LE BASI FONDAMENTALI

1. LE BASI FONDAMENTALI • INSIEMI • INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi) • SISTEMI DI COORDINATE • ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA • FUNZIONI TRIGONOMETRICHE • EQUAZIONI • DISEQUAZIONI • PERCENTUALI

2. INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell’insieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o no all’insieme

3. Simbologia Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici:A, B, X, Y, A1, A2, B1… gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a1, a2, y1 …

4. Rappresentazione di un insieme Un insieme A si può rappresentare: • elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme Esempio: A = {a, b, c, d} • Indicando la proprietà caratteristicadegli elementi dell'insieme Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}

5. A a b c d I Diagrammi di Eulero-Venn Servono per rappresentare graficamente un insieme. Esempio:

6. Il simbolo di appartenenza: Î Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive: aÎA si legge “a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive: bÏAsi legge “b non appartiene ad A".

7. ALCUNI SIMBOLI

8. CONFRONTO TRA INSIEMI Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: BÍA (oppure AÊB) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A"bÎBbÎA

9. CONFRONTO TRA INSIEMI Insieme vuoto :Æ Insieme privo di elementi Æ Í A (qualunque sia A) Si dice che B è sottoinsieme proprio di Ae si scrive: B Ì A (oppure A É B) se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se  a A : a  B

10. OPERAZIONI TRA INSIEMI • UNIONE • INTERSEZIONE • DIFFERENZA • COMPLEMENTAZIONE • PRODOTTO CARTESIANO

11. UNIONE TRA INSIEMI • L'unione di due insiemi A e B è l'insiemedi quegli elementi che appartengonoad almeno uno dei due insiemi A e B • L’unione di A e B si scrive: AÈB = {x : xÎA e/o xÎB } Se A = B AÈB = A Se A  B AÈB = B

12. A B 1 3 0 2 UNIONE TRA INSIEMI • Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

13. A B 1 3 0 2 UNIONE TRA INSIEMI • Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}AÈB = {0, 1, 2, 3}

14. INTERSEZIONE TRA INSIEMI • L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B • L'intersezione di A e B si scrive: AÇB = {x : xÎ A e x Î B } Se A = B AÇB = A Se A  B AÇB = A Se AÇB =  A e B si dicono disgiunti.

15. B A 1 3 0 2 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

16. B A 1 3 0 2 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}AÇB = {1, 2}

17. DIFFERENZA TRA INSIEMI • La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B: • La differenza di A e B si scrive A - B = A \ B = {x : x Î A e x Ï B } Se A = B A\B = Se A  B A\B =

18. B A 1 3 0 2 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

19. B A 1 3 0 2 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A \ B = {0}

20. B A 1 3 0 2 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}B \ A = {3}

21. INSIEME COMPLEMENTARE • Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universale. • sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive:CUA =A’ =U \ A = {x : x Î U e x Ï A }

22. 0 3 5 U 1 2 A INSIEME COMPLEMENTARE • EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}

23. 0 3 5 U 1 2 A A INSIEME COMPLEMENTARE • EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}CUA =U \ A = {0, 3, 5}

24. PRODOTTO CARTESIANO • Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y)  (y,x) • Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B A´B = {(x, y) : xÎA, yÎB}

25. PRODOTTO CARTESIANO Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4} A´B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} B´A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

26. ESERCIZI • Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} • Calcolare: AÈB = {1, 2, 3, 4, 5, 6} AÇB = {2, 4} A \ B = {1, 3, 5} B \ A = {6}

27. INSIEMI NUMERICI • NATURALI • INTERI O RELATIVI • RAZIONALI • IRRAZIONALI • REALI • COMPLESSI

28. I NUMERI NATURALI N={1, 2, 3, 4, 5,…..} • Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune operazioni. • Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni: 1) Addizione 2) Moltiplicazione 3) Relazione di “minore o uguale” (m<n (se e solo se) p N: m+p=n)

29. I NUMERI NATURALI •  m, n, p  NLe operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà: - Associativa: (m + n) + p = m + (n + p) (m • n) • p= m • (n • p) • Commutativa: m + n = n + m m • n = n • m • Distributiva: m • (n + p)= m • n + m • p • Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione:  1 N: 1• m = m

30. I NUMERI INTERI • L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione. • Non è però chiuso rispetto alla sottrazione:  sistema algebrico dei numeri interi. Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …} Z+ = {+1, +2, +3, …} = N Z- = {-1, -2, -3, …} Z = Z+È Z - È {0}

31. I NUMERI INTERI Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre: 4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:  0 Z : x + 0 = x, xZ 5) Esiste l’opposto: xZ,  y Z : x + y = 0, 6) Chiuso rispetto alla sottrazione: x – y = x + (-y)

32. I NUMERI RAZIONALI • PROBLEMA: Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile trovare un numero q Z : x • q = y ovvero Z non è chiuso rispetto alla divisione Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}} • ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale.

33. -2 -1 0 1 2 3 NUMERI RAZIONALI • Q è denso: q1, q2  Q,  q  Q : q = (q1+ q2)/2 • N e Z sono discreti:

34. NUMERI REALI • PROBLEMA: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 ! • Numeri reali: R = Q È dove  è l’insieme dei numeri irrazionali

35. NUMERI REALI Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che: p2/q2=2 p2=2 q2 p è pari, p = 2k 22 k2 = 2 q2 2k2 = q2 ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q sono primi tra loro.

36. NUMERI REALI • L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, : Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale. Non vale il viceversa!

37. NUMERI COMPLESSI • Sia , x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo. • Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:

38. NUMERI COMPLESSI • Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo: • L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione.

39. NUMERI COMPLESSI • Siano dati due numeri complessi • SOMMA: • DIFFERENZA: • PRODOTTO:

40. NUMERI COMPLESSI Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso , il numero: • Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato è dato dal numero reale (chiamato modulo di v):

41. NUMERI COMPLESSI • QUOZIENTE:

42. GLI INSIEMI NUMERICI • Sussiste una precisa relazione di inclusione: N Z QR C

43. RELAZIONI e CORRISPONDENZE Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: R X x Y = (x,y): xX, yY L’insieme costituito dai primi (secondi) elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino). Se il dominio coincide con X, la relazione viene denominata Corrispondenza.

44. FUNZIONE Una funzione è una corrispondenza tale che se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y. Noi consideriamo X, Y  R , cioè funzioni reali di una variabile reale.

45. X Y 1 1 2 2 3 3 4 RELAZIONE TRA 2 INSIEMI

46. X Y 1 1 2 2 3 3 4 FUNZIONE TRA DUE INSIEMI 4

47. O u r- r+ r SISTEMA DI COORDINATE ASCISSE SOPRA UNA RETTA Sia data una retta r, si fissi: • Un verso positivo di percorrenza • Un punto O detto Origine • Un segmento u detto unità di misura

48. ASSE DELLE ASCISSE • Preso un punto P sull’asse delle ascisse, a P si può sempre associare xPR, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo). xP è chiamata ascissa di P • Viceversa,  xP R ! P  r : x= xP. • Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.

49. SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna: • Un verso positivo di percorrenza • Una unità di misura Si ottiene così un sistema di riferimento cartesiano Ortogonale / obliquo Monometrico / dimetrico

50. II (- , +) I (+ , +) IV (+ , -) III (- , -) COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO • Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y)