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ディジタル信号処理

ディジタル信号処理. デザイン情報学科 メディア情報設計 河原英紀. 本日の予定. レポートから 課題の解答 高速 Fourier 変換 FFT(Fast Fourier Transform) なぜ FFT は重要か FFT でどれだけ早くなるか どうして FFT で早くなるのか. レポートから. 今日の授業は資料に書き込めたので理解しやすかった 窓関数が良く理解できなかった 窓関数は分かったが DFT の性質が分らない 窓関数はなぜ 『 窓 』 というのか？ 授業の資料をダウンロードせずに見ることができるようにして欲しい

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  1. ディジタル信号処理 デザイン情報学科 メディア情報設計 河原英紀 ディジタル信号処理

  2. 本日の予定 • レポートから • 課題の解答 • 高速Fourier変換FFT(Fast Fourier Transform) • なぜFFTは重要か • FFTでどれだけ早くなるか • どうしてFFTで早くなるのか ディジタル信号処理

  3. レポートから • 今日の授業は資料に書き込めたので理解しやすかった • 窓関数が良く理解できなかった • 窓関数は分かったがDFTの性質が分らない • 窓関数はなぜ『窓』というのか？ • 授業の資料をダウンロードせずに見ることができるようにして欲しい • ようやくデモで見たアニメーションの意味が分かった ディジタル信号処理

  4. レポートから • 以前のテストの解答を忘れないうちに見たい • 課題の解答に時間を割いたのが良かった • 全くついて行けなくなった。分らないところも分らない • 授業のスピードがまだ早い • 授業のスピードはちょうど良く、内容もちょうど良かった • 授業の資料を学科事務に置いて欲しい • 講義室が寒すぎた • FFTが早い理由が分らない ディジタル信号処理

  5. レポートから • 課題の前に例題で具体的に解いて欲しい • 最近は何となく授業の内容が分るようになって来た • PowerPointの授業は見やすくて分かりやすい。しかし、ノートが取れないのでプリント配付が理想　←？？プリントは配付していますが？？ ディジタル信号処理

  6. DFTの性質 線形性 対称性 推移定理 回転子 ディジタル信号処理

  7. DFTの性質 循環畳込みとDFT ディジタル信号処理

  8. 窓関数の必要性 のDFTはどうなるか？ の場合には、複数の成分が非零になる 周期が不一致の場合、不連続が発生 ディジタル信号処理

  9. 様々な窓関数 Hamming窓 hanning窓 Blackman窓 ディジタル信号処理

  10. 課題 周期をM=N-1として、前のページで定義された Hamming窓、hanning窓、Blackman窓のDFTを 求めよ。また、以下の信号をhanning窓によって 切り出した信号のDFTを求めよ。 （ヒント：窓のDFTは、絶対値と位相を用いて 表した方が容易に解ける。推移定理を利用して 簡単化すること。） ディジタル信号処理

  11. 課題の解答例：Hamming Hamming窓 周期M=N-1であるから、n=0からM-1までのw[n]について DFTを計算する。混乱を避けるため、Mを用いてHamming 窓を表しておく。 求めるべきDFTは、次式となる。 ディジタル信号処理

  12. 課題の解答例 ディジタル信号処理

  13. 課題の解答例 失礼！配付プリントに 誤りがありました。 ディジタル信号処理

  14. 課題の解答例：hanning hanning窓の場合は、係数が異なるだけで同形であるので、 ただちに次が得られる。 失礼！配付プリントに 誤りがありました。 ディジタル信号処理

  15. 課題の解答例：Blackman Blackman窓の場合は、まず、Mを用いて次式のように 書き換える 第三項をEulerの公式を用いて変形することで、ただちに以下が得られる ディジタル信号処理

  16. 課題の解答例 これらの積のDFTを求める ディジタル信号処理

  17. 課題の解答例 方法１： 展開してCOSの加法定理を用いて整理し、Eulerの公式 を用いて複素指数関数の和とする 方法２： 畳込み法則を用いて、窓関数のDFTと、信号のDFTか ら求める Nを法とする剰余の略記法（一般的ではない） ディジタル信号処理

  18. 課題の解答例 ディジタル信号処理

  19. 課題の解答例 畳込み法則に代入すると直ちに次を得る ディジタル信号処理

  20. なぜFFTは重要か？ • DFTを高速に求めることができる • 畳込みを高速化することができる信号のFFT： X(k) インパルス応答のFFT：H(k)両者の積：Y(k)=X(k)H(k)を求めるY(k)の逆FFTを求める • 信号の長さをN, インパルス応答の長さをMとすると、畳込みの計算にはNM回の積和が含まれる　FFTを介することで、NlogMのオーダーに積和が減少する ディジタル信号処理

  21. FFTでどれだけ早くなるか 計算時間 Nが素数の場合 Nが2個の 素数の積の場合 N=2000 付近で DFTは 約140ms ディジタル信号処理 N

  22. FFTでどれだけ早くなるか 前のページ の拡大図 N=2048の 場合には 1.4ms 100倍 早くなる ディジタル信号処理

  23. DFTの計算 N=8の例 x[0] X(0) x[1] X(1) x[2] X(2) x[3] X(3) x[4] X(4) x[5] X(5) x[6] X(6) x[7] X(7) この積和の回数を 組織的に削減する 64回の複素数の積 ディジタル信号処理

  24. DFTの計算 DFTの形に類似している ディジタル信号処理

  25. 高速Fourier変換の仕組み ここで 右の関係を利用 ディジタル信号処理

  26. 高速Fourier変換の仕組み を用いて整理 ディジタル信号処理

  27. 高速Fourier変換の仕組み ここで 右の関係を利用して 整理 ディジタル信号処理

  28. 高速Fourier変換の仕組み X(0) x[0] x[2] X(1) G x[4] X(2) x[6] X(3) X(4) x[1] -1 W X(5) x[3] H -1 W X(6) x[5] -1 W x[7] X(7) -1 W 複素数の積和の回数が36回に減少 ディジタル信号処理

  29. DFT (N=2) DFT (N=2) DFT (N=2) DFT (N=2) 高速Fourier変換の仕組み x[0] x[4] -1 W G(0) x[0] x[4] G(1) x[2] G(2) W -1 x[6] G(3) W -1 H(0) x[1] H(1) x[5] H(2) x[3] -1 W x[7] H(3) -1 W ディジタル信号処理

  30. 課題 • DFTの畳込み法則を、定義と推移法則等を用いて導くこと • 実数の信号x[n]とy[n]がある。 x[n]+jy[n]のDFTであるS(k)を、 x[n]のDFTであるX(k)とy[n]のDFTであるY(k)を用いて表せ。 • 実数の信号のDFTの実部は偶関数、虚部は奇関数となる。このことを利用して、 x[n]+jy[n]のDFTであるS(k)を用いて、 x[n]のDFTであるX(k)とy[n]のDFTであるY(k)を表せ。 ディジタル信号処理

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