METODY NUMERYCZNE I OPTYMALIZACJ A

1. METODY NUMERYCZNE I OPTYMALIZACJA Wydział Elektroniki Kier. Automatyka i Robotyka III r. dr inż. Ewa Szlachcic Zakład Sterowania i Optymalizacji Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska pok. 219 C-3 email: ewa.szlachcic@pwr.wroc.pl Materiały: ewa.szlachcic.staff.iiar.pwr.wroc.pl

2. Program wykładu • Wprowadzenie do metod numerycznych i zadań optymalizacji • Definicja zadania optymalizacji i jego klasyfikacja • Przykłady praktycznych zadań optymalizacji • Metody rozwiązywania układów równań liniowych • Metody rozwiązywania równania nieliniowego • Metody rozwiązywania układu równań nieliniowych • Metody aproksymacji funkcji • Metody interpolacji funkcji • Metody programowania liniowego PL • Metody programowania nieliniowego PN: • Metody optymalizacji bez ograniczeń • Metody optymalizacji z ograniczeniami • Przegląd metod optymalizacji lokalnej i globalnej • Techniki meta-heurystyczne optymalizacji – oparte nie tylko na biologii (algorytmy genetyczne, ewolucyjne, immunologiczne, mrówkowe, algorytmy optymalizacji rojem cząstek, poszukiwania harmonii)

3. Literatura cz. 1 Metody numeryczne • Klamka J., Ogonowski Z., Jamicki M., Stasik M., Metody numeryczne, Wyd. Pol Śląskiej Gliwice 2004 • Majchrzak E., Mochnacki B., Metody numeryczne, Podstawy teoretyczne, aspekty praktyczne i algorytmy, Wyd. Pol Śląskiej Gliwice 2004 • Povstenko J., Wprowadzenie do metod numerycznych, Wyd. Akad. Ofic. Wyd. EXIT, Warszawa 2002 • Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., Metody numeryczne, WNT Warszawa 1998 • Wanat K., Algorytmy numeryczne, Wyd. Dir, Gliwice, 1993 • Bjorck A., Dahlquist G., Metody numeryczne, PWN 1987 • Ralston A., Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa, 1983 • Dryja M., Jankowscy J. i M., Przegląd metod i algorytmów numerycznych, WNT, Warszawa 1982

4. Literatura cz.2 Metody optymalizacji • Stachurski A., Wierzbicki A.P., Podstawy optymalizacji, PWN Warszawa 1999 • Cegielski A. Programowanie matematyczne, Wyd. Uniw. Zielonog. 2004 • Findeisen S., Szymanowski W., Wierzbicki A., Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji, PWN, 1987 • Garfinkel R.S, Nemhauser G.L., Programowanie całkowitoliczbowe, PWN, Warszawa, 1978 • Michalewicz Z., Algorytmy genetyczne+struktury danych= programy ewolucyjne, WNT Warszawa, 1999 • Arabas J., Wykłady z algorytmów ewolucyjnych, WNT Warszawa, 2001 • Wierzchoń S.T., Sztuczne systemy immunologiczne, Teoria i zastosowania, EXIT Warszawa, 2002.

5. Układy równań liniowych Należy rozwiązać układ m równań liniowych z n niewiadomymi: (i=1,2,3,…,m) lub w zapisie macierzowym: gdzie: A = [aij] jest macierzą współczynników stopnia [m*n] x-wektor niewiadomych, b- wektor wyrazów wolnych.

6. Układy równań nieliniowych Układ n równań nieliniowych zawierający n niewiadomych: lub w postaci macierzowej gdzie:

7. Sformułowanie zadania optymalizacji Wektor zmiennych decyzyjnych x: gdzie: n – ilość zmiennych decyzyjnych. Funkcja celu (funkcja kryterialna) f(x) : oraz m funkcji ograniczeń gi(x):

8. Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu wektora zmiennych decyzyjnych x, należącego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych X w postaci: takiego, że dla Co jest równoznaczne zapisowi:

9. Programowanie liniowe. Podstawy teoretyczne PL. Warunki konieczne i dostateczne optymalizacji liniowej. Metody simpleks, dwufazowy simpleks, dualny simpleks. Inne algorytmy liniowe. Programowanie liniowe ze zmiennymi rzeczywistymi, programowanie liniowe ze zmiennymi dyskretnymi. w tym: Programowanie całkowitoliczbowe liniowe Metody odcięć. Metody podziału i ograniczeń. Klasyczne zadania optymalizacji dyskretnej (problem plecakowy, przydziału, komiwojażera, problemy szeregowania zadań.), przepływy w sieciach i zadania transportowe. • Programowanie nieliniowe. Podstawy teoretyczne PN. Warunki konieczne i wystarczające optymalności. Metody dokładne i heurystyczne (m.in.. genetyczne i ewolucyjne) poszukiwania ekstremum bez ograniczeń i z ograniczeniami.

10. Przykłady praktycznych zastosowań: • Optymalne projektowanie procesów technologicznych • Identyfikacja procesów technologicznych • Optymalne zarządzanie przedsiębiorstwem - minimalizacja kosztów, maksymalizacja zysków w przedsiębiorstwie • Polioptymalne zadanie dla modelu gospodarki narodowej (np.: maksymalizacja konsumpcji i środków trwałych oraz minimalizacja poziomu zadłużenia zagranicznego gospodarki) • Sterowanie procesem technologicznym • Projektowanie efektywnej struktury systemu (np. sieci komputerowej) • Projektowanie optymalnego przepływu w sieciach ( sieci dystrybucji wody, sieci dystrybucji gazu, sieci komputerowej) • Zadania optymalnego przydziału, zadania dystrybucji produktów • Zadania optymalnego rozmieszczenia ( minimalizacja strat czy odpadów- optymalny rozkrój , optymalne cięcie, optymalny kształt)

11. Zadanie programowania liniowego PL przy ograniczeniach: dim x=n, dim c=n Macierze A1, A2 odpowiadają za współczynniki w m1 i m2 ograniczeniach dim A1 =[m 1 x n], dim A2 =[m 2 x n] Wektory b1, b2 odpowiadają za prawe strony ograniczeń dim b1=m1, dim b2=m2

12. Zadanie programowania kwadratowego gdzie:: Przykład zadania programowania nieliniowego przy ograniczeniach: