3.1 置於均勻磁場內之單一匝線圈

2. 交流電機主要分為同步機和感應機兩大類，同步機(synchronous machine) 包括同步發電機和同步電動機，它們的磁場電流是由另外的直流電源所供應，而感應機型 (induction machine) 的發電機和電動機的磁場電流是電磁感應 (變壓器作用) 到磁場繞組所產生的。

3. 3.1　置於均勻磁場內之單一匝線圈 • 圖 3-1 所示為由一大的靜止磁鐵所產生的固定、均勻的磁場與一磁場內之旋轉線圈所構成之簡單電機。此電機旋轉部分稱為轉子(rotor)，靜止部分稱為定子(stator)。 圖 3-1　均勻磁場內之旋轉線圈。(a) 前視圖；(b) 線圈。

4. 單一旋轉線圈之感應電壓 為了得到線圈上總電壓 etot，將分別求出線圈每段電壓，然後再將結果加起來。 1. ab段。在此段，導線速度與旋轉路徑正切，而磁場 B方向往右，如圖 3-2b 所示。v×B方向進入紙面，此與 ab段方向相同，此導體段所感應電壓為 2. bc段。此段前半部之 v×B方向為進入紙面，而另一半之 v×B方向為離開紙面。因長度 l在紙面上。所以導線兩部分之 v×B 與 l垂直。因此 bc段電壓為零︰

5. 圖 3-2(a) 線圈相對於磁場之速度與方向。(b) ab 邊相對於磁場 之運動方向。(c) cd 邊相對於磁場之運動方向。

6. 3. cd段。在此段導線速度與旋轉路徑正切，此段之感應電壓為 4. da段。正如bc 段，v×B與l 垂直。因此此段電壓也為零︰ 線圈之總感應電壓 eind為每段電壓和︰ 圖 3-3 所示為感應電壓 eind 之波形。 若線圈以一固定角速度ω 旋轉，則線圈角度θ 將隨時間線性增加，即θ = ωt

7. 圖 3-3eind 對θ 波形。

8. 而線圈邊之切線速度 v可表示成 v = rω (3-7) 其中 r為由旋轉軸至線圈邊之半徑 eind =2rω Bl sin ωt (3-8) 可知線圈面積 A 等於 2rl eind =ABω sin ωt (3-9) 最大磁通發生於線圈與磁通密度相垂直時，此磁通大小等於線圈表面積與通過線圈磁通密度之垂積ϕ=AB (3-10) 最後電壓方程式為(3-11)

9. 線圈所產生電壓為一弦波，其大小等於機器內部磁通與其旋轉速度乘積。實際交流機也是這樣。通常，實際電機之電壓與三個因數有關︰線圈所產生電壓為一弦波，其大小等於機器內部磁通與其旋轉速度乘積。實際交流機也是這樣。通常，實際電機之電壓與三個因數有關︰ 1. 電機磁通 2. 轉速 3. 電機構造 (線圈數等)

10. 載有電流線圈所感應之轉矩 現若轉子線圈在磁場內某個任意角度θ，且有電流 i 流過，如圖 3-4 所示。若線圈內有電流，則線圈將會感應一轉矩，在線圈上每段所受力可用式 (1-43) 表示F=i(l ×B) (1-43)其中 i＝線段內電流大小 l ＝線段長度，l方向被定義與電流同方向 B＝磁通密度向量 圖 3-4　一載流線圈置於一均勻磁場內。(a) 前視圖；(b) 線圈。 (a) (b)

11. 圖 3-5(a) ab 段力與轉矩之推導。(b) bc段力與轉矩之推導。 (c) cd段力與轉矩之推導。(d) da段力與轉矩之推導。

12. 線段上轉矩為 其中 θ為 r與 F向量間之夾角。 1.ab段。在此段，電流流入紙面，磁場 B向右，如圖 3-5a 所示。l×B方向向下，因此，此段所感應的力為 所得轉矩為

