Wykłady z matematyki „W y z n a c z n i k i”

1. Politechnika Poznańska Wykład z Matematyki Temat wykładu : ''Wyznaczniki'' Wykłady z matematyki „W y z n a c z n i k i” Wykładowca dr. Lechosław Hącia Przygotował Grzegorz Żabierek Politechnika Poznańska

2. Wyznaczniki definicje i przykłady • Definicja Wyznaczników • Wyznaczniki I – go stopnia: Definicja: np. • Wyznaczniki II – go stopnia: Definicja np.

3. Wyznaczniki definicje i przykłady • Wyznaczniki III – go Stopnia Wyznaczniki III – go stopnia określamy metodą Surrusa Definicja: • Wyznaczniki n – tego stopnia Wyznaczniki n – tego stopnia definiujemy metodą Laplace’a w następujący sposób : Aik są dopełnieniami algebraicznymi, przy czym Mik są podwyznacznikami (minorami) otrzymanymi z wyznacznika W przez skreślenie w nim i, tego wiersza i k, tej kolumny. - +

4. Wyznaczniki definicje i przykłady • Przykłady z wnioskami i twierdzeniami Przykład nr 1. Metoda Sarrusa UWAGA: Z definicji Laplace’a wynika że: • wyznacznik stopnia n – tego sprowadza się do n – wyznaczników stopnia (n-1) –ego. • im więcej zer w wybranym wierszu (kolumnie), tym mniej minorów potrzebnych do wyliczenia . • jeżeli wiersz składa się z samych zer, to wartość wyznacznika wynosi 0. • wartość wyznacznika nie ulega zmianie bez względu na wybór wiersza lub kolumny. • zamiana dwóch wierszy (kolumn) powoduje zmianę znaku wykładnika. • zamiana wierszy na kolumny i odwrotnie nie odgrywa roli. Rozwiniecie Laplace’a względem I wiersza

5. Wyznaczniki wnioski i twierdzenia Wniosek 1 : W celu obliczenia wyznacznika należy go tak przekształcić, aby w wybranym wierszu (kolumnie) uzyskać jak największa ilość zer; w tym celu wykorzystujemy twierdzenie: Twierdzenie 1 : Pomnożenie wiersza (kolumny) przez jakąś liczbę i dodanie go do innego wiersza (kolumny) nie zmienia wartości wyznacznika Wniosek 2 : Wartość wyznacznika wynosi zero, jeżeli 2 wiersze (kolumny) są równe lub proporcjonalne.

6. (-1) Wyznaczniki przykłady Przykład 2. -1 -1 (-2) 1 1 -1 -2 -1

7. 1 2 -3 Wyznaczniki przykłady Przykład nr 3. Przykład nr 4. -2 Bo wiersze 1 i 3 są jednakowe -1

8. Przykład nr 5 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 = 3 1 3 = 3 1 3 1 2 2 1 1 1 • Własności wyznaczników: • Wartość wyznacznika nie ulega zmianie jeżeli dowolny wiersz lub kolumnę pomnożymy przez jakąś liczbęi dodamy do innego wiersza lub kolumny. • Wartość wyznacznika zmieni znak jeśli przedstawimy ze sobą dwa sąsiednie wiersze lub kolumny. • Wspólny czynnik danego wiersza lub kolumny można włączyć przez znak wyznacznika. Przepisujemy pierwsze dwa wiersz

9. Wyznaczniki własności • Wartość wyznacznika wynosi zero jeżeli : • Wszystkie elementy danego wiersza lub kolumny są zerami . • Gdy wiersze lub kolumny są jednakowe. • Gdy wiersze lub kolumny są proporcjonalne. • Wspólny czynnik danego wiersza lub kolumny można wyłączyć przed znak wyznacznika . • Przestawienie wszystkich wierszy wyznacznika na miejsce jego kolumn i odwrotnie , bez zmiany ich porządku nie zmienia wartości wyznacznika. U W A G A: Znajomość działania zgodnie z własnościami wyznaczników pozwala na właściwe działania na macierzach , a co za tym idzie możliwość rozwiązywania równań z wieloma niewiadomymi. Na przykład : Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych nazywany wyznacznikiem charakterystycznym układu pozwala na zastosowanie twierdzeniach opracowanych przez wybitnego matematyka Cramera wzory, które wprowadził do nauk matematycznych ,pozwalają na sprawne rozwiązywanie równań o wielu niewiadomych.

10. Wyznaczniki zastosowanie twierdzenia Cramera • Przykłady równań o dwóch niewiadomych Przykład nr 5. Mamy równania o dwóch niewiadomych x + 2y = 3 2x - y = 1 Tworzymy wyznacznik główny przy niewiadomych . Następnie tworzymy wyznaczniki przy niewiadomych x , y . W tym przypadku zastępujemy kolumnę przy niewiadomych kolumną wyrazów wolnych. Następnie zgodnie z wzorami Cramera obliczmy niewiadome x i y Podobnie postępujemy gdy mamy równania o większej liczbie niewiadomych