Курс «Имитационное моделирование»

1. Курс «Имитационное моделирование» Автор курса: Березин Денис Александрович к.э.н, доцент кафедры математической экономики УрГУ

2. Сведения о курсе • Продолжительность – 36 часов; • Форма итогового контроля – экзамен; Состоит из разделов: • «Теория массового обслуживания». • «Инструментальные средства имитационного моделирования» • «Имитационное моделирование экономических процессов»

3. Раздел I. «Теория массового обслуживания» Тема «Случайные процессы» Лекция №1

4. Случайные процессы Определение:Случайный процесс (вероятностный, стохастический) – это процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями. Определение:Процесс с дискретными состояниями – это процесс, возможные состояния которого можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходитмгновенно. Определение:Процесс с непрерывным временем – это процесс, при котором моменты возможных переходов системы изсостояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

5. Случайные процессы Определение:Марковский процесс (случайный процесс без последствий) – это процесс, при котором для любого момента времениt0вероятностные характериcтики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла вэто состояние. Пример марковского процесса - показания счетчика в такси.

6. Случайные процессы Определение:Граф состояний – графическая схема случайного процесса с дискретными состояниями; Пример: Устройство S состоит из двух узлов. Состояния: S0 – оба узла исправны: S1 – первый узел ремонтируется, второй исправен; S2- второй узел ремонтируется, первый исправен; S3 - оба узларемонтируются;

7. Случайные процессы Граф состояний: S0 S2 S1 S3

8. Случайные процессы Потоки событий Определение:Поток событий- это последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайныe моменты времени Интенсивность λ – частота появления событий в единицу времени Определение: Поток событий называется регулярным, если события следуютодно за другим через определенные равные промежутки времени. Определение: Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

9. Случайные процессы Определение: Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времениτ1 и τ2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Определение: Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый участок времени t0двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностьюпопадания одного события.

10. Случайные процессы Простейший поток событий называется простейшим (стационарнымпуассоновским), если он: • Стационарен; • Ординарен; • Не имеет последействия; Теорема: При наложении(суперпозиции) достаточно большого числаn независимых, стационарных и ординарных потоков с интенсивностями λi(i=1,2..n) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью:

11. Случайные процессы Рассмотрим простейший поток событий как неограниченную последовательность случайных точек: Число mсобытий, попадающих на отрезок τ, распределено по закону Пуассона:

12. Случайные процессы Математическое ожидание равно дисперсии: a=σ2=λτ Вероятность того, что за время τне произойдет ни одного события (m=0): Найдем распределение интервала времени Т между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока.

13. Случайные процессы Вероятность того, что на участке времени длиной t не появится ни одного из последующих событий, равна: Вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины T: Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции распределения:

14. Случайные процессы Распределение, задаваемое функцией распределения (4) или плотностью вероятности (5) называется показательным (или экспоненциальным) Таким образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению случайной величины: a=σ=1/λ

15. Случайные процессы Важнейшее свойство показательного распределения: Если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время τ то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (T- τ). Он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т. Для простейшего потока с интенсивностью λвероятность попадания на элементарный отрезок времени Δt хотя бы одного события:

16. Раздел I. «Теория массового обслуживания»(продолжение) Тема «Случайные процессы» Лекция №2

17. Случайные процессы Уравнения Колмогорова Рассмотримпример из Лекции №2. Пусть λij – интенсивность простейшего потока событий, под воздействием которых происходит переход системы из состояния Siв состояние Sj. Вероятностью i-го состоянияназывается вероятность pi(t)того, что в момент tсистема будет находиться в состоянии Si.

18. Случайные процессы Рассмотрим систему в момент t и зададим малый промежуток времени Δt. Найдем вероятность p0(t+Δt)того, что система вмомент (t+ Δt) будет находиться в состоянии S0. Это достигается разными способами: 1) Система в момент t с вероятностью po(t) находилась в состоянии S0 , и за время Δtне вышла из него. (λ01+λ02) – интенсивность суммарного простейшего потока, выводящего систему из состояния S0. PΔt≈ (λ01+λ02)Δtвероятность выхода системы из состояния S0.