13. 2.bc段。此段所感應的力為 此段所產生轉矩為 0，因 r與 l向量為平行 (兩者皆進入紙面)，且 θbc為 0。 3.cd段。在此段，電流流出紙面，磁場 B向右，如圖 3-5c 所示。l×B 方向向上，因此，此段所感應的力為 所產生轉矩為

14. 4.da段此段所產生的轉矩為 0，因為向量 r 與 l 平行 (兩者皆離開紙面)，且 θda為 0。總圈所感應總轉矩 τind為各邊轉矩之和︰ 注意到 θab＝θcd，所以所感應轉矩應為 所得到轉矩τind為角度函數如圖 3-6 所示。注意到最大轉矩發生在線圈面與磁場平行時，而當線圈面與磁場垂直，其轉矩為零。

15. 圖 3-6τind對 θ之波形。

16. 一線圈所感應轉矩與線圈的磁場強度，外部磁場強度，與它們間夾角的 sine 值成正比。實際交流機也是如此，通常實際電機所產生轉矩與四個因數有關︰ 1. 轉子磁場強度 2. 外部磁場強度 3. 兩磁場夾角的 sine 值 4. 電機結構 (如幾何形狀等)

17. 3.2　旋轉磁場 • 一電機內存在兩磁場，若一個磁場是由交流機定子所產生，另一個由轉子產生，則轉子將感應一轉矩且使轉子沿它自己與定子磁場轉動。 • 若有某些方法可使定子磁場旋轉，則轉子感應的轉矩將使它沿著一個圓方向「追趕」定子磁場，這就是所有交流電動機之基本操作原理。 • 若一組三相電流每相振幅相等，且各差 120° 的相角流入三相電樞繞組，則會產生一個一定大小的旋轉磁場。此電樞的三相繞組必須沿著電機表面各相差 120° 的電氣角。

18. 圖 3-8(a) 簡單的三相定子。假設電流由 a、b、c 端流入，由 a′、b′ 、c′ 端流出為正。每個線圈所產生的磁場強度也標示在上面。(b) 流經 aa′ 線圈的電流所產生磁場強度向量 Haa′ (t)。

19. 加一組電流至圖 3-8 的定子，觀察在特定瞬間會發生什麼情形。假設流入三個線圈的電流是 • aa′ 線圈中的電流由 a端流入，由 a′ 端流出，所產生的磁場強度為 • 其中 0° 是磁場強度向量在空間中的相角，如圖 3-8b 所示。磁場強度向量 Haa′ (t) 的方向是根據右手定則決定︰如果四指是沿著線圈內電流方向彎曲，則大姆指所指就是磁場強度的方向。注意到磁場強度向量 Haa′ (t) 的大小是隨著時間而變動的，但其方向則固定不變。同理，磁場強度向量 Hbb′ (t) 和 Hcc′ (t) 為

20. 這些磁場強度所產生的磁通密度由式 (1-21) 所決定︰ 分別是 其中 BM＝μHM。 • 例如當 ωt＝0° 時，由線圈aa′ 產生的磁場是

21. 由線圈 bb′ 產生的磁場是 • 由線圈 cc′ 產生的磁場是 • 由三個線圈加在一起產生的總磁場為

22. 其中為圖 3-8 中 x方向之單位向量，而 為 y方向之單位向量，所得到的總磁場如圖3-9a 所示。 • 當 ωt＝90° 時，電流為 • 磁場為

23. 圖 3-9(a) ωt＝0° 時定子的磁場向量。(b) ωt＝90° 時定子的磁場向量。

24. 結果淨磁場為 • 結果淨磁場為如圖 3-9b 所示。注意到雖然磁場方向改變，但是磁場大小不變，此磁場是以一定大小沿逆時針方向旋轉。

25. 旋轉磁場的證明 在任何時間 t，旋轉磁場都是一樣的大小 1.5BM，且會以角速度 ω 繼續旋轉。 定子的淨磁通密度為 此三個磁場可分別以其x 分量和y 分量表示。

