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CSI 2501 / R ègles d'inférence ( §1.5-1.6-1.7)

CSI 2501 / R ègles d'inférence ( §1.5-1.6-1.7). Introduction Preuves mathématiques. Arguments en logique propositionnelle équivalence des expressions quantifiées Règles d'inférence en logique propositionnelle La déduction naturelle est fondée sur des règles d'inférence

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CSI 2501 / R ègles d'inférence ( §1.5-1.6-1.7)

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  1. CSI 2501 / Règles d'inférence (§1.5-1.6-1.7) Introduction Preuves mathématiques. Arguments en logique propositionnelle équivalence des expressions quantifiées Règles d'inférenceen logique propositionnelle La déduction naturelle est fondée sur des règles d'inférence Les règles d'inférence pour construire des arguments pièges dans lesquels il est facile de tomber Règles d'inférence pour les phrases quantifiées. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  2. preuve mathématiques Une preuve mathématiques correcte (valable logiquement) et complète (claire et détaillée) est un argument qui établie d’une façon rigoureuse et définitive la vérité d’une déclaration mathématique. • Un argument correct permet de s’assurer du résultat. • Un argument complet permet a quiconque de vérifier le résultat. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  3. preuve mathématiques Applications des preuves • C’est un exercice de communication claire et précise d’arguments logiques dans tous les domaines. • L’activité fondamentale des mathématiciens est la découverte et l’élucidation, par des preuves des nouveaux théorèmes intéressants. • La théorie et méthodes de preuves a des applications dans la vérification des programmes, sécurité informatique, systèmes de raisonnement automatiques, etc. • Prouvez un théorème permet de l’utiliser dans des applications critiques sans soucis. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  4. Terminologie • Théorème: Une déclaration dont la vérité a été démontrée. • Axiomes, postulats, hypothèses: Des suppositions (la plus part du temps non prouvées) et qui définissent les règles et structures sur lesquelles la théorie se repose. • Règles d'inférence: suite de déductions logiques et qui mènent des hypothèses vers la conclusion. • Lemme: un résultat d’importance moindre qu’un théorème. En général c’est une étape pour prouver un théorème plus important. • Corollaire: Un théorème d’importance mineure et dont la preuve est une conséquence simple d’un théorème majeur. • Conjecture: Une déclaration dont la vérité n’a pas été démontrée. (En général on propose une conjecture si on croit qu’elle est vrai sans être capable de la prouver.) • Théorie: L’ensemble de tous les théorèmes qui peuvent être prouver a partir des axiomes. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 4

  5. Une preuve Visualisation d’une théorie Une théorie particulière … Les axiomesde la théorie Les théorèmes Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  6. Comment concevoir une preuve? • Considérer les déclarations suivantes: • Si hier soir vous n’avez pas dormi alors vous allez dormir durant le cours. • Hier soir vous n’avez pas dormi • On peut conclure que vous allez dormir durant le cours. • Soit P “hier soir vous n’avez pas dormi” • Soit Q “vous allez dormir durant le cours” • Ceci est le forme de notre argument: Ca reviens a une tautologie: ((pq)  p)  q • P  Q • P • ---------- • Q Dr. Zaguia-CSI2501-H12 6

  7. Règles d'inférence • On peut utiliser toutes les formes d’arguments • On peut (et on doit) toujours vérifier la validité d’un arguments (i.e. avec les tables de vérité). • Il y a une infinité de formes d’arguments possibles. • Les formes d’arguments les plus simples sont les plus utiles et qui sont utilisées le plus couramment. • le lecteur pourra facilement vérifier l’argument • Des arguments complexes se décomposent et peuvent se dériver a partir d’arguments simples • L’idée originale est de créer des méthodes automatiques de génération de preuves. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  8. Règles d'inférence Une règle d'inférence logique est une forme qui indique que si toutes les prémisses (hypothèses) sont vrais alors on en déduit que la conclusion est aussi vrai. antécédent 1 antécédent 2 …  conséquence “” veut dire “par conséquent” Toute règle logique d'inférence correspond a une implication qui est une tautologie: ((ante. 1)  (ante. 2)  …)  conséquence Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  9. Des Règles d'inférence • p Règles d’addition pq • pq Règles de simplification p • p Règles de conjonctionq  pq Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 9

