第 23 课 平行四边形

1. 第23课　平行四边形

2. 1．n边形以及四边形的性质 (1)n边形的内角和为，外角和为，对角线条数为. (2)四边形的内角和为，外角和为，对角线条数为. (3)正多边形的定义：各条边都，且各内角都的多边形叫正多边形． 基础知识 自主学习 要点梳理 (n－2)·180° 360° 360° 360° 2 相等 相等

3. 2．平行四边形的性质以及判定 (1)性质： ①平行四边形两组对边分别平行且相等； ②平行四边形对角相等，邻角互补； ③平行四边形对角线互相平分； ④平行四边形是中心对称图形． (2)判定方法： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．

4. 3．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．3．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

5. [难点正本　疑点清源] 1．理解平行四边形相关概念 四边形的对边、对角与三角形中所说的对边、对角不同．在三角形 中，对边指一角的对边，对角指一边的对角；而在四边形中，对边指不 相邻的边，也就是没有公共顶点的边，对角指不相邻的角，邻边是指四 边形中有公共端点的边，邻角是指四边形中有一条公共边的两个角． 平行四边形的表示方法，一般按照一定的方向(顺时针或逆时针)依 次表示各个顶点． 2．正确运用平行四边形的性质、判定来解题 平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据，利 用平行四边形的性质，可以求角的度数、线段的长度，也可以证明角相 等、线段相等、线段平分线等问题．其关键是根据所要证明的全等三角 形，选择需要的边、角相等条件． 包括定义在内，平行四边形共有五种判定方法，对于不同的题目， 应通过仔细观察分析，选出合适的判定方法来解答，在实际运用中，要 注意性质和判定的联系和区别．

6. 3．三角形的中位线性质 三角形中位线性质为我们证明两直线的位置和数量关系提供 了一个重要的依据，当题目中遇到中点问题时，常作出三角形的 中位线．当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中 点，构造三角形中位线，进一步可以利用其证明线段平行或倍分 问题，可简单的概括为“已知中点找中位线”．

7. 1．(2011·绵阳)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条？()1．(2011·绵阳)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条？() A．0根 　　　　B．1根 C．2根 　　　　D．3根 答案　B 解析　画一条对角线，将四边形分成两个三角形，依据三角形的稳定性，这个木架不变形． 基础自测

8. 2．(2011·邵阳)如图所示，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是()2．(2011·邵阳)如图所示，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是() A．AC⊥BD B．AB＝CD C．BO＝OD D．∠BAD＝∠BCD 答案　A 解析　由平行四边形的性质，一定有AB＝CD，BO＝OD，∠BAD＝∠BCD，不正确的是AC⊥BD.

9. 3．(2011·广州)已知▱ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝3．(2011·广州)已知▱ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝ () A. 4 B．12 C．24 D．28 答案　B 解析　因为2(AB＋BC)＝32，所以AB＋BC＝16，BC＝12.

10. 4．(2011·义乌)如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长是4．(2011·义乌)如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长是 3 cm，则DE的长是() A．2 cm B．1.5 cm C．1.2 cm D．1 cm 答案　B

11. 5．(2011·潼南)如图，在平行四边形 ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论： ①AO＝BO； ②OE＝OF; ③△EAM∽△EBN； ④△EAO≌△CNO， 其中正确的是() A. ①② B．②③ C．②④ D．③④ 答案　B

12. 解析　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，AD∥BC，∴△EAM∽△EBN； 易证△EAO≌△FCO，∴OE＝OF； 综上，结论②、③正确.

13. 【例 1】(2012·恩施)如图，已知，在▱ABCD中， AE＝CF，M、N分别是BE、DF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形 . 题型分类 深度剖析 题型一　平行四边形的判定

14. 解　证明：由平行四边形可知，AB＝CD，∠BAE＝∠DFC.解　证明：由平行四边形可知，AB＝CD，∠BAE＝∠DFC. 又∵AE＝CF，∴△BAE≌△DCF， ∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD. 又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME＝NF. 又由AD∥BC，得∠ADF＝∠DFC， ∴∠ADF＝∠BEA，∴ME∥NF. ∴四边形MFNE为平行四边形．

15. 探究提高　探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：探究提高　探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形： ①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明； ②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明； ③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．

16. 知能迁移1(1)如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，证明：四边形AECF是平行四边形．知能迁移1(1)如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，证明：四边形AECF是平行四边形．

17. 解　证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF. 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，且 AB⊥CD ∴∠ABE＝∠CDF. 又∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF. ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形．