26. 結合 x分量和y 分量可得 利用角度相加的三角恆等式，

27. 電氣頻率和磁場旋轉速率的關係 對應外加電流的每一個電氣週期這些磁極就沿定子表面完成一次機械性旋轉，所以，磁場的機械性旋轉速率以每秒的轉數為單位時和以赫茲為單位的電氣性頻率相等，即 式中 fsm和 ωsm是定子磁場的機械轉速以每秒的轉數和每秒的弳度為單位，而 fse和 ωse是定子電流的電氣頻率，以赫茲和每秒的弳度為單位。 因為一個電氣週期是 360 電氣度，而機械的移動是 180 機械度，所以定子裡電氣角θse和機械角 θsm的關係為

28. 圖 3-10　定子內的旋轉磁場以移動的 N 極和 S 極表示。

29. 圖 3-11(a) 簡單的四極定子繞組。(b) 定子所產生的磁極，注意沿定子表面 每 90° 就改變一次極性

30. 圖 3-11 (c) 從定子內部看到的繞組圖，說明了定子電流如何產生 N 極和 S 極。

31. 通常若交流電機定子的磁極數目是P，則在定子內部表面有P/2個次序為 a-c′-b-a′-c-b′的繞組。定子內電氣值和機械值的關係式為 又 fsm＝nsm/60，我們可以列出電氣頻率 (赫茲) 和磁場旋轉速率 (每分鐘轉數) 的關係為

32. 將磁場旋轉方向反向 若將三個線圈中任二個的電流交換，則磁場旋轉的方向將會相反。 為了證明旋轉方向相反，把圖 3-8 中的 bb′ 相和 cc′相交換，並計算所產生的淨磁通密度 Bnet。 定子所產生的淨磁通密度為 每個磁場可分解為它的 x和 y分量︰

33. 合併 x分量和 y分量，可得 再利用三角恆等式， 這回所得到的是大小相同，但以順時針方向旋轉的磁場。故知交流機內交換定子任兩相電流，可使磁場旋轉方向相反。

34. 3.3　交流電機內的磁力和磁通分佈 • 轉子有可能是圓柱形的，如圖 3-12a 所示；也有可能是在圓柱表面有凸極凸出，如圖 3-12b 所示。如果轉子是圓柱形的，我們就說此電機有隱極式(nonsalient poles) 轉子；而如果轉子有凸極凸出，我們就說此電機有凸極式(salient poles) 轉子。 • 參閱圖 3-12a 圓柱型轉子的電機 • 為了要在這樣的電機之中產生弦波式的電壓，磁通密度向量 B必須在氣隙的表面弦波式的變化它的大小，而磁通密度要以弦波式變化只有在磁場強度 H (和磁動勢 ) 以弦波式變化的情況之下才有可能 (見圖 3-13)。

35. 為了達到磁動勢以弦波式變化的目的，最直接的方式是將線圈繞組放在緊密排列在電機表面的槽中，並且在每個槽中的線圈數目以弦波式來變化。圖 3-14a 顯示出這樣的繞組，而圖 3-14b 顯示出以這樣的繞組所產生的磁動勢。 • 式中 NC是代表在 0° 角處的導線數目。 • 實際上，因為真實電機中的槽數有限，而且每個槽中只能放入整數個導線，因此繞組的分佈不可能如式 (3-36) 一樣準確，所產生的磁動勢只能近似弦波，高次諧波的成分是一定會存在的 • 分數節距繞組可用來消除這些不要的諧波成分，且對於電機的設計者而言，在每個槽中放入相同數目的導線是比較方便的

