1 / 46

Transformationen

Transformationen. Transformationsmodelle Anwendung von Transformationen Robuste Transformationen Nachbarschaftstreue Anpassung. Transformationen in der Geodäsie. Aufgabe: Übergang von einem Koordinaten-system in ein anderes Koordinatenystem

kadeem
Télécharger la présentation

Transformationen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Transformationen • Transformationsmodelle • Anwendung von Transformationen • Robuste Transformationen • Nachbarschaftstreue Anpassung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  2. Transformationen in der Geodäsie • Aufgabe: Übergang von einem Koordinaten-system in ein anderes Koordinatenystem • Häufiger Fall: Von lokalem System in globales System und umgekehrt • z.B.: freie Stationierung, Abstecken • Bedeutung wächst mit GPS und GIS (länderübergreifende Auswertungen in EU) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  3. 2D-Transformationen • Einfach und anschaulich • Übergang lokal  global und umgekehrt • Ausreichend für einfache Vermessung • Nicht mehr ausreichend für Wechsel des Bezugssystems, Photogrammetrie Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  4. Situation bei Transformation • AusgangskoordinatensystemA • ZielkoordinatensystemB • nPunkte in A gegeben, davon mauch in B • Unterscheidung: A Kleinbuchstaben, B Großbuchstaben, also (x,y,z)  (X,Y,Z) • Gesucht: Koordinaten aller Punkte in B • Besteht aus 2 Schritten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  5. Bestimmung der Transformations-funktion und -Parameter • Voraussetzung: Genügend viele idente Punkte (in beiden Systemen bekannt) = Passpunkte • Transformationsfunktion für diese Punkte:(X,Y)= F(x,y) • Funktion abhängig von Problemstellung und Anzahl der Passpunkte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  6. Durchführung der Transformation • Umrechnung aller Punkte • Umrechnung der Passpunkte liefert Kontrolle • Anzahl kann sehr groß sein, also eventuell entsprechende Funktionen verwenden Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  7. Bekannte Parameter • Bei Standardaufgaben oft Parameter bekannt • z.B.: Umrechnung von GPS-Koordinaten ins Landessystem • Problem: lokale Abweichungen (Klaffung) • Können mit weiterer (einfacher) Transformation bereinigt werden Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  8. Ähnlichkeitstransformation (1) • Auch: konforme Transformation oder (wenn überbestimmt) Helmert-Transformation • 4 Unbekannte: 2x Translation a und b, Maßstab m, Rotation um a um z-Achse • Transformationsgleichungen separat für X und Y: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  9. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  10. Ähnlichkeitstransformation (2) • Matrizenschreibweise • Rotationsmatrix: • führt zu Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  11. Ähnlichkeitstransformation (3) • Manchmal sinnvoll: Weglassen des Maßstabes  3-Parameter-Transformation (z.B. freie Stationierung) • Ähnlichkeitstransformation erhält die Gestalt transformierter Figuren, also • Gerade bleiben Gerade • Kreise bleiben Kreise • Parallele bleiben parallel • Winkel bleiben unverzerrt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  12. Affin-Transformation (1) • Erweiterung der Ähnlichkeitstrans-formation durch • Unterschiedliche Drehwinkel für die Achsen • Unterschiedliche Maßstäbe für die Achsen • Anwendung: Digitalisieren alter Pläne oder Karten (ungleichmäßiger Papierverzug) • Transformationsgleichungen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  13. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  14. Affin-Transformation (2) • Transformationsparameter: 2x Translation a und b, 2x Maßstab mx und my, 2x Rotation um z-Achse a und b • Form von Figuren bleibt nicht erhalten • Erhalten bleiben Geradlinigkeit und Parallelität • Vereinfachung: Nur ein Drehwinkel  5-Parameter-Transformation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  15. Polynomiale Transformation • Transformationsformel • Parameter sind geometrisch nicht zu deuten • Sinnvoll bei komplexen Verzerrungen • Problem: Wann wird abgebrochen? Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  16. 3D-Ähnlichkeitstransformation (1) • Wichtig in Photogrammetrie, Koordinaten-transformation zwischen verschieden gelagerten Ellipsoiden, 3D-Messverfahren • Ausgangspunkt 3D-Koordinatensätze • Transformationsparameter: 3x Translation, 3x Rotation, 1x Maßstab Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  17. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  18. 3D-Ähnlichkeitstransformation (2) • Zerlegung der Rotationsmatrix • Mit Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  19. 3D-Ähnlichkeitstransformation (3) • Ausmultipliziert ergibt sich komplizierte 3x3-Matrix • Rotationsmatrix abhängig von der Drehreihenfolge! Angegebene Formeln: erst um x, dann um y, dann um z. • Auch bezeichnet als 7-Parameter-Transformation (Bursa-Wolf-Modell bei Übergang auf Schwerpunktskoordinaten) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  20. 3D-Ähnlichkeitstransformation (4) • Bei kleinen Drehwinkeln Vereinfachung • sin x = x, cos x = 1, sin x . sin x = 0 • Ergibt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  21. 3D-Affin-Transformation • Transformationsgleichungen • 12 Unbekannte, also 4 Passpunkte nötig • Erhält Gradlinigkeit, Parallelität, Verhältnis • Ändert Form von Figuren • Kann Näherungswerte für Ähnlichkeitstrans-formation liefern Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  22. Anwendung • Für Standardaufgaben Parameter bekannt (z.B. WGS84  GK M-34) • Problem: lokale Abweichungen nicht berücksichtigt  lokale Parameter bestimmen • Mehr Passpunkte als notwendig  Ausgleichungsaufgabe Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  23. Helmert-Transformation (1) • Formelapparat • Parametervektor Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  24. Helmert-Transformation (2) • Annahme: n Punkte im Ausgangssystem bekannt, davon p (≤ n) auch im Zielsystem bekannt (= Passpunkte) • Koordinaten im Zielsystem entsprechen den Beobachtungen Beobachtungs-gleichungen • Formal: vermittelnde Beobachtungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  25. Helmert-Transformation (3) • 4 Gleichungen: eindeutig = einfache Koordinatentransformation • >4 Gleichungen: überbestimmte Koordinatentransformation (Helmert) • Koeffizientenmatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  26. Helmert-Transformation (4) • Klassischer Fall: Gleiche Genauigkeit der Passpunkte  P=I • Lösung bekannt: • Schätzwert für Varianzfaktor • Qualität des Modells: Mittlere Klaffung des Punktes Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  27. Helmert-Transformation (5) • Genauigkeitsangaben für m und a: Schwieriger weil gemeinsam bestimmt • Qxx liefert Varianzen für a bis d • m und a über Fehlerfortpflanzungsgesetz • Besondere Struktur der A-Matrix  Normalgleichungen können sofort angeschrieben werden Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  28. Helmert-Transformation (6) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  29. Kovarianzen für Helmert-Trafo • Kovarianzen für Passpunkte • Darf nicht singulär sein (z.B. aus freier Ausgleichung) • Weitere Rechnung nach Schema • Nur im Zielsystem so möglich • Kovarianzen im Ausgangssystem: Wolf schlägt vor zu verwenden (nur Näherung, liefert aber brauchbare Ergebnisse) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  30. Prüfung der Ergebnisse • Hauptprobe (Gleichungen und Berechnung) • Berechnung der Klaffungen (Passpunkte) • Statistischer Test für grob falsche Passpunkte – Punkteverschiebung, -Verwechslung (Lenzmann 1984) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  31. Statistischer Test • Ausgeglichene Zielkoordinaten L+v=Ax • Fehlerhafter Passpunkt Piführt zu L+v=Ax+Hiyi • v, x: neue Werte • Hiyi: Zuschlag zur Lösung • Prüfgröße:Fisher-verteilt mit f1=d und f2=n-u-d Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  32. 3D-Helmert-Transformation (1) • 7-Parameter-Transformation  mindestens 3 Passpunkte notwendig (z.B. 2x Voll-, 1x Höhenpasspunkt) • Bei Überbestimmung: Näherungswerte kritisch • Lösung: Variante von Horn (1987), Gröbner-Basis • Vereinfachung: Kleine Rotationswinkel und kleine Maßstabsänderung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  33. 