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Elementos del movimiento

Elementos del movimiento. Unidad 11. Contenidos (1). 1.-    Introducción. 2.-    Magnitudes escalares y vectoriales. 3.-    Sistemas de referencia. Concepto de movimiento. 4.-    Operaciones con vectores. 5.-    Trayectoria , posición y desplazamiento .

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Presentation Transcript

  1. Elementos del movimiento Unidad 11

  2. Contenidos (1) 1.-   Introducción. 2.-   Magnitudes escalares y vectoriales. 3.-   Sistemas de referencia. Concepto de movimiento. 4.-   Operaciones con vectores. 5.-   Trayectoria, posición y desplazamiento. 6.-   Velocidad media e instantánea (introducción al concepto de derivada).

  3. Contenidos (2) 7.- Aceleración media e instantánea. 8.- Componentes intrínsecas de la aceleración: tangencial y normal..

  4. Magnitudes escalares y vectoriales REPASO • Escalares: quedan perfectamente definidas con una cantidad (número) y una unidad • Ejemplo: el tiempo  3 s; la masa  8 kg. • Vectoriales (vectores):Se caracterizan por: • Módulo: (cantidad y unidad). Se representa por la longitud del vector. Es la parte escalar. • Dirección: es la recta que contiene el vector. • Sentido: indicado por la punta de la flecha. • Punto de aplicación: origen de la flecha. • Ejemplo: la posición, velocidad, fuerza...

  5. Sistema de referencia y movimiento • Es un punto del espacio respecto al cual describimos el movimiento. • Un objeto se encuentra en movimiento si cambia su posición respecto al sistema de referencia. • Los sistemas de referencia cuentan a su vez con uno (x), dos (x,y) o tres ejes (x,y,z), perpendiculares entre sí, según trabajemos en una recta, en un plano, o en el espacio.

  6. y j k x i z Representación de un sistema de referencia tridimensional. • Sobre cada eje se toma como unidad de medida los vectores unitarios (módulo igual a 1): • i sobre el eje x • j sobre el eje y • k sobre el eje z

  7. Vectores • Se representan con una flecha encima de la letra que utilizada para dicha magnitud. • Se suelen expresar en forma cartesiana en donde ax, ay y az son sus componentes cartesianas: •   a = ax · i + ay · j + az · k • A partir de ahora, los vectores los escribiremos en negrita y diferente color para mayor comodidad: • a = ax · i + ay · j + az · k • en donde i, j y k representan los vectores unitarios sobre los ejes x, y, z.

  8. y a 5 x b Suma de vectores • Sean dos vectores: a = ax · i + ay · j + az · kyb = bx · i + by · j + bz · k • El vector suma vendrá dado por:a + b = (ax + bx) · i + (ay + by) · j + (az + bz) · k • Ejemplo: Seana = 3 i + 2 jyb = 2 i – 3 j a + b = (3+2) i + (2 –3) j = 5 i – j

  9. Cálculo del módulo de un vector. • Sean un vector: a = ax · i + ay · j + az · k • El módulo de a, que se representa como |a| se calcula aplicando el teorema de Pitágoras: • ____________|a| =  ax2 + ay2 + az2 • Ejemplo: En el vector anterior c = a + b= 5 i – j • ____________ ____________ ___|a| =  ax2 + ay2 + az2 =  52 + (–1)2 + 02 =  26

  10. Vector Posición ( r = r) . • Para un punto P de coordenadas (x,y,z)el vector posición viene dado por: • r = x · i + y · j + z · k r= 2i+ 2j

  11. Representación de vectores posición v = x · i + y · j • En dos dimensiones • En tres dimensiones v = x · i + y · j + z · k

  12. Ecuación del movimiento • La ecuación que proporciona la posición de un objeto con respecto al tiempo se llama “ecuación del movimiento”: • r(t) = x(t) · i + y(t) · j +z(t) · k • Ejemplo:r(t) = [2t · i + (1–t) · j + (3t2+4) · k] m • En el S.I. la unidad será el m.