36. 圖 3-12(a) 圓柱型或隱極式轉子的交流電機。(b) 凸極式轉子的交流電機。

37. 3.4　交流電機的感應電壓 在一兩極式定子的線圈內的感應電壓 圖 3-15 顯示一帶有弦波式分佈之磁場的旋轉轉子，在一靜止線圈內轉動的情形。 我們將假設在氣隙中的磁通密度向量 B，其大小隨著角度作弦波式的變化，而其方向都是呈輻射狀向外。 如果 α 是以磁通密度的最大值為基準來量測，那麼任一點的磁通密度大小 B可以表示為 因為轉子本身以 ωm 的角度速在定子內旋轉，因此在定子的任一角度 α的磁通密度向量 B的大小為

38. 圖 3-13(a) 在圓柱型鐵心之中以弦波式變化的氣隙磁通密度。

39. 圖 3-13 (b) 氣隙中的磁動勢或磁場強度以角度的函數作圖。(c) 氣隙中的磁通密度以角度的函數作圖。

40. 圖 3-14(a) 交流電機為了產生弦波式變化的氣隙磁通密度，所用的定子繞組分佈，每個槽中的導線數目皆在圖上標示出來。

41. 圖 3-14 (b) 由這種繞組所產生的磁動勢分佈，並與理想的分佈作比較。

42. 圖 3-15(a) 在一個靜止的定子線圈內的旋轉轉子磁場，線圈的細部圖。

43. 圖 3-15(b) 在線圈上的磁通密度和速度向量，上面所顯示的速度是以靜止的磁場為基準。(c) 在氣隙中的磁通密度分佈。

44. 一導線內感應電壓的方程式為 若以磁場為參考，則磁場視為靜止而導線就像在運動一般，假想我們坐在磁場上面，即與磁場同步，那麼磁場就好像是靜止的，而線圈是以 vrel的速度在運動，我們就可以應用上式。圖 3-15b 說明從一靜止磁場和運動導線的觀點所看到的向量磁場和速度。 線圈上感應的總電壓是其四個邊上感應電壓的總和︰ 1. ab段。對 ab段來說，α＝180°

45. 2. bc段。因為向量 v×B和 l互相垂直，所以bc 段的電壓為零 3. cd段。對 cd 段來說，α＝0°。假設 B的方向是由轉子輻射狀向外， 則在 cd段 v和 B之間的夾角為 90°，而 v×B的方向和 l平行，因此 4. da段。因為向量 v×B和 l 互相垂直，所以 da段的電壓為零︰ 因此，線圈的總電壓等於

46. 因為線圈邊導體的速度為 v＝rωm，式 (3-43) 可以寫成 最後，通過線圈的磁通可以表示為 ϕ＝2rlBM (參閱習題 3-9)，而對於二極的定子而言，ωm＝ωe＝ω，因此感應電壓可以表示為 若定子有 NC匝的線圈，則總感應電壓為

47. 三相線圈組的感應電壓 如果三個繞組每個各有 NC匝，如圖 3-16 般置於轉子磁場的周圍，則每個繞組所感應的電壓大小將會相等，且相角差 120°。三個繞組的感應電壓分別為

48. 三相定子電壓的均方根值 三相定子中任一相的峯值電壓為 因 ω＝2πf，上式亦可寫成 所以三相定子中任一相電壓的均方根值為 發電機之端電壓之均方根值視定子為 Y 接或 Δ 接而異。如果是 Y 接，則端電壓為 乘以 EA；如果是 Δ 接則端電壓恰等於 EA。

49. 3.5　交流電機的感應轉矩 • 交流電機在正常運作時有兩個磁場存在，一個磁場在轉子迴路裡，另一個磁場在定子迴路裡。此二磁場相互作用就產生轉矩 • 圖 3-17 所示為一簡化的交流電機 • 此電機定子的磁通分佈為 • 式中 BS為峯值磁通密度的大小

50. 圖 3-17　簡化的交流電機，定子的磁通分佈是弦波式的，且轉子上只有單一線圈。