迭代法求非线性方程的根

迭代法求非线性方程的根 迭代法是求解非线性方程近似根的一种方法，这种方法的关键是确定迭代函数(x)，简单迭代法用直接的方法从原方程中隐含的求出x，从而确定迭代函数(x)，这种迭代法收敛速度较慢，迭代次数多，因此常用于理论中,Newton迭代法采用另一种迭代格式, 具有较快的收敛速度，由牛顿迭代法可以得到很多其他迭代格式。下一页 1

迭代法 • 一、简单迭代法的概念与结论 • 二、 Newton迭代法的基本思想 • 三、牛顿法的几何意义 • 四、牛顿迭代法的步骤 • 五、例题 • 六、其他注意的事项 2

一、简单迭代法的概念与结论 • 简单迭代法又称逐次迭代法，基本思想是构造不动点方程，以求得近似根。即由方程f(x)=0变换为x=(x), 然后建立迭代格式， • 当给定处值x0 后, 由迭代格式可求得数列{xk}。如果{xk}收敛于x*，则它就是方程的根。因为： • 但迭代格式有多种，迭代格式如何建立才能保证迭代法的数列收敛？有如下定理：下一页返回 7

实用中(1.2)式常用 定理一：假定函数满足下列条件： 1、对任意有；(1.1) 2、存在正数 L<1，使对任意有 (1.2) 则迭代过程对于任意初值均收敛于方程的根，且有如下的误差估计式： (1.3) 返回下一页 8

证明：设方程在区间内有根 ，则有由故据此反复递推有下一页返回 9

故当时迭代值 按(1.2)式有 (1.4)，据此反复递推得：于是对任意正整数p有在上式令，注意到即得式(1.3)。证毕。 10 下一页返回

定理二：对于迭代过程，如果 在所求根的邻近连续，并且 (*) 则该迭代过程在点邻近是P阶收敛的。证明：由于。据定理一，立即可以断定迭代过程具有局部收敛性。再将在根处展开，利用条件(*)，则有注意到，由上式得下一页返回 11

因此对迭代误差有: 。这表明迭代过程确实为P阶收敛，证毕。上述定理告诉我们，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数. 如果选取当时 ,则该迭代过程只能是线性收敛。对于牛顿迭代公式(1)，其迭代函数为由于 ,假定是f(x)的一个单根，即，则由上式知。于是依据定理二可以断定，牛顿法在根的邻近是平方收敛的。下一页返回 12

定义一：如果存在的某个邻域 ，使迭代过程对于任意初值均收敛，则称迭代过程在根邻近具有局部收敛性。定理三：设为方程的根，在的邻近连续。且则迭代过程在邻近具有局部收敛性。下一页返回 13

证明：由连续函数的性质，存在 的某个邻域，使对于任意成立。此外,对于任意总有。这是因为，依据定义三，可以断定，迭代过程对于任意初值均收敛。证毕。下一页返回 14

二. Newton迭代法的基本思想 • 设是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在处作泰勒展开 • 若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线性方程 • 设 ,令其解为 ,得 • （1) • 这称为f(x)=0的牛顿迭格式。下一页返回 3

它对应的迭代方程为 显然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函数为在 f(x)=0的根的某个邻域内, 在的邻域R 内，对任意初值，应用由公式（1）来解方程的方法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一. 返回下一页 4

三、牛顿法的几何意义 • 由（1）式知是点处的切线与X轴的交点的横坐标（如图）。也就是说，新的近似值是用代替曲线y=f(x)的切线与x 轴相交得到的。继续取点 ,再做切线与x轴相交，又可得。由图可见，只要初值取的充分靠近 ,这个序列就会很快收敛于。 • Newton迭代法又称切线法下一页返回 5

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四、牛顿迭代法的步骤 • 步一、准备。选定初始近似值，计算 • 步二、迭代。按公式迭代一次，得到新的近似值，计算 • 步三、控制。如果满足或 .则终止迭代，以作为所求的根；否则转步四。此处是允许误差, 下一页返回 15

而。其中c是取绝对值或相对误差的控制常数，一般可取c=1。步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者则方法失败；否则以代替转步二继续迭代。下一页返回 16

五.例题 例1:用牛顿法求下面方程的根解因 ,所以迭代公式为选取 ,计算结果列于下表从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了四次迭代就得到了较满意的结果. 下一页返回 17

例2 计算的近似值。 =10-6 x0=0.88 解：令x= 问题转化为求ƒ(x)= x2-0.78265=0的正根由牛顿迭代公式 xk+1= xk-ƒ(xk)/ƒ'(xk)= xk/2+0.78265/2xk 迭代结果 k01 2 3 xk 0.880000 0.884688 0.884675 0.884675 满足了精度要求 =0.884675 下一页返回 18

六．其他注意的事项 下一页 19

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七、牛顿迭代法的优缺点 1、优点：牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方。 2、缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。返回下一页 21

八、迭代的一般概念 迭代法可分为单点迭代法与多点迭代法。单点迭代法的一般形式为： xi+1=(xi) i=0,1,2,... 需一个初始点 x0启动多点迭代法的一般形式为： xi+1= (xi，xi-1,…,xi-k+1) 需多个初始点 x0 ，x1, x2…,xk启动对于单点迭代：n=1 22

练习求方程x3+x=2x2+3在x0=4附近的根。解：函数(x)=x3-2x2+x-3写成嵌套形式 (x)=x3-2x2+x-3=((x-2)x+1)x-3 `(x)=3x2-4x+1=(3x-4)x+1 计算结果如下： N X N X 0 4.000000000000 4 2.175554938721 1 3.000000000000 5 2.174560100666 2 2.437500000000 6 2.174559410293 3 2.213032716315 7 2.174559410292 8 2.174559410292 1

判别Newton 法收敛的充分条件 设(x )在有根区间 (a,b)上存在二阶导数，且满足（1）(a)(b)<0；（2）`(x)0，x(a,b)；（3）``(x)不变号，x(a,b)；（4）初值x0(a,b)；且使(x0)``(x0)>0。则牛顿迭代序列{xi}收敛于 (x)=0 在 (a,b) 内唯一的根。 1

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