第十三讲不定积分的运算（三）

第十三讲不定积分的运算（三）

重点：第一换元积分法； • 难点：第一换元积分法计算 • 教学时数：2 • 教学方法：面授 • 教学内容提要：

一、第一换元积分法☆ 直接积分法求解不定积分的应用范围十分有限。对于较复杂的函数，常常用到的是第一换元积分法。

在不定积分定义式 ∫f(u)du=F(u)+C 中，u为中间变量时，即u=g(x)为一个函数时是否成立？回答是肯定的。

我们知道若 F/(u)=f(u),则 dF(u)=F/(u)du =f(u)du ---一阶微分形式不变性（u为函数或自变量时都成立）. 两边积分 ∫ dF(u)= ∫ f(u)du

得到 ∫f(u)du=F(u)+C ----积分形式不变性若u = φ(x) ，则有 ∫f(φ(x))dφ(x)=F(φ(x))+C 即 ∫f(φ(x))φ/(x)dx =F(φ(x))+C

由此得第一换元积分法法则： ∫f(φ(x) )φ/(x)dx=∫f(φ(x))d φ(x) =∫f(u)du [=∫dF(u) ] = F(u)+C =F(φ(x) )+C 其中 F/(u)=f(u)

例 1 ∫ dx（∫ ln2xdx） 解：令u=lnx 有du= dx 则原积分= ∫u2du = u3+1 = ln3x+C

注：被积函数有复合函数，且其中间变 量的导数正好是另一函数，则考虑用第一换元积分法。

例2 ∫ dx（∫ exdx） 解：令u=ex +1 有du=exdx 则原积分=∫ du=lnu+C =ln(ex +1)+C

例3 ∫xcos(1-x2)dx 解：令u=1-x2有 du=-2xdx xdx=- du 则原积分=- ∫cosudu=- sinu+C = - sin(1-x2) +C

从以上例可以看出，第一换元法实际上是把 复合函数求微分（导）反过来用，目的是向积分基本公式靠拢。而关键在于-----

从被积函数中拿出某因子φ/(x)与dx结合 起来，化为某一个所需要的函数的微分。即 φ/(x)dx=d φ(x) 这实际上就是先进行局部的不定积分，以凑成函数的微分，因此第一换元法又称凑微分法。

例4 ∫xcos(1-x2)dx = ∫cos(1-x2)dx2 = -∫cos(1-x2)d(1-x2) = - sin (1-x2)+C

例5 ∫22x+3 dx = ∫22x+3d(2x+3) = 22x+3 +C

例6∫ dx=∫ dx = ∫ dx+ ∫ cosxdx = -cotx+∫ dsinx =-cotx - +C

例7 ∫sin3xcos2xdx = -∫sin2xcos2xdcosx = -∫(1-cos2x)cos2xdcosx = - ∫cos2xdcosx +∫cos4xdcosx = - cos3x + cos5x+C

例8 ∫ dx = ∫ dx2 = arcsinx2+C

从以上例，我们可以看出： 凑微分法的关键是首先进行正确的局部积分，这是基本功。

下面的题即为这方面专门的练习： dx=﹍d(3x-7) xdx= -﹍d(1-x2) x3dx= ﹍ d(2-3x4) e2xdx= ﹍ de2x cos(2x+1)dx= ﹍ dsin (2x+1)

这类练习很重要， p88 -4，6 同学们要多做，对掌握积分运算很有帮助的。

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