18. (2)(2012·郴州)已知：如图，把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB.(2)(2012·郴州)已知：如图，把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB. 求证：四边形ABDC是平行四边形． 解　证明： ∵△DCB是由△ABC旋转180°而得， ∴点A、D，点B、C关于点O中心对称， ∴OB＝OC，OA＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． (注：还可以利用旋转变换得到AB＝CD，AC＝BD相等； 或证明△ABC≌△DCB来证ABCD是平行四边形)

19. 【例 2】　已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm. 求□ABCD的周长和面积． 题型二　平行四边形相关边、角、周长与面积问题

22. 探究提高　平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题．探究提高　平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题．

23. 知能迁移2(1)在□ABCD中，对角线AC＝12，BD＝10，边AB＝m，则m的取值范围是()知能迁移2(1)在□ABCD中，对角线AC＝12，BD＝10，边AB＝m，则m的取值范围是() A．10<m<12 B．2<m<22 C．1<m<11 D．5<m<6 答案　C

24. (2)在□ABCD中，DB＝DC，∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝________.(2)在□ABCD中，DB＝DC，∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝________. 答案　25° 解析　在□ABCD中，∠DCB＝∠A＝65°. ∵DB＝DC， ∴∠DCB＝∠DBC＝65°. 在Rt△BCE中，∠BCE＝90°－65°＝25°.

25. 【例 3】　已知：如图，E、F分别是□ABCD的边AD、BC的中点，求证：AF＝CE. 题型三　运用平行四边形的性质进行推理论证

26. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

27. 证法二：在□ABCD中，AD∥BC， 且AD⊥BC.[2分] ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE＝AD，CF＝CB， ∴AE＝CF.[4分] 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． ∴AF＝CE.[6分]

28. 探究提高　利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件，也可以证明相关联的四边形是平行四边形．探究提高　利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件，也可以证明相关联的四边形是平行四边形．

29. 知能迁移3(1)(2011·宜宾)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.知能迁移3(1)(2011·宜宾)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF＝CE，BH＝DG. 求证：GF∥HE.

30. 解　证明：在平行四边形ABCD中，OA＝OC. ∵AF＝CE， ∴AF－OA＝CE－OC，∴OF＝OE. 同理得，OG＝OH. ∴四边形EGFH是平行四边形， ∴GF∥HE.

31. (2)(2011·常德)如图，已知四边形ABCD是平行四边形．(2)(2011·常德)如图，已知四边形ABCD是平行四边形． ①求证：△MEF ∽△MBA； ②若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线，求证DF＝EC.

32. 解　证明：①在▱ABCD中，CD∥AB， ∴∠MEF＝∠MBA，∠MFE＝∠MAB， ∴△MEF ∽△MBA. ②∵在▱ABCD中，CD∥AB， ∴∠DFA＝∠FAB. 又∵AF是∠DAB的平分线， ∴∠DAF＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF. 同理可得，EC＝BC. ∵在▱ABCD中，AD＝BC， ∴DF＝EC.

33. 【例 4】　如图，在 △ABC中，D是BC上一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分． 题型四　三角形中位线定理

35. 探究提高　当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题．探究提高　当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题．

36. 知能迁移4(1)(2011·铜仁)已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE、DF是的中位线，连接EF、AD.知能迁移4(1)(2011·铜仁)已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE、DF是的中位线，连接EF、AD. 求证：EF＝AD.

37. 解　证明：∵DE、DF是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DF∥AC. ∴四边形AEDF是平行四边形． 又∵∠BAC＝90°， ∴平行四边形AEDF是矩形． ∴EF＝AD.

38. (2)如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥CE，AN⊥BD，M、N分别是垂足，求证：MN∥BC.(2)如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥CE，AN⊥BD，M、N分别是垂足，求证：MN∥BC.

39. 解　证明：分别延长AM、AN交BC于P、Q. ∵CE平分∠ACB，AM⊥CE， ∴∠ACM＝∠PCM，∠AMC＝∠PMC＝90°. 又∵CM＝CM， ∴△ACM≌△PCM， ∴AM＝PM. 同理AN＝QN. ∴MN是△APQ的中位线， ∴MN∥PQ， 即MN∥BC.