  10. Modus Ponens & Tollens • p Règles demodus ponenspq(Règle de détachement)q • q pq Règles demodus tollensp “le mode d’affirmation” “le mode de nier” Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 10

  11. Syllogism & Resolution Inference Rules pq qr pr p  q p q Règles « syllogisme » transitivité Règles « syllogisme »disjonctive p  q p  r q  r Règles de Résolution Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 11

  12. Preuves formelles • Etant données les hypothèses p1, p2,…,pn. une preuve formelle de la conclusion C consiste d’une séquence d’étapes qui mènent a C. • Chaque étape utilise une règle d’inférence appliquées aux hypothèses, et mène a une nouvelle assertion qui soit vrai. • Une preuve démontre que si les prémisses (hypothèses) sont vrais alors la conclusion est vrai. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 12

  13. Exemple d’une Preuve formelle Supposant qu’on a les prémisses suivants: “Il ne fait pas beau et il fait froid.”“S’il fait beau on va nager.”“Si on ne va pas nager alors on va faire du canoë.”“Si on va faire du canoë, alors on rentrera tôt a la maison.” Etant données les prémisses ci-dessus prouver le théorème suivant:“on rentrera tôt a la maison.” Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 13

  14. Exemple d’une Preuve formelle Adoptons l’abréviation suivante: • beau = “Il fait beau”; • froid = “Il fait froid”; • nager= “On va nager”; • canoë = “on va faire du canoë”; • tôt = “on rentrera tôt a la maison”. Les prémisses peuvent êtres écrites comme suit:(1) beaufroid (2) nager beau(3) nager canoë(4) canoë  tôt Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 14

  15. Exemple d’une Preuve formelle étapeProuver par1. beau froid Prémisse #1.2. beauSimplification de 1.3. nagerbeauPrémisse #2.4. nagerModus tollens sur 2,3.5. nagercanoëPrémisse #3.6. canoëModus ponens sur4,5.7. canoëtôtPrémisse #4.8. tôtModus ponens sur 6,7. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 15

  16. N  P N  P NS S A N A R  T R  H T  H BI I B Exercices • Quelles sont les règles d’inférence utilisées: • Il neige ou il pleut. Il ne neige pas et donc il pleut. • S’il y a de la neige je vais faire du ski. Si je vais faire du ski alors je m’absenterais du cours. Il y a de la neige, par conséquent je m’absenterais du cours. • Je suis riche ou je dois travailler. Je ne suis pas riche ou j’aime jouer du hockey. Par conséquent je dois travailler ou j’aime jouer du hockey. • Si tu est blonde alors tu es intelligente. Tu es intelligente donc tu es blonde. Faux Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 16 16

  17. Construire des arguments avec les règles d’inférence Prouver le théorème suivant: “S'il ne pleut pas ou s'il n'est pas brumeux, alors la course a la voile et la démonstration du sauvetage auront lieu. Si la course a la voile aura lieu alors le prix sera décerné. Le prix n’a pas été décerné par conséquent il a plut.” Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 17 17

  18. C  L LLT  ??? R  G S  R L G C R  ??? Autres exemples Que peut-on en déduire: • “Je suis intelligent ou chanceux. Je ne suis pas chanceux. Si je suis chanceux alors je gagnerais le loto.” • “Tous les rongeurs rongent leur nourriture. Les souris sont des rongeurs. Les lapins ne rongent pas leur nourriture. Les chauves-souris ne sont pas des rongeurs. R “rongeur” G “rongent leur nourriture” L “Lapin” S “Souris” C “chauves-souris” Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 18

  19. Résolution • Règle de résolution • p q • pr • ------- •  qr • Utilisée par les systèmes automatiques de raisonnement et preuves. • C’est la base de la programmation logique, comme Prolog. Toutes les hypothèses et les conclusions sont exprimées sous format de clauses (disjonction de variables ou de leurs négations). Résolution est la seule règle d’inférence utilisée. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 19 19

