第一章行列式 ( determinant) 第二次课

第一章行列式(determinant) 第二次课

第二节 n 阶行列式的定义 首先考虑线性方程组形式上有解。对任意的都有解要求

称为二阶行列式，记为 命题上面方程组有惟一解可以表述为：当系数二阶行列式不为零时有惟一解

三元一次方程组： 我们现在考虑前两个方程或

按前面的想法可以解出 x和 y如下 即

代入第三个方程，有

上式的左端z的系数为 它定义成三阶行列式，即：

那么右端项是： 为三阶行列式

请注意正负号的记忆方法 二阶行列式三阶行列式正负对角线！！(高阶矩阵怎么办？？)

当系数组成的三阶行列式不为零方程组有唯一解：当系数组成的三阶行列式不为零方程组有唯一解： , 其中： , ,

现在二个变元，三个变元的线性方程组可以用这种方式解，那么n个变元可不可以？现在二个变元，三个变元的线性方程组可以用这种方式解，那么n个变元可不可以？本章的目的之一的就是解n个变元的方程组（Cramer法则）。

观察： • 二阶行列式有二项，三阶行列式有六项；n阶？？ • 正负号项各半，符号与某种排列相关； • 每一项中，某一行的元素只有一个，某一列的元素也只有一个；例如3阶行列式中的一项是，它的行下标是123，列下标是312，行（列）下标中没有重复的。 • 交换两行或列时，行列式变号； 5.

另外我们可以观察行列式各项的下标试图找出正负号的规律：另外我们可以观察行列式各项的下标试图找出正负号的规律：正项：负项：在行号都按123排列的情况下，正的列号排列是123，231，312，负的列号排列是213，312，132。事实上，我们也可以将列按123排列，讨论行的排列。可以观察到的是下标的逆序个数，我们发现偶数个逆序的排列都对应正号，奇数个逆序排列都是对应负号。这正是我们上一节讨论的东西：排列与对换。

n阶行列式（构造定义） 我们根据对2阶与3 阶行列式的观察来定义n阶行列式。假设有n2个数，它们排成n行n列记成称为n阶行列式。是行列式第i行第j列的数或元，n阶行列式是下面所有项之代数和

1. 每项是n个元的乘积，这些元在行列式中每行有一个，每列有一个，因此每项可以写成如下的形式（第一个下标是行第二个下标是列） 2. 它的符号由排列的奇偶性决定，当为偶排列是取正号，否则取负号 3. 因为所有1到n的n阶排列有n!个，所以行列式共有n!项

特殊行列式的计算 1. , 2.

思考：为什么定义中规定行下标要顺序排列，而列下标不要？思考：为什么定义中规定行下标要顺序排列，而列下标不要？事实上，某一项的乘积中因子的顺序是任意的，即我们可以写出自然此时要考虑“行列”的逆序总数：与注意用同样的对换：排列与分别变成排列与。所用的对换个数一定是偶数（行对换+列对换=2*行对换），因此 (奇偶意义下) 也就是说，行列式各项的符号是：

重要：如果 （元素的排列不一样），显然有 (奇偶意义下) 这说明：行列指标在行列式中是对称的，即

此为行列式的性质之一。这一证明中，特别注意求和的顺序。例如按定义可得：此为行列式的性质之一。这一证明中，特别注意求和的顺序。例如按定义可得：

证明可以有不同的思路， 例如：我们设法去证明第一个和号下的每一项都是第二个和号下的一项，反过来也是一样；再证明它们的项数相等。讨论两重求和：

第二次课作业 P28. 作业 4， 6 思考 7

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