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LECCIÓN 8. El teorema de Carnot. La temperatura termodinámica. Composición de ciclos. La relación de Clausius. Definición de entropía. La formulación del segundo principio. Teorema de Carnot.
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LECCIÓN 8 • El teorema de Carnot. • La temperatura termodinámica. • Composición de ciclos. • La relación de Clausius. Definición de entropía. • La formulación del segundo principio.
Teorema de Carnot “El rendimiento máximo de todas las máquinas térmicas que operan entre dos fuentes corresponde a la máquina reversible, el cual sólo depende de las temperaturas de las fuentes”. Este teorema abre las puertas para la descripción termodinámica del calor y la formulación del segundo principio.
Demostración I • Procedamos a componer dos máquinas térmicas, a y b, que operan con las mismas fuentes. • La condición de composición es que ambas produzcan el mismo trabajo en cada ciclo: • Veamos las siguientes composiciones:
Demostración II 1) a = Reversible y b = Irreversible. Sólo la máquina a puede invertirse:
Demostración III 2) a = Irreversible y b = Reversible. Sólo la máquina b puede invertirse:
Demostración IV 3) a = Reversible y b = Reversible. Ambas pueden invertirse y cumplir a la vez : que sólo se satisfacen si, y sólo si,: O sea, la condición general:
Demostración V Las condiciones: se han demostrado para cualquier máquina. El rendimientode las reversibles dependerá sólo de las condiciones impuestas, es decir, de las temperaturas: donde f es una función universal porque se cumple para todo ciclo reversible. Con ello, queda demostrado el teorema de Carnot.
Corolarios • El rendimiento de un ciclo reversible que opera entre dos fuentes no depende de la sustancia que recorre el ciclo. • El cociente de los calores intercambiados en un ciclo reversible con dos fuentes sólo depende de las temperaturas.
Temperatura termodinámica • Las temperaturas empírica y absoluta se definieron como variables pasivas en el equilibrio. • Lord Kelvin definió la “temperatura termodinámica” de las fuentes a partir del ciclo reversible que opera entre ellas. • La temperatura termodinámica toma la forma de una variable potencial y posiva, capaz de producir trabajo, como la velocidad y la altura.
Planteamiento de Lord Kelvin Establecida la relación Lord Kelvin trató de encontrar la forma de la función universal F sobre las siguientes bases: Que F cumpliese las leyes de composición de las máquinas reversibles. Que F cumpliese el principio de Ockam: “De todos los planteamientos científicos el más sencillo es el más útil”.
Composición de ciclos Sean tres fuentes de temperaturas empíricas q1 > q2 > qo, y un ciclo reversible que opere entre las dos primeras. Componiendo este ciclo con otros, también reversibles, que anulen los intercambios con las primeras fuentes se consigue un ciclo compuesto que opera con una sola fuente, qo. A este mecanismo se le conoce como reducción de un ciclo a la temperatura qo. A dicho ciclo se le puede aplicar el segundo principio directamente.
Reducción de un ciclo sobre qo Ciclo reversible a entre q1 y q2. Los ciclos a, b y g componen un nuevo ciclo que intercambia sólo con la fuenteqo. Las fuentesq1 y q2 dejan de intervenir. Como todos los ciclos son reversibles, el nuevo también lo es. Se añade el ciclo reversible b con: q1 + Q1 = 0 Se añade el ciclo reversible g con: q2 + Q2 = 0
La función universal I Por ser reversibles, los ciclos anteriores cumplen las ecuaciones siguientes: Realizando operaciones:
La función universal II El carácter universal de F y el criterio de Ockam hacer tomar F como un cociente: En ese caso:
Definición de temperatura termodinámica Ya que: Se define la temperatura termodinámica como: Donde se usa el calor intercambiado por un ciclo reversible como variable termométrica.
Propiedades • Ya que: • Cualquier temperatura proporcional a la temperatura termodinámica, también lo es. • Si Q2 < Q1 T2 < T1 • Si Q2 = 0 T2 = 0. El cero absoluto. • Es imposible un ciclo que opere con una fuente en el cero absoluto. .
Máquinas reversibles • Todo ciclo reversible cumple: • Los calores tienen signos distintos. • El calor es proporcional a la temperatura. • El calor tomado es diferente que el calor cedido:
El ciclo de Carnot I • El propio Carnot estableció el ciclo más sencillo con las siguientes propiedades: • Como su rendimiento es independiente de la sustancia, lo recorre un gas ideal. • El gas realiza dos procesos isotermos en contacto con las dos fuentes. • Cierran el ciclo dos procesos adiabáticos.
El ciclo de Carnot II • El ciclo térmico reversible se recorre en el sentido de las agujas del reloj entre las temperaturas absolutas q1 y q2. Líneas isotermas: 1. a b ( con q1 ) 2. c d ( con q2) Líneas adiabáticas: 1. b c 2. d a
El ciclo de Carnot III • El gas ideal cumple: • y sus isotermas: Integrando:
El ciclo de Carnot IV • Las adiabáticas del gas ideal cumplen las ecuaciones: d a b c con y dividiendo: o bien
El ciclo de Carnot V Sustituyendo los calores en el rendimiento: Resulta que la temperatura del gas ideal es proporcional a la temperatura termodinámica: por lo que la temperatura absoluta es una temperatura termodinámica
Reducción de ciclos Se han estudiado los ciclos con una y con dos fuentes. Estudiemos ahora el caso general de un ciclo que opera entre N fuentes térmicas de temperaturas Ti , con 1 i N . Aceptamos que T1 es la temperatura más baja y procedemos a reducir el ciclo sobre esa temperatura inferior.
Reducción de un ciclo El resultado de la reducción es: Se elimina la fuente 2 Q2 + q2 = 0 El resultado es un ciclo que opera exclusivamente con la fuente T1. Dicho ciclo sólo tiene la posibilidad de consumir trabajo y ceder calor o anular a ambos si es reversible. Se elimina la fuente i Qi + qi = 0 Se elimina la fuente N QN + qN = 0
Cálculos I En el ciclo original : En los ciclos auxiliares: La composición de ciclos: En el ciclo final :
Utilizando y Como T1 > 0
La relación de Clausius o bien Ciclo reversible. Igualdad de Clausius: ó Ciclo irreversible. Desigualdad de Clausius: ó
Definición de la entropía La igualdad de Clausius: garantiza que existe una nueva función de estado del sistema. Queda definida sólo a lo largo de los procesos reversibles y, por tanto, sólo tiene sentido en los estados de equilibrio. Esa función se llama “entropía”, S, y se define:
Formulación del principio • Sea el ciclo adjunto, mitad reversible y mitad irreversible: Como R es reversible:
Formulación diferencial El resultado anterior: No necesita especificar el tipo de proceso, el signo “igual” corresponde al proceso reversible y el “mayor que” al irreversible. En forma diferencial el principio se escribe:
LECCIÓN 8 FIN
