误差，显示的值将是0.014142。 ④在单元格B9中输入显著性水平0.05。 ⑤在单元格E10中，输入计算统计量z值的公式“=(E2-B2)/B4”，显示值为-1.27279。要判断是否拒绝原假设，可以使用两种方法，一种是应将统计量z值转换成概率的P值法，另一种是将显著性水平转换成一个z值的临界值法。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

7.2.2 P值法 • P值法是将统计量z值转换成概率，即大于统计量z的绝对值的概率。下图中阴影区域的面积和即为该概率。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

Excel的标准正态分布函数NORMSDIST可被用来计算这个面积，返回小于已知标准正态变量的概率。Excel的标准正态分布函数NORMSDIST可被用来计算这个面积，返回小于已知标准正态变量的概率。如果变量值是负1.2729, 则标准正态分布函数NORMSDIST返回密度函数图中左侧阴影区域的面积；如果变量值为正1.27279，则NORMSDIST中将返回这个值左边区域的面积。它等于1减去密度函数图中右侧阴影部分的概率。此题所要求的是双侧阴影区域的面积，可以把由-1.27279所计算的概率加倍，即可得到该值。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

①在单元格E9中输入公式“=2*NORMSDIST(-ABS(E10))”，回车后得0.203092。 ①在单元格E9中输入公式“=2*NORMSDIST(-ABS(E10))”，回车后得0.203092。如果P值小于显著性水平，则拒绝原假设；否则，不能拒绝原假设。本例中P值是0.203092，大于显著性水平0.05，所以不能拒绝原假设。 ②选择单元格B13，打开“插入”菜单中“函数”选项，打开“粘贴函数”对话框如图所示。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

③在“函数分类”列表中选择“逻辑”类，在“函数名”列表中选择条件函数IF，单击“确定”按钮，打开条件函数IF对话框如图所示。③在“函数分类”列表中选择“逻辑”类，在“函数名”列表中选择条件函数IF，单击“确定”按钮，打开条件函数IF对话框如图所示。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

④在“logical-test”区域中输入“E9＜B9” ⑤在“Value-if-true”区域中输入“拒绝”。 ⑥在“Value-if-false”区域内，输入“不能拒绝”，单击“确定”键。在单元格B13中显示“不能拒绝”。在这个检验中，“不能拒绝”原假设是因为样本均值与假设总体均值(15)非常接近,它的离差可以通过概率(P值)大于显著性水平来解释。当样本均值为14.982时，它很接近供应商提供的总体金属板的均值，所以经过检验得出的结论是:没有证据证明供应商提供的总体均值是不正确的。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

如果样本均值远离15时会怎样解释呢？选择单元格E4并输入14.95，我们会看到统计量z值(用绝对值表示)增加到3.53553,P值减少到0.000407，P值小于显著性水平，此时便可以拒绝原假设。如果样本均值远离15时会怎样解释呢？选择单元格E4并输入14.95，我们会看到统计量z值(用绝对值表示)增加到3.53553,P值减少到0.000407，P值小于显著性水平，此时便可以拒绝原假设。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

7.2.3 临界值法 • 临界值法是将显著性水平转换成临界值，定义“拒绝区域”。落入拒绝区域中的z值的概率等于显著性水平所对应的阴影面积。对于双侧检验来说每个单侧的面积是显著性水平的一半。计算临界值需要使用函数NORMSINV。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

①选定单元格Ｂ10，选择“插入”菜单中“函数”选项，打开“粘贴函数”对话框 。 ②在“函数分类”列表中选择“统计”类，在“函数名”列表中选择函数“NORMSINV”。单击“确定”按钮，打开函数对话框如图所示。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

函数NORMSINV的对话窗口中只有一个参数“Probability”，即小于z值的标准正态分布函数的概率。对于上页图中的下限临界值z来说，这个概率就是左侧区域的面积。因为显著性水平给出的是双侧区域的面积，那么下限临界值z的概率就是它的一半。函数NORMSINV的对话窗口中只有一个参数“Probability”，即小于z值的标准正态分布函数的概率。对于上页图中的下限临界值z来说，这个概率就是左侧区域的面积。因为显著性水平给出的是双侧区域的面积，那么下限临界值z的概率就是它的一半。 ③在“Probability”区域内输入“B9/2”。单击“确定”按钮后，在B10单元格中显示z的下限临界值-1.95996。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

