Ruang-n Euclides

1. Ruang-n Euclides • Orang yang pertama kali mempelajari vektor-vektor di Rn adalah Euclides sehingga vektor-vektor yang berada di ruang Rn dikenal sebagai vektor Euclides sedangkan ruang vektornya disebut ruang n–Euclides. • Operasi-operasi vektor-vektor di R4 dan seterusnya masih sama seperti pada vektor-vektor di R2 dan R3.

2. Operasi-Operasi Standar pada ruang vektor Euclides Misal dan vektor di Rn, maka 1. Penjumlahan 2. Perkalian dengan skalar (k adalah konstanta sebarang) 3. Hasil kali titik 4. Panjang vektor 5. Jarak dua titik

3. Ruang vektor umum • Misalkan u,v, dan w adalah unsur pada ruang V dan k, l merupakan skalar unsur bilangan Riil, maka agar V dinamakan ruang vektor jika memenuhi syarat berikut ini: • Jika u, vεV maka u + vεV juga. (ε = ‘ada’) • u + v = v + u • u + (v + w) = (u + v) + w • Terdapat 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk setiap vektor u di V • Untuk setiap u di V, terdapat –u di V yang dinamakan negatif u sehingga u + (–u) = (–u) + u = 0 • Jika k adalah sebarang skalar dan uεV, maka kuεV • k (u + v)= ku + k v • (k+l) u = ku + lu • (kl) u = k(lu) = l (ku) • 1.u = u

4. Beberapa contoh ruang vektor umum Beberapa contoh Ruang Vektor adalah sebagai berikut : • V adalah himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasinya Rn • V adalah himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar Bentuk umum polinom orde n pn(x) = a0+a1x+…+anxn qn(x) = b0+b1x+…+bnxn Operasi standar pada polinom orde n pn(x)+qn(x) = a0+b0+a1x+b1x+…+anxn+bnxn kpn = ka0+ka1x+…+kanxn Notasi untuk ruang vektor ini adalah Pn • V adalah himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), ruang vektor ini sering dinotasikan dengan Mmxn

5. Sub Ruang • Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruangV jika W itu sendiri adalah ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. Dengan demikian, syarat agar W dikatakan sebagai subruang dari V adalah: • W {} • Jika u dan v berada pada W maka u + v juga berada pada W • Jika u berada di W maka ku juga berada di W, dimana k adalah suatu skalar Riil.

6. Kombinasi Linear • Sebuah vektor dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor , jika vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : dimana k1, k2, …, kn adalah skalar. Contoh 1. Diketahui Apakah u = (2,6,4) merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas!

7. Contoh Lainnya 2. Diketahui p1= 1 – x + 3 x2, p2= -1 + 3x – x2, dan p3= 2 + x + 4 x2. Apakah p = 2 + 6x + 4x2 merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas! 3. Diketahui Apakah merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas!

8. Membangun • Himpunan vektor dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada ruang vektor V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.

9. Bebas Linear • Misalkan adalah himpunan vektor diruang vektor V, himpunan S dikatakan bebas linear (linearly independent), jika SPL homogen : hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni k1 = 0, k2 = 0, …, kn = 0 Jika selain nol ada solusi lain, maka S dinamakan himpunan tak bebas linear (linearly dependent), ini dapat dikatakan bahwa vektor-vektornya yang bergantung linear.

10. Basis dan Dimensi Jika V adalah sembarang ruang vektor dan merupakan himpunan berhingga • dari vektor – vektor di V, maka S dinamakan basis • bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi : • S membangun V • S bebas linear Dimensi adalah banyaknya unsur penyusun basis

11. Basis Ruang Baris dan Ruang Kolom Suatu matriks berukuran m x n dapat dipandang sebagai susunan bilangan yang tersusun dari bilangan dalam kolom 1 sampai kolom n atau dalam baris 1 sampai baris m. Jadi Maka A tersusun atas vektor-vektor baris atau tersusun atas vektor-vektor kolom dengan i =1,2,…,m dan j = 1,2, …, n Subruang Rn yang dibangun oleh vektor-vektor baris disebut ruang baris dari A. Subruang Rm yang dibangun oleh vektor-vektor kolom disebut ruang kolom dari A.

12. Menentukan Basis Ruang Kolom dan Ruang Baris A Basis ruang kolom A didapatkan dengan melakukan OBE pada A, Sedangkan basis ruang baris A didapatkan dengan melakukan OBE pada At . Basisnya adalah vektor-vektor kolom atau vektor-vektor baris yang bersesuaian dengan satu utama pada matriks eselon baris tereduksi A. Dimensi adalah banyaknya unsur basis yang mana ditentukan oleh banyaknya satu utama pada matriks eselon baris tereduksi A Dimensi (ruang baris)=Dimensi (ruang kolom)=rank matriks

13. Basis Ruang Solusi Pada suatu sistem persamaan linear homogen A x = 0 dengan solusi tak trivial dan A berukuran mxn, ruang solusi dari SPL homogen tersebut biasa disebut dengan ruang null A Sedangkan dimensi dari ruang null A disebut nullitas A. Basis ruang solusinya adalah vektor yang bebas linear yang diperoleh dari ruang null A. Hubungan rank(A) dan Nullitas(A) rank (A) + Nullitas (A) = n