  13. y 10 5 5 10 x Ejercicio:Sea el movimiento definido por la si-guiente ecuación r = 2ti + 8j en unidades del S.I. Dibujar los vectores posición en los instantes 0, 2, 4 y 6 segundos. • t (s) r (m) • 0 8 j (0,8) • 2 4 i + 8 j (4,8) • 4 8 i + 8 j (8,8) • 6 12 i + 8 j (12,8)

  14. Ecuaciones paramétricas. • Son las ecuaciones que relacionan cada componente cartesiana con el tiempo. • x = f(t); y = g(t); z = h(t) • Son ecuaciones escalares (no vectores). • Ejemplo:En el vector:r(t) = [2t·i + (1–t) ·j + (3t2+4)·k] m • las ecuaciones paramétricas serían: • x = 2t ; y = 1 – t ; z = 3t2 + 4

  15. y x Trayectoria • Es la línea que sigue el movimiento. • Los diferentes puntos de dicha línea se obtienen dando valores a “t” en la ecuación del movimiento (paramétricas).

  16. Ecuaciones de la trayectoria. • Se obtienen despejando el parámetro (tiempo) en una ecuación y sustituyendo el valor en la otra. • Son ecuaciones escalares (no vectores). • Ejemplo:r(t) = [2t·i + (1–t) ·j + (3t2+4)·k] m • x = 2t ; y = 1 – t ; z = 3t2 + 4 • t = x/2  y = 1 – x/2 ; z = 3x2/4 + 4 • En el caso del espacio bidimensional, únicamente existe una ecuación de la trayectoria: y = f(x).

  17. Ejercicio:Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por la ecuación:r(t) = [(t – 2)·i + (2t2 + 4t –3 )·j] m • Ecuaciones paramétricas: • x = t – 2 ; y = 2t2 + 4t –3 • Despejando “t”de la 1ª ecuación: t = x + 2 • Y sustituyendo en la segunda: • y = 2 (x + 2)2 + 4·(x + 2) –3 • y = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4·(x + 2) –3 • y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 –3 • Ecuación de la trayectoria:y = 2 x 2 + 12x + 13

  18. Ejercicio:Determina el valor del vector posición del vector : r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) ·j] m en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula el módulo de dichos vectores y la ecuación de la trayectoria. t (s) r(t) (m) r(t) (m) ——— 0 – 6 j(–6)2 = 6,00 ———— 2 6i + 2j62 + 22 = 6,32 —————— 4 12i + 26 j122 + 262 = 28,64 ——————6 18 i + 66 j182 + 662 = 68,41 • Despejando “t” de x = 3 t  t = x/3, y sustituyendo en y = 2 t2 – 6 queda: y = 2(x/3)2 – 6;y = 2x2/9 – 6

  19. y 50 25 5 10 15 x Ejercicio: Representa gráficamente la ecuación anterior: (0,–6); (6,2); (12,26); (18,66).

  20. Vector desplazamiento (r = r) • Es el vector diferencia de dos vectores de posición en dos momentos distintos. • Sean r0 = x0i + y0j + z0kyr1 = x1i + y1 j + z1kdos vectores posición. • r= r1– r0= = (x1–x0) i + (y1–y0) j + (z1–z0) k== x i +  y j + z k • En el S.I. la unidad será el m.

  21. Ejercicio:Cuál será el vector desplazamiento y cuánto valdrá su módulo en la ecuación anterior:r(t) = 3t ·i + (2t2 – 6) · j en unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s. • r1 (t =2 s) = (6 i + 2j) mr2 (t= 4 s) = (12 i + 26j)m • r= r2–r1= x i +  y j + z k = • [(12 – 6) i+ (26 – 2) j]m • r= (6i + 24j) m • ———– ———–r=  62 + 242 m = 36 + 576 m = 24,74 m

  22. Espacio recorrido (s) • Es una magnitud escalar que mide la longitud de trayectoria recorrida. • NO hay que confundircon el vector desplaza-miento, aunque en tra-yectorias rectilíneas yque no cambien de sen-tido el movimientos = r • En el S.I. la unidad será el m.