19. Случайные процессы По теореме умножениявероятностей: p0(t)(1-(λ01+λ02)Δt) - вероятностьтого, что система находилась в состоянии S0 и за время Δtне вышла из него. 2) Система в момент t с вероятностью p1(t) (или p2(t)) находилась в состоянии S1 (или S2) и за время Δtперешла в состояние S0. λ10Δt – вероятность перехода системы из состояния S1 в состояние S0. λ20Δt – вероятность перехода системы из состояния S2 в состояние S0.

20. Случайные процессы По теореме умножениявероятностей: p1(t)λ10Δt - вероятностьтого, что система находилась в состоянии S1 и за время Δtперешла в состояние S0. p2(t)λ20Δt - вероятностьтого, что система находилась в состоянии S2 и за время Δtперешла в состояние S0. По теореме сложения вероятностей: p0(t+ λ20Δt)= p1(t)λ10Δt+p2(t)λ20Δt+p0(t)(1-(λ01+λ02)Δt). Отсюда,

21. Случайные процессы При Δt0 получаем дифференциальное уравнение 1го порядка: Рассуждая аналогично для других состояний системы S получаем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей системы:

22. Случайные процессы Правило составления уравнений Колмогорова: В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части - сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых есть дуги вi-е состояние) на интенсивности соответствующих потоковсобытий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящихсистему из данного состояния, умноженная на вероятность i-го состояния. Для решения системы (7) необходимо добавить условие:

23. Случайные процессы Зададим начальные условия для системы дифференциальных уравнений (7): При t=0p0(0)=1, p1(0)=p2(0)=p3(0)=0 (предположим, что при t=0система была исправна, т.е. находилась в состоянии S0.). Решение уравнений Колмогорова позволяют найти все вероятности состояний системы как функции времени. Особый интерес – предельные (финальные) вероятности системы (при Δt).

24. Случайные процессы Предельная вероятность состояния Sj. системы S показывает среднее время пребывания системы вэтом состоянии (в долевом отношении). Предельные вероятности постоянны в системе (7) p'0(t)= p'1(t)= p'2(t)=p'3(t)=0. Получаем СЛАУ, описывающих стационарный режим:

25. Случайные процессы Процесс гибели и размножения Класс случайных процессов с графом состояний: Переходы осуществляются только в соседние состояния! Предположение: Все потоки событий случайного процесса являются простейшими. S0 S1 S2 Sk Sn

26. Случайные процессы СЛАУ для предельных вероятностей: Нормировочное условие:p0+p1+…+pn=1

27. Случайные процессы Решение СЛАУ: Числители в коэффициентахпри p0представляют произведение всех интенсивностейпотоков слева направо до состояния Sk(k=I, 2, ..., п), а знаменатели- произведение всех интенсивностей потоков справа налево до состояния Sk(k=I, 2, ..., п).

28. Случайные процессы Пример: Задан граф состояний системыS: Решение: Таким образом, в стационарном режиме система Sнаходится в состоянии S0 – 70,6% времени; в состоянии S1 – 17,6% времени; в состоянии S2 – 11,8% времени. Найти предельные вероятности системы S. S0 S1 S2

29. Раздел I. «Теория массового обслуживания»(продолжение) Тема «Системы массового обслуживания» Лекция №3

30. Системы массового обслуживания Определение:Система массового обслуживания (СМО) – это совокупность приборов, каналов, станков, линий обслуживания, на которые в случайные или детерминированные моменты времени поступают заявки на обслуживание. Примеры СМО: • вычислительные комплексы, • банковские системы • торговые терминалы • коммутаторы телефонных станций • информационные службы • комбинаты бытового обслуживания и т.д.