  20. Résolution • Exprimer sous la forme de conjonction de clauses: • p(qr) • (pq) • p  q • (pq) • Utiliser la règle de résolution pour monter que • (pq)(pq)(pq)(pq) n’est pas satisfaite (pq)(pr) (p)  (q) (pq) ((pq)(qp)) = (pq)  (qp) = (p q)  (pq) = ((p q)  (p))  ((p q)  q)) = (q p)  (p  q) (q  q) = F Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 20 20

  21. Règles d’inférence pour les assertions quantifiées Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 21

  22. Révision • Formes d’arguments les plus utilisées en logique propositionnelle • modus ponens, modus tollens, syllogisme (transitivité d’implication), syllogisme disjonctive , addition, simplification, conjonction, résolution • Règles d’inférence pour les expressions quantifiées • Instance universelle, généralisation universelle • Instance existentielle, généralisation existentielle • Résolution et programmation logique • tout peut s’exprimer avec des « clauses » • Il est suffisant de n’utiliser que les résolution. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 22 22

  23. Combiner les règles d’inférence • x (P(x)  Q(x)) • P(a) • -------- modus ponens Universel  Q(a) • x (P(x)  Q(x)) • Q(a) • -------- modus tollens Universel  P(a) Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 23 23

  24. Exemples/exercices • Utiliser les règles d’inférence pour montrer ce qui suit: • x (P(x)  Q(x)) • x(Q(x)  S(x)) • x (R(x)  S(x) • x P(x) •  x R(x) • x (P(x)  Q(x)) etx(Q(x)  S(x)) implique • x(P(x)  S(x)) • x (R(x)  S(x)) est équivalent to • x(S(x) R(x)) • Donc x(P(x)  R(x)) • Puisque x P(x) est vrai. Donc P(a) pour un certain a du domaine. Puisque P(a)  R(a) est vrai. Conclusion R(a) est vrai et doncx R(x) est vrai Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 24 24

  25. Examples/exercises • Trouver l’erreur dans l’argument ci-dessous • xP(x) xQ(x) implique x(P(x)Q(x)) • xP(x)  xQ(x) hypothèse • xP(x) simplification de 1. • P(c) instance universelle de 2. • xQ(x) simplification de 1. • Q(c) instance universelle de 4. • P(c)Q(c) conjonction de 3. et 5. • x (P(x) Q(x)) généralisation existentielle c???? Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 25 25

  26. Exemples/exercices • Est-ce que l’argument suivant est correct? • Si Superman est capable et s’il veut arrêter le mal alors il arrêtera le mal. • Si Superman n’est pas capable d’arrêter le mal alors il est impotent; s’il n’a pas le désir d’arrêter le mal alors il est malveillant. • Superman n’arrête pas le mal. • Si Superman existe alors il est ni impotent ni malveillant. • Par conséquent, Superman n’existe pas. • C  V  A • C  I • V  M • A E   I   M •  E • A partir de C  V  A and A on en déduit (CV) . • C  V (1) • C  I donc C  I (2) • V  M donc V M (3) (4)=(1)&(2) I  V (5)=(1) & (4) C  I D’après (1)&(5) on a I. D’après E   I   M on a  E Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 26 26

  27. Preuve? • Preuve formelle • séquence d’assertions finissant par une conclusion • assertions avant la conclusion sont les prémisses • chaque assertion doit être un axiome ou bien elle doit être dérivée d’une prémisse précédente en utilisant une règle d’inférence. • Preuve informelle • Preuve formelle sont difficile a suivre • On n’a pas nécessairement besoin de tous les détails. On peut sauter sur les étapes simples et évidentes, ou on peut les joindre dans un seul argument. On peut aussi sauter sur quelques axiomes et les supposer implicitement. • On se concentre sur l’écriture des preuves informelles (qui sont assez formelles et précises.) Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 27

