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第四章 态和力学量的表象

第四章 态和力学量的表象. 量子态的不同表象 力学量算符的矩阵表示 量子力学公式的矩阵表示. 4.1 态的表象. 表象 : 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象. 一个粒子的态完全可由归一化的波函数 ψ ( r , t ) 来描述， 将 ψ ( r , t ) 称为 坐标表象 。下面将讨论用动量为 变量 描述波函数。. c ( p , t ) 为展开系数， ψ p ( x ) 是动量的本征函数. 表示在. 所描写的态中测量粒子动量所. 结果在 范围内的几率.

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第四章 态和力学量的表象

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  1. 第四章 态和力学量的表象 • 量子态的不同表象 • 力学量算符的矩阵表示 • 量子力学公式的矩阵表示

  2. 4.1 态的表象 表象: 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象 一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r, t)来描述， 将ψ(r, t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。 c(p, t)为展开系数， ψp(x )是动量的本征函数

  3. 表示在 所描写的态中测量粒子动量所 结果在 范围内的几率 c(p, t)和(r, t)描述的是粒子态同一个状态，(r, t) 是这个状态在坐标表象中的波函数，而c(p, t)为同一状态在动量表象中的波函数。 如果(x,t)描述的状态是具有动量p的自由粒子的状态

  4. 在动量表象中，具有确定动量p 的粒子波函数是 函数。 同样，在坐标表象中，具有确定坐标x 的粒子波函数也是 函数。

  5. 例题：一维粒子运动的状态是 求：（1）粒子动量的几率分布； （2）粒子的平均动量 解：首先对波函数进行归一化

  6. 动量的几率分布为

  7. 动量的平均值为 另一种解法

  8. 考虑任意力学量Q本征值为1, 2,…, n…,对应的本征函数u1(x), u2 (x),… un (x)…, 则任意波函数（x）按Q的本征函数展开为 如果（x）和un (x)都是归一化的，则

  9. 所以 在（x）所描写的量子态中测量力学量Q所得的结果为Qn的几率 数列 就是（x）所描写的量子态中在Q表象中的表示

  10. 波函数的归一化表示成 共轭转置矩阵

  11. 如果力学量Q除了有分立的本征值，还有连续的本征值，则如果力学量Q除了有分立的本征值，还有连续的本征值，则 其中 归一化可表示为

  12. 直角坐标系中，矢量A的方向由i, j, k三个单位矢量基矢决定，大小由Ax, Ay, Az三个分量（基矢的系数）决定。 在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数u1(x), u2(x),… un(x),…看作一组基矢，有无限多个，大小由a1(t), a2(t), …an(t),…系数决定。 所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间. 常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象

  13. 例 质量为m的粒子在均匀力场V(x)＝Fx(F>0)中运动，试在动量表象中粒子的波函数。 解： 在动量表象中，坐标x的算符表示为

  14. 定态的薛定谔方程 动量表象中粒子的函数 变到坐标表象中，则波函数为

  15. （Ariy 函数） 其中

  16. 4. 2 算符的矩阵表示 在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，…Qn…, 对应的本征函数分别为u1(x), u2(x),… un(x),…. 将(x,t)和 (x,t)分别在Q表象中按Q的本征函数展开

  17. 两边同乘以 ,并在整个空间积分 利用本征函数un(x)的正交性

  18. 引进记号 得 这就是 在Q表项中的表述方式 表示成矩阵的形式：

  19. 即 将满足该式的矩阵称为厄密矩阵 矩阵Fnm的共轭矩阵表示为 因为量子力学中的算符都是厄米算符，

  20. Fnm的转置矩阵为 根据厄密矩阵的定义 所以 若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为F的共轭转置矩阵，简称为共扼矩阵

  21. 例 求一维无限深势阱中（宽度为a）粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元 解：在能量表象中 能量的本征值及本征函数为

  22. Q在自身表象中的矩阵元 Qm为Q在自身空间中的的本征值 结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵

  23. 如x在坐标空间中可表示为 动量p在动量空间中表示为 一维谐振子能量表象中能量的矩阵元

  24. 如果Q只具有连续分布的本征值q，那么算符F在Q表象中依然是一个矩阵：如果Q只具有连续分布的本征值q，那么算符F在Q表象中依然是一个矩阵： 这个矩阵的行列不再可数，而是用连续变化的下标来表示 在动量表象中，算符F的矩阵元为： 其中ψp(x )是动量的本征函数

  25. 4.3 量子力学公式的矩阵表述 1. 平均值公式

  26. 简写为 写成矩阵形式

  27. 2. 本征值方程 在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。 首先，算符F的本征函数满足

  28. 有非零解的条件是其系数行列式为零 这是一个线性齐次代数方程组 这是一个久期（secular）方程。将有1， 2 …. nn个解，就是F的本征值。

  29. 3. 矩阵形式的薛定谔方程 薛定谔方程 不显含时间的波函数的能量表象 波函数根据哈密顿本征函数展开 代入薛定谔方程

  30. 两边同乘以 并积分 简写为 H,  均为矩阵元。

  31. 线性谐振子的总能量为 解法一：在动量表象中，x的算符表示为： 则H算符表示为 定态的薛定谔方程写为 例题： 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数

  32. c(p)是动量表象中的本征函数 仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出c(p)。

  33. 例：设已知在 和 的共同表象中，算符 的矩阵为： 求 的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵 对角化 解：设 的本征态为 其本征方程为：

  34. 即 分别有

  35. 欲求 的非零解，其系数行列式为零： 得

  36. 是 的本征值 本征态为 本征态为 把解得的值代入本征方程，可以得到a1，a2，a3值

  37. 本征态为 矩阵 对角化矩阵为

  38. 习题：第130页 1、2、3、4

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