④选定单元格B10，公式“=NORMSINV(B9/2)”呈现在编辑窗口中，将光标切入编辑窗口，在公式前加上绝对值函数ABS（），得新公式“=ABS(NORMSINV(B9/2))”，敲回车键，得临界值1.95996。④选定单元格B10，公式“=NORMSINV(B9/2)”呈现在编辑窗口中，将光标切入编辑窗口，在公式前加上绝对值函数ABS（），得新公式“=ABS(NORMSINV(B9/2))”，敲回车键，得临界值1.95996。将检验统计量和临界值进行比较来决定是否拒绝原假设。如果检验统计量的绝对值小于临界值，则不能拒绝原假设；如果检验统计量的绝对值大于临界值，则拒绝原假设。也可以利用Excel创建公式，自动得出结论。方法如下：上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

①选定单元格B14，选择Excel“插入”菜单中“函数”选项，打开“粘贴函数”对话框①选定单元格B14，选择Excel“插入”菜单中“函数”选项，打开“粘贴函数”对话框 ②在“函数分类”列表中选择“逻辑”类，在“函数名”列表中选择条件函数IF，单击“确定”按钮，打开条件函数IF对话框。 ③在“Logical_test”的区域内输入“E10〉B10”。输入后，在该区域的右侧将会显示“FALSE”，这是因为E10中数值是1.27279,它小于临界值1.959961。 ④在“Value_if_true”区域中输入“拒绝”。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

⑤在“Value_if_false”区域中输入“不能拒绝”，单击“确定”按钮。⑤在“Value_if_false”区域中输入“不能拒绝”，单击“确定”按钮。 B13和B14都显示“不能拒绝”。将E4中的样本均值由14.982改为14.95，注意检验统计量变为-3.53553，而临界值的绝对值没变。B13和B14中将显示“拒绝”。当σ已知时，要完成任何双侧假设检验问题，只需在B4，B5，B9，E4和E5中输入相应的值，Excel中的工作表就可自动完成检验。以下页的问题为例：上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

例某企业生产家用磅秤，质量控制检验员想要检查磅秤的精度。当制造工序正常工作时，所有磅秤称量结果的均值为120公斤，标准误差为0.015公斤。质量检查员随机选取了30个磅称并用标准重量对它们进行检测。得到样本均值为120.01公斤。在显著性水平为0.01时，质检员能证明制造工序的工作不正常吗? 上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

原假设和备择假设分别为 Ho：μ=120, Ha：μ≠120。 • 在相应的单元格中输入总体均值，总体标准差，样本容量，样本均值和显著性水平。 • 正确输入后，样本z值是3.651484，P值是0.000261，z的下限临界值是2.575835。结论是拒绝原假设，质检员可以证明制造工序工作不正常。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

7.3 案例研究：运输天数单侧检验 • 某邮递家具公司收到了许多客户关于不按期送货的投诉。 • 该公司怀疑责任在于他们雇用的货物运输公司。 • 货物运输公司保证说它们的平均运输时间不超过24天，标准差为1.5天。 • 家具公司随机抽选50次运输记录，得知样本均值为24.49天 • 试以0.01的显著性水平对货运公司的保证作出判断。上一页下一页返回本章首页第7章假设检验

①提出假设：原假设：Ho：μ≤24； 备择假设：Ha：μ＞24 ②统计量：由于总体标准差σ已知，所以可以选z作为统计量。又因为如果样本均值大于24，便拒绝原假设，则该检验是单侧检验。 ③确定显著性水平：根据题意可知显著性水平为a=0.01。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

④决策规则：根据显著性水平可得下图。从图中可以看出，临界值为2.33,所以，统计量绝对值如果大于2.0537，则落入拒绝区域，需拒绝原假设。同样，如果统计量的P值小于a，则落入拒绝区域，需拒绝原假设。④决策规则：根据显著性水平可得下图。从图中可以看出，临界值为2.33,所以，统计量绝对值如果大于2.0537，则落入拒绝区域，需拒绝原假设。同样，如果统计量的P值小于a，则落入拒绝区域，需拒绝原假设。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