  28. Terminologie Théorème: Une déclaration dont la vérité a été démontrée. Axiomes, postulats, hypothèses: Des suppositions (la plus part du temps non prouvées) et qui définissent les règles et structures sur lesquelles la théorie se repose. Règles d'inférence: suite de déductions logiques et qui mènent des hypothèses vers la conclusion. Lemme: un résultat d’importance moindre qu’un théorème. En général c’est une étape pour prouver un théorème plus important. Corollaire: Un théorème d’importance mineure et dont la preuve est une conséquence simple d’un théorème majeure. Conjecture: Une déclaration dont la vérité n’a pas été démontrée. (En général on propose une conjecture si on croit qu’elle est vrai sans être capable de la prouver.) Théorie: L’ensemble de tous les théorèmes qui peuvent être prouver a partir des axiomes. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 28

  29. Comment prouver un théorème? • Tout dépends de la forme du théorème • Cas simple– preuve d’une assertion existentielle  x P(x): • Il existe un entier pair qui peut s’écrire de deux façons différentes comme somme de deux nombres premiers Comment prouver ce théorème? • Trouver un tel x et les 4 nombres premiers “10 = 5+5 = 3+7” FAIT • Pour tout entier x il existe un entier y tel que y > x. x  y: y>x • Trouver un algorithme pour trouver un tel y: Il suffit de prendre y = x+1 • Les deux sont des preuves d’existence constructives • Il existe des preuves non constructives • En générale les preuves constructives sont plus utiles. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 29

  30. Preuve par un contre exemple • Un autre cas simple • Réfuter la négation d’une assertion existentielle x P(x) • x P(x)  x P(x) • Réfuter une assertion universelle • Donner un contre exemple • Exemples: • Réfuter: Pour tous nombres réels a and b, si a2 = b2 alors a = b • Réfuter : Il n’existe pas d’entiers x tel que x2 = x. • Ce sont des preuves constructives • Mais on peut avoir aussi des preuves non-constructives Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 30

  31. Comment refuter un théorèmeexistentiel? En prouvant la négation (assertion universelle) Exemple: Réfuter: Il existe un entier positif n tel que n2+3n+2 est premier On va prouver: Pour tout entier positif n, n2+3n+2 n’est pas premier. Preuve: Supposons que n est un entier positif. En factorisant n2+3n+2 on obtiens n2+3n+2 = (n+1)(n+2). Puisque n 1 alors n+1>1 et n+2>1. Les deux nombres n+1 et n+2 sont des entiers puisqu’ils sont des sommes d’entiers. Puisque n2+3n+2 est le produit de deux entiers plus grand que 1, alors il n’est pas premier. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  32. Comment prouver un théorème universel? • La plupart des théorèmes sont universels de la forme x P(x)  Q(x) • Comment prouver ce type de théorème? • En analysant tous les cas • Si le domaine est fini • Il n’y a qu’un nombre fini de x satisfaisant P(x). • Exemple: x x est un entier pair tel que 4x16, x peut être écrit comme somme de deux entiers premiers • 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 5+5, 12 = 5+7, 14 = 7+7, 16 = 3+13 • Analyse de tous les cas ne peut marcher si le domaine est infini ou il est très grand. • pas moyen d’utiliser «Analyse de tous les cas » pour prouver que le circuit de la multiplication du CPU est correcte. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 32

  33. Comment prouver un théorème universel? • La plupart des théorèmes sont universels de la forme x P(x)  Q(x) • généraliser a partir du cas particulier • Soit x un élément particulier du domaine, prouver que si x satisfait P alors x doit aussi satisfaire Q. • En utilisant des définitions, des résultats déjà prouvés et les règles d’inférence. • Il est important de n’utiliser que les propriétés qui s’applique a tous les éléments du domaine. • Preuve directe: On suppose P(x) et on en déduit Q(x). Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 33

