Álgebra como lenguaje para expresar generalizaciones

1. Álgebra como lenguaje para expresar generalizaciones

2. Escuela de Invierno en Didáctica de la Matemática Salto – Uruguay agosto 2006 Prof. Luiz Márcio P. Imenes imenes@uol.com.br

3. Nomenclatura relativa a laescolaridad básica

4. Sumario 1. ¿Por qué álgebra? 2. El tratamiento tradicional del álgebra 3. Críticas al tratamiento tradicional 4. Una propuesta alternativa al tratamiento tradicional 5. Bibliografía

5. 1. Por que álgebra? • Aclaración: se hará referencia al álgebra enseñada en la educación fundamental (primaria y secundaria o media). En la visión del alumno, de modo ingenuo, ella puede ser caracterizada como “cálculo con letras”. • A veces, en diarios, revistas o folletos, aparece una fórmula. Mas, son raras las situaciones de la vida cotidiana que utilizan lenguaje algebraico. En ese sentido, es irrelevante la importancia social del álgebra.

6. Entretanto, el álgebra está en todos los campos de la Matemática siendo, por tanto, esencial para los avances en sus estudios. • Por otra parte, es herramienta indispensable y poderosa en Física, Biología, Química, Astronomía, Geografía, Ingeniería, Economía, Arquitectura, Medicina, Administración, etc.

7. 2. Tratamiento tradicional del álgebra El contacto con el álgebra se inicia alrededor de los 12 años, intensificándose en los dos años siguientes. El foco es el desarrollo de habilidades de cálculo escrito mecánico. La resolución de problemas es secundaria. Se enseñan los siguientes tópicos: • Expresiones algebraicas • Ecuaciones de 1º grado • Inecuaciones de 1º grado • Sistemas de ecuaciones de 1º grado • Adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios.

8. Productosnotables: (a + b)2, (a – b)2, (a + b)(a – b), (a + b)3 e (a – b)3 • Factorización:fator común, agrupamiento, diferencia de fracciones, trinomiocuadradoperfecto, trinomiode 2º grado (caso particular), suma de cubos, diferencia de cubos • MDC e MMC de polinomios • Simplificación de operacionesconfraccionesalgebraicas • Ecuacionesde 2º grado: fórmula y relaciones entre coeficientes y raíces • Factorización de trinomiosde 2º grado • Ecuacionesfraccionarias • Ecuacionesbicuadradas • Ecuacionesirracionales • Sistemas de ecuacionesde 2º grado • Funciones: plano cartesiano, dominioe imagen, gráfico • Funciónafín • Funcióncuadrática • Inecuacionesde 2º grado

9. Después de esos tres años, tales contenidos pasan a ser considerados pre-requisitos para el estudio de funciones, logaritmos, progresiones, matrices, determinantes, sistemas lineales, números complejos, ecuaciones polinómicas, análisis combinatorio, estadística, probabilidad, matemática comercial y financeira, geometría métrica, geometría analítica, trigonometría, derivadas, ...

10. 3. Críticas altratamientotradicional • La experiencia vivida en las escuelas ha demostrado que los alumnos aprenden muy poco de esa álgebra que les enseñamos. La mayoría fracasa. • Interesantes testimonios como los de C. G. Jung y los del matemático brasileño L. Nachbin, señalan unas de las causas de ese fracaso.

11. C. G. Jung así se expresó sobre sus relaciones con la matemática escolar: “O colégio me aborrecia. (...) A álgebra parecia tão óbvia para o professor, enquanto que para mim os próprios números nada significavam (...) A minha grande confusão era saber que as quantidades podiam ser substituídas por letras, que são sons (...) Com grande espanto descobri que ninguém entendia a minha dificuldade. (...) Reconheço que o professor se esforçava consideravelmente no sentido de me explicar a finalidade de singular operação que consiste em transpor em sons quantidades compreensíveis” (...)

12. “O que mais me irritava era o princípio: “se a = b e se b = c, então a = c”. Tendo sido dado, por definição, que a é diferente de b, por conseguinte não pode ser igual a b, e ainda menos de c. Quando se trata de uma igualdade, diz-se que a = a, b = b etc. Mas dizer que a = b me parecia uma fraude evidente, uma mentira. Minha honestidade intelectual revoltava-se contra esses jogos inconseqüentes que me barravam o caminho à compreensão das matemáticas.” (...)

