فصل پنجم رياضي 1 ضد مشتق

1. بسم الله الرحمن الرحيم فصل پنجم رياضي 1ضد مشتق حميده بهرامي استاد تسليمي بهار 86

2. رابطه ي بين مشتق و ضد مشتق • رابطه ي بين اي دو فرايند شبيه به ارتباطي است كه جذر گرفتن و مجذور كردن با هم دارند .اگر عدد مثبتي را مربع كرده و سپس از آن جذر بگيريم دوباره همان عدد اول به دست مي آيد به طور مشابه اگر ضد مشتق تابع پيوسته f رامحاسبه كنيم به تابع جديدي ميرسيم كه اگر از آن مشتق بگيريم به تابع اول f باز مي گيرديم

3. تعريف: فرض كنيد تابع F بر يك بازه مانند I پيوسته باشد تابع f را ضد مشتق تابع F برI مي ناميم هرگاه : X є I , F’(x) = f(x) • قضيه : اگر F و Gضد مشتق تابع f بر بازه Iباشند آنگاه G(x)=F(x) + C كه در آن Cعدد ثابت است.

4. مي توان نتيجه گرفت كه : اگر Fضد مشتق تابع fبر روي فاصله ي iباشد صورت كلي ضد مشتق هاي fروي اين بازه به فرم F(x)+C مي باشد كه در آن Cعدد ثابت و دلخواه است . • معرفي نماد : نماد ∫ را به عنوان نمايش عمل ضد مشتق گيري معرفي مي كنيم در واقع اين علامت معكوس علامت ديفرانسيل مي باشد ميتوان نوشت : ∫d(F(x)) = ∫f(x)dx و يا داريم : ∫f(x)dx = F(x)+ C

5. مثال :در رابطه ي زير F(x)را بيابيد . ∫f(x)dx=sin^2-4x^3+8 • باتوجه به تعريف ضد مشتق داريم : F(x)=d/dx(sin^2x-4x^3+8) F(x)=sin2x-12x^2 از آنجا كه مي دانيم اگر از تابع حاصل ضد مشتق ديفرانسيل بگيريم تابع داخل ضد مشتق به دست مي آيد مطابق بالا عمل ميكنيم .

6. تذكر :چون عمل ضد مشتقعمل معكوس مشتق گيري يا ديفرانسيل گيري است لذا با توجه به تعريف تعريف مشتق و قضاياي آن ميتوان قضيه و مثال زير را به سادگي درك نمود. مثال: قضيه: ∫(2x-3) dx را محاسبه كنيد : با توجه به قضيه قبل داريم : ∫(2x-3) dx=x^2-3x+ C • ∫dx=x+C • ∫x^ndx=(x^n+1/n+1)+C Q) , (n ≠ 1) є(n در قسمت دوم كلمه ي ضد مشتق به خوبي قابل بيان است زيرا داريم : d/dx(x^n)=nx^n-1

7. روش تعويض متغير براي محاسبه ي ضد مشتق اغلب ميتوان با تعويض متغير ضد مشتق يك تابع را در صورت وجود تعيين نمود .روش انجام دادن اين عمل را روش تعويض متغير گويند. چگونگي بكار گيري اين روش را ميتوانيد در مثال زير مشاهده كنيد مثال: محاسبه انتگرال ∫(x^4-1)^2.4x^3dx 1.فرض مي كنيم u=x^4 -1(تعويض متغير) بنابراين du=4x^3dx(از هر دو طرف عبارت قبل ديفرانسيل ميگيريم )در نتيجه داريم : u^2du=1/3u^3+ C ∫ ∫(x^4-1)^2.4x^3dx = 2.حال تغيير نتغير را معكوس ميكنيم تا نتيجه ي مطلوب را داشته باشيم : =1 / 3 (X^4-1)^3+C

8. قرارداد:به جاي كلمه ي ضد مشتق كلمه انتگرال را نيز ميتوان به كار برد لذا زماني كه هدف محاسبه اتگرال ∫f(x)dxباشد،منظور آن است كه ضد مشتق تابع f(x) را محاسبه كنيم . قضيه: (قاعده ي زنجيري براي انتگرال ) فرض كنيد g تابع مشتق پذير از xو برد gبازه ي Iباشد و فرض كنيد fبر Iتعريف شده و Fضد مشتق fبر بازه ي Iباشد اگر u=g(x) آنگاه رابطه ي رو به رو بر قرار است . F(g(x))g’(x)dx=∫f(u)du=F(u)+C=F(g(x))+C∫