40. 试题　如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，CD＝10 cm，BC＝8 cm，AB＝8 cm，AF＝5 cm，求此六边形周长． 易错警示 14．不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据

41. 学生答案展示　如图，连接EB、DA、FC，分别交于点M、N、P.学生答案展示　如图，连接EB、DA、FC，分别交于点M、N、P. ∵∠FED＝∠EDC＝120°， ∴∠DEM＝∠EDM＝60°. ∴△DEM是等边三角形． 同理，△MAB、△NFA也是等边三角形． ∴FN＝AF＝5，MA＝AB＝8. ∵∠EFA＝120°， ∴∠EFC＝60°， ∴ED∥FC，同理，EF∥DN. ∴四边形EDNF是平行四边形． 同理，四边形EMAF也是平行四边形． ∴ED＝FN＝5，EF＝MA＝8. ∴六边形ABCDEF的周长＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋5＋8＋5＝44(cm)．

42. 剖析　上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由∠FED＝∠EDC＝120°得到∠DEM＝∠EDM＝60°的这个结论就是错误的，所以后面的推理就没有依据了，请注意对角线与角平分线的区别，只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性，其他的不具有这一性质．不可凭直观感觉就以为对角线AD、BE平分∠CDE、∠DEF，切记，视觉不可代替论证，直观判断不能代替逻辑推理．剖析　上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由∠FED＝∠EDC＝120°得到∠DEM＝∠EDM＝60°的这个结论就是错误的，所以后面的推理就没有依据了，请注意对角线与角平分线的区别，只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性，其他的不具有这一性质．不可凭直观感觉就以为对角线AD、BE平分∠CDE、∠DEF，切记，视觉不可代替论证，直观判断不能代替逻辑推理．

43. 正解　如图，分别延长ED、BC交于点M，延长EF、BA交于点N.正解　如图，分别延长ED、BC交于点M，延长EF、BA交于点N. ∵∠EDC＝∠DCB＝120°， ∴∠MDC＝∠MCD＝60°. ∴∠M＝60°， △MDC是等边三角形． ∵CD＝10， ∴MC＝DM＝10. 同理，△ANF也是等边三角形， AF＝AN＝NF＝5.

44. ∵AB＝BC＝8， ∴NB＝8＋5＝13，BM＝8＋10＝18. ∵∠E＝120°，∠E＋∠M＝180°， ∴EN∥MB. 同理，EM∥NB. ∴四边形EMBN是平行四边形， ∴EN＝BM＝18，EM＝NB＝13， ∴EF＝EN－NF＝18－5＝13， ED＝EM－DM＝13－10＝3， ∴六边形ABCDEF的周长 ＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA ＝8＋8＋10＋3＋13＋5＝47(cm)．

45. 批阅笔记　利用六个内角相等，构造平行四边形是解决本题的关键．在计算证明的过程中，不可将某一条件未加证明作为已知条件或推理、计算的依据．批阅笔记　利用六个内角相等，构造平行四边形是解决本题的关键．在计算证明的过程中，不可将某一条件未加证明作为已知条件或推理、计算的依据．

46. 方法与技巧 思想方法 感悟提高

47. 2. 常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的 问题． 3. 有平行线时，常作平行线构造平行四边形． 4. 有中线时，常作加倍中线构造平行四边形． 5. 图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角 形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部 分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．

48. 失误与防范 图形的直观性可帮助探求解题思路，但也可能因直观判断失误或用 直观判断代替严密推理，就会造成解题失误．一定要对所有直观判断加 以证明，不可以用直观判断代替严密的推理． 例如：在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果给出条件 “AB∥CD”，那么给出以下6种说法： ①如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD为平行四边形； ②如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD为平行四边形； ③如果再加上条件“∠A＝∠C”，那么四边形ABCD为平行四边形； ④如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD为平行四边形； ⑤如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD为平行四边形； ⑥如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD为平行四边 形． 其中，正确的说法有()． A. 3个　　B．4个　　C．5个　　D. 6个 错解：C或D

49. 错因剖析：语句①为两组对边分别平行的情形，是平行四边形的定义；语句②是一组对边平行且相等，是平行四边形的判定方法之一；语句③中由AB∥CD，可以推出∠A与∠D互补，由∠A＝∠C，可得∠C与∠D也互补，从而AD∥BC，符合平行四边形的定义；语句④中实际是一组对边平行而另一组对边相等，不能构成平行四边形，反例图形是等腰梯形；语句⑤由条件可推出△ABO和△CDO全等，从而BO＝DO，故对角线相互平分，所以是正确的；语句⑥的反例图形也是等腰梯形．综上，正确的语句有①②③⑤.应该选B.错因剖析：语句①为两组对边分别平行的情形，是平行四边形的定义；语句②是一组对边平行且相等，是平行四边形的判定方法之一；语句③中由AB∥CD，可以推出∠A与∠D互补，由∠A＝∠C，可得∠C与∠D也互补，从而AD∥BC，符合平行四边形的定义；语句④中实际是一组对边平行而另一组对边相等，不能构成平行四边形，反例图形是等腰梯形；语句⑤由条件可推出△ABO和△CDO全等，从而BO＝DO，故对角线相互平分，所以是正确的；语句⑥的反例图形也是等腰梯形．综上，正确的语句有①②③⑤.应该选B.

50. 完成考点跟踪训练23