I. Définition II. Énergie de déformation III. Théorèmes énergétiques

I. Définition II. Énergie de déformation III. Théorèmes énergétiques

état initial travail des forces extérieures Wext travail des forces intérieures Wint Théorème de l’énergie cinétique + = 0 état final F1 F2 Énergie de déformation : Wd = - Wint = Wext I. Définition déformation élastique de la poutre

Exemple : cas d’une sollicitation de traction Hypothèses : • effort de traction variable • proportionnalité entre l’effort et l’allongement Aire du triangle OAB Travail de l’effort de traction

Soit l’allongement du tronçon dx soit - Équilibre d’un tronçon de longueur dx Loi de HOOKE Énergie de déformation élémentaire

II. Énergie de déformation D ’une manière générale Effort normal : traction/compression Effort tranchant : Ty ou Tz Moment de torsion : Mx Moment fléchissant : My ou Mz

effort normal + effort tranchant + moment fléchissant + moment de torsion

Fi DéplacementsUi Cj Cj Rotationsqj Fi III. Théorèmes énergétiques III.1. Théorème de Clapeyron Travail des forces extérieures

ey S1 S2 B C A ex l P ey B C A ex a P III.2. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti = Flèche dans la section S1 due à la charge P en S2 Flèche dans la section S2 due à la charge P en S1

A B C Fi III.3. Théorème de Castigliano Théorème :ledéplacement du point d’application d’une force dans sa direction (ou la rotation d’un couple) est égale à la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à cette force (ou à ce couple) :

III.4. Théorème de Ménabréa Théorème :la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à chacune des inconnues surabondantes est nulle, à condition que les points d’application des forces ne bougent pas (Ui = 0) ou que les sections ne tournent pas (qi = 0) Structure hyperstatique d ’inconnues surabondantes Ri Wd = f(Ri)

ey A C G B ex P Q = 1 -détermination de l’équation de la déformée - charge fictive unitaire Q travaillant dans le déplacement Uy(G) III.5. Calcul du déplacement d ’un point non chargé Poutre sur 2 appuis Flèche en G ? Théorème de CASTIGLIANO

Pour une meilleure compréhension voir corrigés en pdf Quelques Compléments intéressants

Le moment statique S d’une section par rapport à un axe est égal au produit de l ’aire de la section par la distance entre son centre de gravité G et l ’axe. Moment Statique  Sy = z dA Sz = y dA 

Le centre de gravité G d ’une section est le point tel que le moment statique de la section par rapport à n ’importe quel axe passant par ce point est nul. Centre de gravité

Propriétés :Si la section possède un axe de symétrie, le centre de gravité G est situé sur cet axe. A défaut d ’axes de symétrie: - Choisir un axe de référence Oxy - Calculer le moment statique S de la section par rapport à cet axe - Calculer l ’aire totale de la section - Utiliser la propriété du moment statique Sy = Zg . A Centre de gravité

Centre de gravité Exemple: Zg = (A1.d1 +A2.d2+A3.d3) / (A1+A2+A3) Zg = (Σ des Moments statiques) /(Σ des surfaces)

z y dy y MOMENTS D’INERTIE Les moments d’inertie Iz and Iy d’une aire sont   Iz = y 2dA Iy = z 2dA Etudions le cas d’un rectangle

z y h G b Moment quadratique de section connues: Rectangle Par rapport à un axe passant par G Iy = (b.h3)/12 Iz = (h.b3)/12 Moment d ’inertie ou quadratique

Définition: Le moment d ’inertie d ’une surface infiniment petite par rapport à un axe éloigné de cette surface est égale au produit de son aire par le carré de la distance à l ’axe. Il est toujours positif et s ’exprime en mm4 Moment d ’inertie ou quadratique

z y z y Moment quadratique de sections connues: Cercle Iy = Iz = (π.D4) /64 Couronne Iy = Iz = (π.(D4-d4))/64 Moment d ’inertie ou quadratique

Théorème de Huygens: Le moment d ’inertie d ’une section par rapport à un axe quelconque Δ est égal au moment d ’inertie de la section par rapport à l ’axe passant par son centre de gravité et parallèle à Δ augmenté du produit de l ’aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes. Moment d ’inertie ou quadratique

Compléments y Moment d’inertie polaire dA r y  JO = r 2dA x O x A La distance depuis O jusqu’a l’élément d’aire dA etr. on sait que r 2 =x 2 + y2, on peut écrire la relation JO = Ix + Iy

Compléments Le rayon de gyration d’une surface A selon l’axe x est défini par kx, où Ix = ix ^2 . A. Similairement on peut trouver ky selon l’axe y 2 JO A Ix A Iy A iO = ix = iy =

Compléments Ce théoreme peut etre utilisé pour le moment d’inertie polaire. c d o JO= JC+ Ad 2 Le théoreme de l’axe parallele est utilisé trés efficacement pour calculer le moment d’inertie d’une aire composée selon un axe donné.

Compléments y Le produit d’inertie d’une aire A est défini comme y’ x’  Ixy= xy dA  x O Ixy = 0 si la surface A est symmetrique selon un ou plusieurs axes. Le théoreme de l’axe parallele pour le produit d’inertie est Ixy= Ix’y’+ xyA

Compléments y y’ Les relations entre les moments sont: x’  x O Ix + Iy 2 Ix - Iy 2 cos 2 Ix’= + - Ixy sin 2 Ix + Iy 2 Ix - Iy 2 cos 2 Iy’= - + Ixy sin 2 Ix - Iy 2 Ix’y’= sin 2 + Ixy cos 2

Approche système: Méthode des fonctions de singularité

The M-file can be written as function beam(x) xx = linspace(0,x); n=length(xx); for i=1:n uy(i) = -5/6.*(sing(xx(i),0,4)-sing(xx(i),5,4)); uy(i) = uy(i) + 15/6.*sing(xx(i),8,3) + 75*sing(xx(i),7,2); uy(i) = uy(i) + 57/6.*xx(i)^3 - 238.25.*xx(i); end plot(xx,uy) function s = sing(xxx,a,n) if xxx > a s = (xxx - a).^n; else s=0; end This function can be run to create the plot, >> beam(10)

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