  23. Velocidad media (vm =vm) • rx i +  yj + z kvm = — = ————————t t • x y z vm = ——i+ —— j+ —— kt t t vm = vmxi + vmyj + vmzk • El módulo del vector vmtoma el valor: ———————vm=  vmx2+ vmy2 + vmz2

  24. Velocidad media (continuación) • La dirección y el sentido son los mismos que los del vector desplazamiento rya quet es un escalar. • NO hay que confundir vm con el escalar s/t que, en Física, llamaremos rapidez o celeridad media. • Ni siquiera vmtiene porqué coincidir con la rapidez o celeridad media. • Ejemplo: un corredor que da una vuelta completa a un circuito tendrá vm = 0 ya que r= 0. Sin embargo tiene una rapidez que viene determinada por la longitud de la pista (s) dividido por el tiempo empleado en cubrir la vuelta (t). • En el S.I. la unidad será el m/s.

  25. Ejercicio:Calcular la velocidad media entre los instantes t = 2s y t = 5, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [(2t2 – 4) ·i + (1 – 4t) ·j]m r1 (t =2 s) = (4 i– 7 j) m r2 (t =5 s) = (46 i– 19j) m r (2s5s)= r2–r1= (42i – 12 j) m r(42i – 12 j) mvm(2s5s) = — = —————— = (14i – 4 j) m/st 5 s – 2 s ————————— vm(2s5s)=  (14 m/s)2+ (– 4m/s)2 = 14,56 m/s

  26. Velocidad instantánea (v=v) • Es el valor límite que toma la velocidad media cuando los intervalos de tiempo t van aproximándose a 0.

  27. Ejemplo:Calcular la velocidad instantánea aproxima-da ( t = 0,1 s)en el instante t = 2s, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t2–6) j]m • Sea  t = 0,1 s, suficientemente pequeño: deberemos conocer la posición en r1 (t =2 s) y en r2 (t =2,1 s) • r1 (t =2 s) = (6 i + 2j) m • r2 (t =2,1 s) = (6,3 i + 2,82j) m • r= r2–r1= (0,3i + 0,82j) m • r(0,3i + 0,82j) mvaprox (t=2 s) = — = ——————— = (3i + 8,2j) m/st 0,1 s • ————vaprox (t=2 s)=  32+ 8,22 m/s = 8,73 m/s

  28. Ejercicio:Calcular la velocidad instantánea más aproximada en el instante t = 2s, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [3t ·i + (2t2 – 6) ·j]m • Si queremos calcular v (t=2 s) de forma más aproximada deberemos tomar un  t aún menor, por ejemplo 0,01 s, y conocer la posición en r1 (t =2 s) y en r3 (t =2,01 s). • r1 (t =2 s) = (6 i + 2j) m • r3 (t =2,01 s) = (6,03 i + 2,0802j) m • r= r3–r1= (0,03i + 0,0802j) m • r(0,03i + 0,0802j) mvaprox (t=2 s) = — = ———————— = (3i + 8,02j) m/st 0,01 s • —————vaprox (t=2 s)=  32+ 8,022 m/s = 8,56 m/s

  29. Componentes cartesianas de la velocidad instantánea v • rxi +  y j + z kv = lim — = lim ————————t0t t0 t • drdx dy dz v = —— = —— i+ —— j+ —— kdt dt dtdt • v = vxi + vyj + vzk

  30. Velocidad instantánea (cont.) • La dirección de ves tangente a la trayectoria en el instante en el que calculemos la velocidad. • El sentido es el del movimiento.

