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アルゴリズムとデータ構造. 第 6 回演習解答. 第６回演習解答 (1/3). 長さ n の整数の配列 A[0],A[1],...,A[n-1] において、要素の大きい方から m(<n) 個だけ A[0],A[1],...,A[m-1] に大きい順に格納するアルゴリズムを作りたい。. [ 問題 ]. void heapify(int i,int n,int A[]) /* A[2i+1] と A[2i+2] を根とするヒープ及び A[i] を、 A[i] を根とするヒープに統合する * / { int j;
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アルゴリズムとデータ構造 第6回演習解答 アルゴリズムとデータ構造 2013
第６回演習解答(1/3) 長さnの整数の配列A[0],A[1],...,A[n-1]において、要素の大きい方からm(<n)個だけA[0],A[1],...,A[m-1]に大きい順に格納するアルゴリズムを作りたい。 [問題] void heapify(int i,int n,int A[]) /* A[2i+1]とA[2i+2]を根とするヒープ及びA[i]を、 A[i]を根とするヒープに統合する */ { int j; j=2*i+1; /* j:左の子 */ if(j>=n) return; /* 子がない場合は何もしない */ if(j+1<n) { /* 右の子もいる場合 */ if(A[j]>A[j+1]) { /* 右の子と左の子で要素の小さい方をjとする */ j=j+1; } } if(A[j]<A[i]) { /* 子の方が小さい場合 */ swap(i,j,A); /* 親子の入れ換え */ heapify(j,n,A); /* A[j]から下がヒープの条件を満たすようにする */ } return; } void makeheap(int A[],int n) /* A[0],...A[n-1]がヒープを 構成するように並び換える */ { int i; for(i=n/2-1;i>=0;i--) { heapify(i,n,A); } return; } void swap(int i,int j,int A[]){ int temp; temp=A[i]; A[i]=A[j]; A[j]=temp; return; } 図１：ヒープを構成するアルゴリズム アルゴリズムとデータ構造 2013
7 0 7 0 7 7 3 3 0 3 3 7 1 1 1 2 2 1 3 0 0 3 7 8 4 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 1 2 1 2 2 2 9 9 9 9 9 9 8 8 0 8 8 8 5 5 5 5 5 5 第６回演習解答(2/3) (a)図１のアルゴリズムを使って次の配列Aがヒープを構成するように並び換えよ。また、そのときのAの要素間の比較回数を求めよ。ただし、makeheap(A,10)を実行したものとする。 7 7 7 ⑪ 7 3 2 3 1 3 2 ⑦ 0 1 ⑤ ③ ⑩ 8 4 0 4 6 1 6 2 0 4 6 1 3 4 ⑨ 6 2 ⑥ ① 9 0 5 9 8 5 ④ 9 8 5 9 8 5 ② ⑧ 0 0 比較回数１５回 3 1 7 1 ⑬ 7 4 ⑮ 6 2 3 4 6 2 ⑫ 9 8 5 9 8 5 ⑭ アルゴリズムとデータ構造 2013
第６回演習解答(3/3) (b)長さnの整数の配列A[0],A[1],...,A[n-1]において、要素の大きい方からm(<n)個だけA[0],A[1],...,A[m-1]に大きい順に格納するプログラムをmakeheapとheapifyの２つの手続きを使ってC言語で書け。ただし、mサイズのヒープしか作らない効率のよいアルゴリズムを考えよ。また、そのアルゴリズムの最悪時間計算量のオーダーを求めよ。 int i; makeheap(A,m); for(i=m;i<n;i++) { if(A[i]>A[0]) { A[0]=A[i]; heapify(0,m,A); } } for(i=m-1;i>0;i--) { swap(0,i,A); heapify(0,i,A); } O(m) O((n-m)logm) O(nlogm) (<O(nlogn)) O(mlogm) アルゴリズムとデータ構造 2013