  34. Exemple 1: Preuve directe Théorème: Si n est impair alors n2 est impair. Définition: un entier n est pair s’il existe un entier k tel que n = 2k. Un entier n est impair s’il existe un entier k tel que n = 2k+1. Tout entier est pair ou impair et ne peut être les deux en même temps. Théorème: (n) P(n)  Q(n), Où P(n) est “n est un entier impair” and Q(n) est “n2 est impair.” On dois montrer P(n)  Q(n) Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  35. Exemple 1: Preuve directe Théorème: Si n est impair alors n2 est impair. Preuve: Soit p --- “n est impair”; q --- “n2 est impair”; On veux prouver que p  q. Supposons p, i.e., n est impair. Par définition n = 2k + 1, pour un certain entier k. Donc n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k ) + 1. Par conséquent n2 =2k’ + 1, ou k’ = (2k2 + 2k). Par définition de impair, on en déduit que n2 est impair. QED Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  36. Exemple 2: Preuve directe • Théorème: La somme de deux entiers pairs est un entier pair. • Point de départ: Soient m et n deux entiers pairs arbitraires • Conclusion: n+m est pair • Preuve: • Soient m et n deux entiers pairs arbitraires. Par définition de pair, il existes deux entiers r et s tels que m=2r et n=2s. Donc • m+n = 2r+2s (substitution) • = 2(r+s) (factoriser par 2) • Soit k = r+s. Puisque r et s sont des entiers alors k est un entier. Par conséquent m+n = 2k, ou k est un entier. Par définition de pair, on en déduit que m+n est pair. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  37. Directions générales en écrivant une preuve • Preuve précise et complète. • Indiquer clairement le théorème a prouver • Indiquer clairement le début de la preuve (i.e. Preuve:) • self-contained: introduire/identifier toutes les variables • “Soient m et n deux entiers pairs quelconques” • “… pour certains entiers r et s” • des phrases complètes “Par conséquent m+n = 2r+2s = 2(r+s).” • donner les raisons pour chaque étape ou assertion • par hypothèse, par définition de pair, par substitution • Clarifier l’argument logique avec des petits mots: puisque, donc, par conséquent, Observons, soit, … Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  38. Exemples/exercices Théorème: Le carré d’un nombre pair est divisible par 4. Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  39. Théorie des nombres: très basique Définition: un entier n est pairsi et seulement si  entier k tel que n = 2k Définition: un entier n est impair si et seulement si  entier k tel que n=2k+1 Définition: Soient k et n deux entiers. On dit que kdivisen (qu’on note k | n) si est seulement si il existe un entier a tel que n = ka. Définition:un entier n est premier si et seulement si n>1 et pour tous entiers positifs r et s, si n = rs, alors r=1 ou s = 1. Définition: Un nombre réel r est rationnel si et seulement si  deux entiers a et b tels que r= a/b et b  0. Parmi ces nombres, lesquels sont rationnels? 7/13 0.3 3.142857 3.142857142857142857142857… 3/4+5/7 Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  40. Exemples/exercices Théorème: Le carré d’un nombre pair est divisible par 4. Preuve: Soit n un entier pair quelconque. Par définition de pair, il existe un entier r tel que m=2r. Alors n2 = (2r)2= 4r2. Par conséquent et d’après la définition « de divisible par 4 », l’entier n2 est divisible par 4. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  41. Exemples/exercises Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6. J’ai plus de connaissances dans la théorie des nombres, ce qui me permet de prouver ce théorème. Lemme 1:  entiers k,n,a: k | n  k | an Lemme 2: Parmi n’importe quels k entiers consécutifs, un unique entier est divisible par k. Lemme 3: x: 2| x  3| x  6| x (un cas spécial d’un théorème plus général) x, y, z: y | x  z|x yz/GCD(y,z) | x (On prouvera Lemme 2 et Lemme 3 plus tard lorsqu’on saura plus sur la théorie des nombres) Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  42. Preuve du Théorème Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6. Preuve: Soit n un entier quelconque. D’ après Lemme 2, on a 2|n ou 2|(n+1). A partir de Lemme 1, on en déduit que 2|n(n+1) and donc en appliquant de nouveau Lemme 1 on a 2|n(n+1)(n+2). D’ après Lemme 2, on a 3|n ou 3|(n+1) ou 3|(n+2). En appliquant deux fois Lemme 1 on obtient 3|n(n+1)(n+2). Par conséquent, 2 | n(n+1)(n+2) et 3 | n(n+1)(n+1). A partir de Lemme 1, on en déduit que 6=2*3 | n(n+1)(n+2). Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  43. Preuve par Contradiction A – On veut prouver p. On démontre que: • ¬p  F; • On en déduit que ¬p est faux puisque (1) est vrai et donc p est vrai. B – On veut prouver p  q • On suppose la négation de la conclusion, i.e., ¬q • On utilise la supposition de (1) pour montrer (p  ¬q )  F • Puisque ((p  ¬q )  F)  (p  q) la preuve est faite! Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  44. Exemple 1: Preuve par Contradiction Théorème “Si 3n+2 est impair, alors n est impair” Preuve. Soit p = “3n+2 est impair” et q = “n est impair” 1 – On suppose p et ¬q i.e., 3n+2 est impair et n n’est pas impair 2 – Puisque n n’est pas impair alors n est pair. 3 – si n est pair, n = 2k pour un certain entier k, et donc 3n+2 = 3 (2k) + 2 = 2 (3k + 1), et donc pair. 4 – On a obtenu une contradiction, 3n+2 est impair et3n+2 est pair et donc p  q, i.e., “Si 3n+2 est impair , alors n est impair ” Q.E.D. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  45. contradiction Mais puisque a et b sont tous les deux pairs alors ils ne sont pas relativement premiers! Exemple2: Preuve par Contradiction Prouver que 2 est irrationnel (Preuve classique). • Supposons que 2 est un nombre rationnel. Alors ils existent deux entiers a et b (relativement premiers) tels que 2 = a/b. • Donc 2 = a2/b2 et 2b2 = a2. • Par conséquent a2 est pair et donc a est pair, c’est a dire a=2k pour un certain entier k. • On en déduit que 2b2 = (2k)2 = 4k2 et doncb2 = 2k2 • Donc b2 est pair et b est pair (b = 2k pour un certain entier k) Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  46. contradiction Exemple 2: Preuve par Contradiction Ma preuve n’est pas si complète? • a2 est pair, et donc a est pair (a = 2k pour un certain entier k)?? • Supposons le contraire, c’est a dire supposons que a n’est pas pair. • Donc a = 2k + 1 pour un certain entier k • Donc a2 = (2k + 1)(2k + 1) = 4k2 + 4k + 1 • Par conséquent a2 est impair. • J’avais raison, a est pair. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  47. Plus d’exemples/ exercices • Exemples: • Il existe un plus grand entier • Proposition 2: parmi k entier consécutifs il y a au plus un seul entier divisible par k. • Il existe un plus grand nombre premier • On sait déjà qu’il existe un nombre irrationnel: 2 • La somme de deux nombres irrationnel est un nombre irrationnel • Ils existent deux nombres irrationnels a and b tels que ab est un nombre rationnel • preuve non-constructive existentielle Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  48. Preuve par contraposition • Preuve par contraposition • On veut prouver x (P(x)  Q(x)) • réécrire comme x (Q(x)  P(x)) (c’est la contraposition) • prouver la contraposition avec une preuve directe: • Prenons un élément x arbitraire du domaine tel que Q(x) est faux • prouver que P(x) est faux. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  49. (a + b ≥ 15)  (a ≥ 8) v (b ≥ 8) (a < 8)  (b < 8)  (a + b < 15) Exemple 1: Preuve par Contraposition • Prouver que si a est b sont des entiers et a + b ≥ 15, alors a ≥ 8 et b ≥ 8. (Suppose q) Suppose (a < 8)  (b < 8). (montrer p) Alors (a ≤ 7)  (b ≤ 7). Donc (a + b) ≤ 14. Donc (a + b) < 15. QED Dr. Zaguia-CSI2501-H12

  50. Example 2: Preuve par Contraposition Théorème: Pour un entier n , si 3n + 2 est impair, alors n est impair. i.e. Pour un entier n, 3n+2 est impair n est impair Preuve par Contraposition: Soit p --- “3n + 2” est impair; q --- “n est impair”; on veut prouver p  q La contraposition est ¬q  ¬p n est pair 3n + 2 est pair Maintenant on peut utiliser une preuve directe: supposons ¬q , i.e, n est pair et donc n = 2 k pour un certain k. Par conséquent 3 n + 2 = 3 (2k) + 2 = 6 k + 2 = 2 (3k + 1) qui est pair. QED Dr. Zaguia-CSI2501-H12

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