  31. Ejemplo:Calcular la expresión del vector velocidad del movimiento anterior:r(t) = [3t ·i + (2t2 – 6) ·j]m y la velocidad en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo. • rx i+  y j + z kv = lim — = lim ————————t0t t0 t • 3(t+t) – 3t [2(t+t)2–6 – [2t2–6]v = ————— i + —————————j=t t • 3t + 3 t – 3t [2t2 + 4t t + 2(t)2–6]–[2t2–6]= —————— i+ ————————————— j=t t • v= dr/dt= 3 i+ 4t jEcuación de laya quet  0 velocidad

  32. Ejemplo (continuación):Calcular la expresióndel vector velocidad del movimiento anteriorr(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] my la velocidad en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo. • Ecuación de la velocidad: v= 3 i+ 4t j t (s) v(t) (m/s) v(t) (m/s) — 0 3i32 = 3 ——— 2 3 i+ 8j32 + 82 = 8’54 ———– 4 3i + 16j32 + 162 = 16’28 ———–6 3 i+ 24 j32 + 242 = 24’19

  33. Aceleración media (am =am) • La definición es similar a la de la velocidad, si bien tiene un significado totalmente distinto, pues indica la variación de velocidad con el tiempo. • vvxi +  vyj + vzkam = — = —————————t t • am = amxi + amyj + amzk • En el S.I. la unidad será el m/s2.

  34. Aceleración instantánea (a=a). • vvxi + vyj + vzka = lim — = lim —————————t0t t0 t • dvdvxdvydvza = —— = —— i+ —— j+ —— kdt dt dtdt • a = axi + ayj + azk • La dirección y el sentido de a son los mismos que los del vector incremento de velocidad vya quet es un escalar.

  35. Ejemplo:Calcular la expresión del vector acelera-ción del movimiento anterior r(t) = 3t·i+ (2t2–6)·j,cuyo vectorvelocidad era v = 3 i+ 4tj en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo. • Ecuación del movimiento (de la posición): r(t) = 3t·i+ (2t2–6)·j • Ecuación de la velocidad: v= 3i+ 4tj • Ecuac. de la aceleración: a=dv/dt= 4 j • Para todos los valores de tiempoa=4 jm/s2, ya que se observa quea no depende de “t”. • —a (m/s2) = 42m/s2= 4m/s2

  36. Componentes intrínsecas de la aceleración • Únicamente en los movi-mientos rectilíneos a tienela misma dirección y sen-tido que v. En general, atiene una dirección y sen-tido hacia dentro de lacurva, con lo que normal-mente se descompone endos vectores at (acel. tangencial) y an (acel. normal) tangente y perpendicular a la trayectoria.

  37. Componentes intrínsecas de la aceleración (at y an) • a=at+ an = at ·ut+ an·unsiendo ut y un los vectores unitarios tangente y perpendicular a la trayectoria en el punto en el que calculamos la aceleración. • vdvv2at=at= lim —— = —— ; an=an= —— t0t dt R • siendo R el radio de curvatura de la trayectoria. • Suele llamarse v = v at= dv/dt ; an= v2/R • ———Igualmente llamamos a=a=  at2+ an2

  38. Ejemplo:Un coche de carreras toma la salida en una pista circular de 1 km de radio. El módulo de la velocidad aumenta según la ecuación: v(t) = 7 t, en unidades del SI. Calcula: a) la aceleración tangencial; b) la aceleración normal y el módulo del vector a a los 6 s. a) dv 7(t+t) – 7t 7t + 7 t – 7t 7 t at = —— = ————— = —————— = —— =7 m/s2dt t t t at = 7ut m/s2 b) v2 49 t2 m2·s-2an = —— = ————— = 0,049 t2 m/s2R 1000 m an (t= 6 s)= 0,049 ·62m/s2 = 1,76 m/s2 ; an = 1,76un m/s2 ———— —————a(t= 6)= at2+ an2 =  72 + 1,7642 m/s2 = 7,2 m/s2

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