13. “Foi penosamente, portanto, que me equilibrei nessa matéria, copiando as fórmulas algébricas cujo conteúdo permanecia misterioso para mim (...) As aulas de Matemática tornaram-se o meu horror e o meu tormento.” (...) JUNG, C.G. Memórias, sonhos e reflexões. Rio de Janeiro, Editora Nova Fronteira, 1983.

14. Leopold Nachbin, reconocido matemático brasileño, así registró sus dificultades con el álgebra: (...) “Foi nesse estado psicológico de ser considerado um bom aluno, acima da média, que me tornei estudante do Ginásio Pernambucano, um dos melhores estabelecimentos de ensino secundário de Recife, na época. Ainda assim, logo no primeiro ano de Ginásio, tive um sério tropeço no estudo da Matemática, saindo-me mal em uma prova. Uma de minhas dificuldades de então consistia em não compreender o raciocínio de “por uma problema em equação”. (...) NACHBIN, L. Talento, criatividade e expressão. Anais do 5º Congresso Interamericano de Educação Matemática, 1979.

15. Estudios y prácticas en Educación Matemática confirman que, en ese tratamiento tradicional, el álgebra carece designificado para los alumnos. • Los principales obstáculos de su aprendizaje residen en una total ausencia de sentido de los cálculos algebraicos.

16. 4. Una propuestaalternativa altratamientotradicional • Para atribuir significado al álgebra, vamos a entenderla esencialmente como lenguaje. • En un primer plano, lenguaje para expresar (comunicar) generalizaciones. Eso lleva a las funciones y sus variables. • En un segundo plano, letras son usadas en la resolución de problemas para representar cantidades desconocidas. Eso lleva a las ecuaciones y sus incógnitas.

17. Detalle de la propuesta Como referencia aproximada, serán consideradas las siguientes fases de trabajo: • 6 – 10 años • 11 – 12 años

18. 6 – 10 años • Desde el inicio, se busca desarrollar en el alumno la percepción de la expresión de patrones (regularidades). • Se exploran patrones geométricos y numéricos en mosaicos, en secuencias de figuras y en secuencias numéricas, en la escritura de los números, en el cálculo mental, en la multiplicación, ...

19. Alrededor de los 10 años, las expresiones numéricas son tratadas como forma de expresar un razonamiento en la resolución de ciertos problemas que involucran números. • Paralelamente van siendo construídas las relaciones de las inversas entre adición y sustracción, multiplicación y división.

20. 11 – 12 años • Prosigue el trabajo con observaciones y expresiones de patrones en diferentes situaciones, como en el estudio de múltiplos y divisores. • La observación de regularidades es usada para atribuir significado a la multiplicación de números negativos y a las potencias de exponente entero menor que 2. • Paralelamente, tiene continuidad en el trabajo con expresiones numéricas.

21. La generalización de las regularidades observadas lleva a las fórmulas, en las cuales las letras representan cantidades variables. • En situaciones contextualizadas, se usan las expresiones “depende de”, “varía como”, “en función de”.

22. Se inicia la construcción del otro significado para el álgebra: la resolución de problemas, cantidades desconocidas son representadas por letras. Eso lleva a las ecuaciones y sus incógnitas. Al inicio, esas ecuaciones son resueltas con base en las operaciones inversas. En un segundo momento, se hace analogía con la balanza de dos platos.

23. 5. Bibliografía BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares Nacionais: matemática. Brasília: SEF/MEC, 1998. DINIZ, M. I. de S. V.; SOUZA, E. R. de. Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo: CAEM/IME-USP, 1996. IMENES L. M.; LELLIS, M.; MILANI E. Matemática Paratodos: 1ª a 4ª séries. São Paulo: Scipione, 2004. IMENES L. M.; LELLIS, M. Matemática Paratodos: 5ª a 8ª séries. São Paulo: Scipione, 2001. JAKUBOVIC, J.; IMENES L. M.; LELLIS, M. Álgebra. Coleção Pra que serve Matemática? São Paulo: Atual, 1992. ______. Equação do 2º grau. Coleção Pra que serve Matemática? São Paulo: Atual, 1992. LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997.

24. MASON, J.; GRAHAM, A.; PIMM, D.; GOWAR, N. Routes to/Roots of Algebra. London: The Open University, 1985 • NCTM. Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar. Lisboa: APM, 1991. • TINOCO L. A. A. (coord.) Construindo o conceito de função no ensino fundamental. Rio de Janeiro: Projeto Fundão/IM-UFRJ, 1996.

25. Presentación realizada en la “Escuela de Invierno de Didáctica de la Matemática” Salto 2006 por el profesor brasileño Marcio Iménes Traducida al español por Uruguay Educa Montevideo agosto - 2009