9. قضيه : قاعده ي زنجيري براي ضد مشتق گيري ،روش تغيير متغير براي محاسبه ي انتگرال را بيان ميكند و به كمك آن ميتوان اغلب انتگرال ها را حل نمود در هر صورت نسخه ي خاصي در اين مورد پيشنهاد نميشود براي كسب مهارت تنها راه پيشنهادي تمرين ميباشد ! مثال: اگر g تابع مشتق پذير از X باشد و u=g(x) ، آنگاه : ∫[g(x)]^n g’(x) dx = ∫u^ndu = =u^(n+1)/n+1+C =[g(x)]^(n+1)/n+1+C , (n≠ -1)

10. ضد مشتق گيري از توابع مثلثاتي • با توجه به تعريف ضد مشتق و با در نظر گرفتن مشتق توابع مثلثاتي ،به سادگي دستور هاي زير را ميتوان بيان نمود .

11. چند حالت خاص براي توان هاي سينوس و كسينوس وجود دارد كه در زير بررسي ميكنيم • وقتي كه توان Sin يا cosبه صورت يك عدد صحيح فرد (n=2k+1)باشد : انتگرال به شكل زير محاسبه ميشود : ∫sin^(n)u.du= ∫ sin^(2k)u.sinu du= ∫(1-cos^(2)u)^k.sinu du • وقتي كه توان xinيا cosعدد زوج باشد .در اين حالت روش اول مفيد نيست براي انتگرال گيري مقادير sin^2و cos^2را با مقاديري كه در زير آمده جابه جا ميكنيم و انتگرال ها را حل ميكنيم : Sin^2=(1-cos2x) /2 cos^2 =(1+cos2x) / 2

12. محاسبه ي انتگرال مشابه • ∫sin^n.cos^mdx • كه حداقل يكي از توان ها فرد باشد . در اين حالت مشابه حالت اول عمل • ميكنيم به مثال زير توجه كنيد : • ∫sin^(2)x.cos^(3)x dx • Z=sinx • ∫sin^(2)x.(1-sin^(2)x)cosxdx =∫z^2(1-z^2)dz = 1/3( z^3) – 1/5 (z^5)+C • == 1/3 sin(3)x-1/5 sin(5)x +C

13. محاسبه ي انتگرال به صورت ∫sin^n.cos^mdx وقتي m ,nهردو زوج باشند روش حل اين انتگرال ها مشابه حالت دوم است و ميتوان تغيير متغير هاي مناسب تري را هم انجام داد . • محاسبه ي انتگرال به صورت ∫sinαx.cosβx dx و يا به صورت ∫sinαx.sinβx dxو يا به صورت ∫cosαx.cosβx dxباشد : در اين حالت از دسور هاي جمع مثلثاتي مشابه زير استفاده ميكنيم 2 sinαx.cosβx= sin(α-β) +sin(α+β) و انتگرال را به جمع و يا تفرق تجزيه ميكنيم و از هر كدام جدا گانه انتگرال ميگيريم . • محاسبه ي انتگرال به صورت ∫sec^n.tag^mdx يا ∫csc^n.cot^mdxدر حالتي كه n زوج است عامل sec^2 را جدا كرده و ساير عبارت را بر حسب tagيا cot مرتب ميكنيم و با در نظر گرفتن تغيير متغير u=tagx انتگرال را حل ميكنيم .

14. محاسبه ي انتگرال به صورت ∫sec^n.tan^mdx يا ∫csc^n.cot^mdxكه در آن m فرد است عامل sec.tag را جدا ميكنيم و ساير عوامل را بر حسب secمرتب ميكنيم با تغيير متغيري نظير u=secx انتگرال را حل ميكنيم . مثال : ∫sec^(7) x .tag^(4)x dx ∫sec^6x.tag^4x (secx.tagx) dx U=secx du =secx.tagxdx ∫u^6(u^2-1)du =1/11 u^11- 2/9 u^9+1/7u^7+C =1/11 (sec^11)- 2/9 (sec^9)+1/7(sec^7)+C

15. پايان موفق باشيد