具体操作过程如下： ①打开“第7章假设检验.xls”工作簿，选择“z单侧检验”工作表如图所示。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

②在单元格B4、B5、E4、E5、B9中分别键入总体均值24、标准差1.5、样本均值24.9、样本容量50和显著性水平0.01。②在单元格B4、B5、E4、E5、B9中分别键入总体均值24、标准差1.5、样本均值24.9、样本容量50和显著性水平0.01。 ③选择单元格E9，输入公式“=(NORMSDIST(-ABS(E10)))”。按回车键。正确值显示为0.00000105025。 ④选定单元格B10，输入单侧检验公式“=ABS(NORMSINV(B9))”，按回车键，所显示值将为2.33。单元格B13和B14中都显示“拒绝”，它表明运输公司的保证是不可信的，平均运输时间可能超过24天。假如总体均值为24，从随机抽取的50个样本中，得到的均值为24或更大，如此之高的样本均值是不可能用偶然因素来解释的。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

7.4 标准差未知时总体均值的假设检验 • 在实际工作中，许多假设检验过程并无总体信息，因而需要使用样本标准差S代替总体标准差，这时可用t分布代替标准正态分布进行假设检验。 • 例某外资银行的一种特定类型的储蓄存款平均为$9350。为拓展业务，银行在异地开设了一家支行，经理想知道该支行的这种类型储蓄的平均存款与$9350是否相同。他随机抽取12个帐户，得到样本均值为$9323，标准差为$80。问以0.05为显著性水平，该经理是否有足够证据证明这家新分支机构平均储蓄不同于$9350。上一页下一页返回本章首页第7章假设检验

①提出假设：原假设：Ho：μ=9350； 备择假设：Ha：μ≠9350。 ②统计量：由于总体标准差σ未知，可选t作为统计量。又因为如果样本均值大于或小于9350，都拒绝原假设，该检验是双侧检验。 ③确定显著性水平：根据题意可知显著性水平为a =0.05。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

④决策规则：根据显著性水平可得下图。从图中可以看出，当显著性水平，自由度为11时，t临界值为2.201。所以，统计量t绝对值如果大于2.201，则落入拒绝区域，拒绝原假设。同样，如果统计量的P值小于,即0.025，则落入拒绝区域，拒绝原假设。④决策规则：根据显著性水平可得下图。从图中可以看出，当显著性水平，自由度为11时，t临界值为2.201。所以，统计量t绝对值如果大于2.201，则落入拒绝区域，拒绝原假设。同样，如果统计量的P值小于,即0.025，则落入拒绝区域，拒绝原假设。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

具体操作步骤如下： (1)输入数据 ①打开“第7章假设检验.xls”工作簿，选择“标准差未知t” 工作表如图所示。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

②在单元格B4中输入总体均值9350，单元格B5中输入标准差80，单元格E4中输入样本均值9323，单元格E5中输入样本容量12，单元格B9中输入显著性水平0.05。单元格B6中的标准误差与单元格E10中的统计量t值自动变化。②在单元格B4中输入总体均值9350，单元格B5中输入标准差80，单元格E4中输入样本均值9323，单元格E5中输入样本容量12，单元格B9中输入显著性水平0.05。单元格B6中的标准误差与单元格E10中的统计量t值自动变化。 (2)计算统计量t与P值使用样本标准差代替总体标准差，其计算方法并未改变，因此表中标准误差和检验统计量t的计算是正确的。但是Excel使用的分布函数和对该分布的解释与正态分布不同。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

为了确定临界值t，需要通过TINV函数将显著性水平转换成t值，TINV函数可以把已知参数概率解释为图中两个侧面阴影区域的面积。为了确定临界值t，需要通过TINV函数将显著性水平转换成t值，TINV函数可以把已知参数概率解释为图中两个侧面阴影区域的面积。 ①选定单元格B10，选择“插入”菜单中“函数”选项，打开“粘贴函数”对话框。 ②在“函数分类”列表中选择“统计”类，在“函数名”列表中选择TINV函数，单击“确定”按钮，打开TINV函数对话框如下页图所示。上一页下一页返回本节首页第7章假设检验

第七章 假设检验