31. Системы массового обслуживания Схема работы СМО заявка заявка заявка СМО Обработанные заявки заявка заявка заявка заявка заявка

32. Системы массового обслуживания Предмет теории массового обслуживания: построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число заявок, каналов, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок

33. Системы массового обслуживания Показатели эффективности СМО: • среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; • среднее время ожидания обслуживания; • среднее число заявок в очереди; • вероятность отказа вобслуживании без ожидания; • вероятность превышения числа заявок в очереди определенногозначения и др.

34. Системы массового обслуживания Классификация СМО производится по различным признакам: Число каналов обслуживания одноканальные многоканальные СМО СМО

35. Системы массового обслуживания Характер поступления заявок С отказами С ожиданием СМО СМО

36. Системы массового обслуживания Дисциплина обслуживания С приоритетом Без приоритета абсолютным относительным СМО СМО

37. Системы массового обслуживания Организация очереди неограниченная ограниченная СМО СМО

38. Системы массового обслуживания Время ожидания заявки в очереди неограниченное ограниченное СМО СМО

39. Раздел I. «Теория массового обслуживания»(продолжение) Тема «Системы массового обслуживания» Лекция №4

40. Системы массового обслуживания СМО с отказами В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать: А - абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; Q - относительную пропускную способность,т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой; Ротк- вероятность отказа,т.е. того, что заявка покинет СМО не обслуженной; - среднее число занятых каналов(для многоканальной системы)

41. Системы массового обслуживания Одноканальная СМО с отказами Имеет 1 канал на который поступает поток заявок с интенсивностью . , - интенсивность потока обслуживания - среднее время обслуживания; Граф состояний: Состояние S0 – канал свободен; СостояниеS1 – канал занят; S0 S1

42. Системы массового обслуживания Исследуем предельные вероятности состояний: Учитывая p0+p1=1  Таким образом, 

43. Системы массового обслуживания Пример: Заявки на телефонные переговоры поступают диспетчеру с интенсивностью =90 заявок в час (l/ч). Средняя продолжительность разговора по телефону = 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО при наличии одного телефонного номера. Решение: Тогда, , т.е. в среднем диспетчер ответит только на 25% звонков Вывод: Одного номера недостаточно - среднее число обслуженных заявок

44. Системы массового обслуживания Многоканальная СМО с отказами Рассмотрим классическую задачу Эрланга: Имеется п каналов, на которые поступает поток заявок ,с интенсивностью. Поток обслуживаний имеет интенсивность. Найти предельные вероятности состояний системыи показатели ее эффективности. Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения: Состояние Sk– когда в СМО занятыkканалов. Sn S0 S1 S2

45. Системы массового обслуживания По формулам для процесса гибели и размножения: Обозначим – приведенная интенсивность потока заявок; Тогда, ……….. ……… Формулы Эрланга

46. Системы массового обслуживания Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того,что все п каналов системы будут заняты: Относительная пропускная способность: Абсолютная пропускная способность: Среднее число занятых каналов

47. Системы массового обслуживания Пример: Вусловиях предыдущей задачи определить оптимальное числотелефонных номеров, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры. Решение: Рассчитаем интенсивность нагрузки канала: , т.е. за время среднего (по продолжительности)телефонного разговорапоступает в среднем 3 заявки на переговоры. Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонныхномеров) п=2,3,4,… и определять характеристики СМО.

48. Системы массового обслуживания Например, при n=2: По условию оптимальности Q0.90  необходимо установить 5 телефонных номеров.

49. Системы массового обслуживания Пример: В вычислительный центр коллективного пользования с 3 рабочими станциями поступают заказы на вычислительные работы. При загрузке всех ЭВМ вновь поступивший заказ не принимается. Среднее время работы с одним заказом – 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности. Решение: По условию n=3 =0.25(1/ч) = 3 часа Отсюда, Интенсивность нагрузки: (1/ч)

50. Системы массового обслуживания Рассчитаем предельные вероятности: Вывод: В стационарном режиме в среднем 47% времени нет ни одной заявки; 35,7 % времени – обрабатывается 1 заявка; 13,4% времени – обрабатываются 2 заявки; 3,3% времени – обрабатываются 3 заявки; 