3D-Helmert-Transformation (2) • Näherung für Rotationsmatrix: Einheitsmatrix • Näherung für Maßstab: 1 • Näherungswert für Translation aus beliebigem Passpunkt • Designmatrix für einen 3D-Punkt • Unbekanntenvektor: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  34. 3D-Helmert-Transformation (3) • Matrix Ai für jeden Passpunkt aufgestellt und in Systemmatrix A zusammengefasst • Größere Drehwinkel: Verwendung der exakten Matrix notwendig  komplexe Ableitungen • Näherungswerte für Maßstab und Rotationen oft über affine Transformation – 4 Vollpasspunkte notwendig Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  35. Transformationen für GPS Mathematisch korrekter Lösungsweg für Transformation ins Landessystem • Landeskoordinaten  3D-Koordinaten • Freie Ausgleichung der GPS-Messungen  WGS-84-Koordinaten • Bestimmung der Transformationsparameter • Transformation der GPS-Punkte • Umrechnung ins Landessystem Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  36. Robuste Transformation • Bisher vorausgesetzt: Keine groben Fehler bei den Koordinaten der Passpunkte im Zielsystem • Robuste Verfahren können somit mit Punktverwechslungen u.ä. umgehen • Diskussion von • L1-Schätzung • LMS-Schätzung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  37. L1-Schätzung • Verlustfunktion mit s=1 • Leider nicht effizient  Elimination der Fehler durch L1, dann L2 • Minimumsproblem • Praktische Umsetzung:Simplex-Algorithmus Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  38. LMS-Schätzung (1) • Forderung • n Beobachtungen aus den u Unbekannten gewählt, sodass eindeutige Lösung möglich •  alle Verbesserungen berechnet, Median bestimmt • Lösung mit minimalem Wert ist gesuchte Lösung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  39. LMS-Schätzung (2) • Vorteile: • Frei von Einflüssen der Geometrie • Bis zu 50% fehlerhafte Daten möglich • Nachteil • Extrem hoher Rechenaufwand vonLösungen • Effiziente Algorithmen reduzieren Anzahl der zu berechnenden Lösungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  40. Nachbarschaftstreue Anpassung Methoden, bei denen auch bei Überbestimmung keine Klaffungen in den Passpunkten auftreten • Maschenweise Affin-Transformation • Abstandsgewichte • Multiquadratische Interpolation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  41. Maschenweise Affin-Transformation (1) • Zerlegung des Transformationsgebietes in Dreiecke • Passpunkte sind Eckpunkte der Dreiecke • Jeder zu transformierende Punkt wird einem Dreieck zugeordnet Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  42. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  43. Maschenweise Affin-Transformation (2) • Jedes Dreieck hat 6 Bestimmungsstücke (3 Eckpunkte) • Affin-Transformation hat 6 Parameter • Daher eindeutige Lösung vorhanden  keine Klaffungen • Nachteil 1: Keine Kontrolle! • Nachteil 2: Linien zwischen Dreiecken verschieben sich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  44. Abstandsgewichte • Anpassungsbetrag für jeden Punkt in x- und y-Richtung • Berechnet aus Klaffungen der Passpunkte • Abstandsgewicht pij meist überbestimmt mit k=1 oder 1,5oder 2 • Versagt bei ungleichmäßiger Verteilung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  45. Abstandsvektor des Punktes j Restklaffungen Stützpunktmatrix Multiquadratische Interpolation • Beruht auf n Interpolationsflächen vom Grad 2 (Hyperboloide) • Anpassungsbetrag • Produkt S-1v nur ein mal bestimmt, dann nur mehr eine Multiplikation pro Punkt • Trotzdem hoher Aufwand wenn viele Punkte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  46. Problem für die Zukunft Homogenisierung des Katasters • Komplexe Verzerrungsgeometrie • Topographie muss erhalten bleiben • Mindestgrößen sollten erhalten bleiben (Bauflächen, Wald - Eigenjagd) • Bezug zwischen homogenen Vermes-sungen und inhomogenem Kataster? Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

More Related