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自言自语

自言自语. 数学中不少结论由于其巧妙无比而令人赞叹，正是因为这一点，数学才有无穷的魅力。. Hilbert 的旅馆. 德国著名数学家大卫 • 希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。 一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。 ……. 有理数的集合特点. 有理数是可数的 —— 与自然数一样多 比较两个有限数量的东西孰多孰少的基本思想是直接或间接的一一对应。 1874 年起，德国数学家 康托 开始研究这类问题，他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题。.

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  1. 自言自语 数学中不少结论由于其巧妙无比而令人赞叹，正是因为这一点，数学才有无穷的魅力。

  2. Hilbert 的旅馆 德国著名数学家大卫•希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。 一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。……

  3. 有理数的集合特点 • 有理数是可数的——与自然数一样多 • 比较两个有限数量的东西孰多孰少的基本思想是直接或间接的一一对应。 • 1874年起，德国数学家康托开始研究这类问题，他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题。

  4. 康托（Georg Cantor; 1845—1918） • 1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。 • 11 岁时进入德国，1867 年获柏林大学的博士学位，1872 年升为教授。 • 1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。

  5. 先数数偶数 • 这个世界上，正偶数多一些，还是正整数多一些呢？ 1 2 3 4 5 6 7 8 …  2 4 6 8 10 12 14 16 … 知道了： 所有正整数和所有正偶数都一样多！√

  6. 再数数平方数 • 这个世界上，平方数多一些，还是正整数多一些呢？ 1 2 3 4 5 6 7 8 …  1222324252627282 … 知道了： 所有平方数和所有正整数都一样多！√

  7. 可数集 • 像自然数这样可以排成一列或者可以一个一个数下去的无限集叫做可数集。 • 因此偶数数集、平方数集都是可数集。

  8. y 5 4 3 2 1 x 1 2 3 4 5 看看格点与整数的比较 1  (1 , 1) 2  (2 , 1) 3  (1 , 2) 4  (3 , 1) 5  (2 , 2) 6  (1 , 3) …  … … 结论：格点数量 = 整数数量

  9.      整数、格点与有理数的比较 1 2 3 4 5 6 …       (1 , 1) (2 , 1) (1 , 2) (3 , 1) (2 , 2) (1 , 3) … 结论：整数数量=格点数量 =分数数量

  10. 有理数是可数集 有理数集是可数集 4. 有理数的长度为0

  11. 有理数的长度为0 有理数在数轴上所占的长度为0 如果我们采取某种手段将全体有理数在数轴上挤压在一起，使其彼此之间没有重叠、也没有缝隙，它们能占用多大的长度？

  12. 有理数的长度为0 有理数们，排出来！ 每“人”发一顶帽子戴一戴！ … …

  13. 4. 有理数的长度为0 量一量有理数帽子总宽度！ So small! 有理数的长度为0! 总结一下

  14. 看 看 有理数 优 点 总结一下… 从代数上看， 有理数在四则运算下是封闭的， 构成一个数域； 从几何上看，有理数在数轴上是稠密的， 因此，要去度量任何一件实际事物， 不论要求多高的精度， 只要有理数就够了； 从测度上看，有理数很“轻巧”， 它们是可数的， 在数轴上所占用的长度为0

  15. 从代数上看，有理数在开方运算下不封闭； • 从几何上看，有理数在数轴上还有许多缝隙； • 从分析上看，有理数对极限运算不封闭。 总结一下… 说说有理数的缺陷 实数集

  16. 实数理论的建立 • 由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有理数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而也就不会有微积分。 • 有理数扩充的直接结果是实数集。 • 关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，有理数与无理数统称为实数。

  17. 实数理论的建立 19世纪，德国数学家 康托（G. Cantor, 1845---1918）、 戴德金(J. W. R. Dedekind, 1831—1916) 、 魏尔斯特拉斯（ K. W. T. Weierstrass, 1815—1897 ） 通过对无理数本质进行深入研究，奠定了实数构造理论。

  18. 康托（Georg Cantor; 1845—1918） • 1845年出生于圣彼得堡，犹太人后裔。 • 11 岁时进入德国，1867 年获柏林大学的博士学位，1872 年升为教授。 • 1874 年开始研究比较无穷集的元素多少问题。

  19. 魏尔斯特拉斯﹐K.W.T., Weierstrass • K.T.W Weierstrass (1815—1897) • 德国数学家 • 先修财务、管理、法律，后学数学 • 1854年，哥尼斯堡大学名誉博士；1856年，柏林科学院院士 • 数论、几何、复分析

  20. 戴德金﹐R. (Dedekind, Richard __1916 ) • 戴德金﹐R. (Dedekind, Richard) 1831年10月 6日生于德国不伦瑞克； • 1916 年2月12 日卒于不伦瑞克。 • 数学家。 2. 实数集的代数属性

  21. 实数集的代数属性 • 实数集是数域 实数集在四则运算下是封闭的，而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且满足乘法对加法的分配律。 要严格地证明这一点是困难的，它需要考虑实数的有序性、四则运算的具体定义等。 3. 实数集的几何属性

  22. 实数集的几何属性 • 实数在数轴上是连续的、无缝的。 （1）数学分析中有六个等价命题 • 单调有界数列收敛原理； • 致密性定理； • Cauchy收敛准则; • 确界定理； • 聚点原理； • 闭区间套定理； • 有限覆盖定理.

  23. 实数集的几何属性 （2）可以进行极限运算——这是微积分建立的基础 4. 实数集的集合特点

  24. 实数集的集合特点 • 实数集是不可数的——与自然数不能建立1-1对应。

  25. 假如实数可数，先把(0,1)内的编号吧！ 证一证

  26. 假如可将0与1之间的实数编号： 构造一个（0，1）区间的数 矛盾！

  27. 实数集是不可数的 实数集是不可数集 无限集合的基数

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