第六章 中心力场

1. 第六章 中心力场 §1 中心力场中粒子运动的一般规律 例 （1）引力场中的运动 如Kepler运动： 地球同步卫星

2. （2）库仑场中的运动(经典理解) 如原子体系： 电子的运动 共同特点： 角动量守恒 在中心力场中角动量概念非常重要。

3. 是中心力场， 梯度方向就是径向 角动量的经典表示： 则 所以，经典角动量是守恒量

4. 而 又是守恒量， 故粒子的运动必为平面运动， 这从 与 和 的方向关系上能看出来。 平面的法线方向即为 的方向。 考虑角动量的经典表达式，有 下面我们看量子力学中的角动量问题。 1、角动量守恒与径向运动 若势场为V(r)，粒子的质量为μ，则哈密顿量 可以写为

5. 此时，角动量是否为守恒量？ 由角动量分量与动量各分量对易式 容易证明 则有 由角动量只与角度θ、φ有关， 这样 所以，与经典力学中一样，角动量也是守恒量

6. 因为所研究的问题具有球对称性，故 一般采用球坐标系。此时

7. 故能量本征值方程可以写为 或 径向动能 离心势能(Centrifugal potential)

8. 所以 构成守恒量的完全集合。 根据上述讨论，有

9. 其中 或

10. [注]： （1）不同的中心力场V(r)决定不同的波函 数R(r)及能量本征值E。 （2）由于中心力场的球对称，致使径向方 程中不含磁量子数 m，因此能量与m 无关 试比较圆周和球面的对称性 对称元素越多，对称性越强 改变这些元素不影响某物理量的描述 一般说来，中心力场中粒子的能量是 （2l+1）重简并。

11. 令 代入上述径向方程，则有 [注]： (1)当l=0时，方程类似粒子一维运动方程 (2)方程中出现一项由轨道角动量引起的 附加势能——离心势能 动量愈大，则离心势能愈大，能级愈 高，离心势能是正定的。因此，中心 力场中粒子的基态必属于l=0的态。

13. x=a点为正则奇点； 若在x=a处解析，则 2、径向波函数在r→0邻域的渐近行为 在研究具体问题以前，先简介奇点概念 对方程 如果 在x=a处不解析， 则x=a点为非正则奇点； 比如对方程 为正则奇点， 为非正则奇点。

14. 现在设V(r)满足条件 其中 通常的中心力场都满足这种条件，如 谐振子势 库仑势 Yukawa势 等

15. 在此条件下，Rl(r)满足的径向方程 再取极限，利用极限条件 先乘r2 最后除以r2 可写为 （ ？） 显然，r=0为正则奇点。 （此处不涉及另一奇点r→∞）

16. 设 代入上述径向方程 得r最低次幂所满足的指标方程： s=l 和 s=-(l+1) 故当r→0时，有

17. 此时 满足 根据波函数的统计解释,当r→0时,若 则s<3/2。很显然，当l≥1时，(l+1)不满足 s具备的条件，所以取 根据 这是个重要的条件，以后会经常用到。

18. 3、两体问题化为单体问题 实际问题中出现的中心力场问题，常为 二体问题。 设二粒子的质量分别为m1和m2，相互作用势 为 二粒子体系的能量本征方程为

19. 引入质心坐标 及相对坐标 可以证明 其中 M = m1+m2（总质量） （约化质量）

20. 且 这样，能量本征值方程化为

21. 令 代入上式，分离变量后，得 描述质心运动 描述相对运动 其中 E = Et- Ec 作变换的优点是：分成两部分，分别求解 化整为零

22. 对方程 说明： （1）描述质心运动的是一个自由粒子的波动 方程，Ec是质心运动能量，这一部分与 我们研究的体系的内部结构无关，常常 不考虑。 （2）描述相对运动部分的方程与单体波动方程 完全一样,其中E是相对运动能量，只不过 把理解为约化质量。

23. 附

24. 这样

25. 同理：

26. 同理： 从而有：

27. a V(r) r a 0 §2 球方势阱 质量为μ的粒子，在半径 为a的球方势阱中运动， 如右图。 其势函数为： 见右图

28. 显然属于中心力场问题，只存在束缚态 （1）先考虑l=0状态（s态） 令 此时径向方程为 而 为边界条件 非常类似一维粒子在势场中的运动。

29. 考虑上述方程解的情况 在阱外，显然 在阱内 其中 其解可以表示为 sinkr的形式。 由边界条件 sinka=0 得 ka=(nr+1)π nr=0，1，2，... 将由此得出的k的形式代入前式，得

30. 能量本征值 nr=0，1，2，... 相应的归一化波函数为 且

31. （2）现在考虑l≠0的状态 此时径向方程为 边界条件为 引进无量纲变量 无量纲？ 利用 及

32. 则方程可化为 此即球Bessel方程。 其解为球Bessel函数jl(ρ)和球Niumann函数nl(ρ) 的线性组合。 球Bessel函数 球Niumann函数

33. 为求解方便，想法将上述方程变为Bessel 方程。 为此令 代入上述球Bessel方程，得 它是l+1/2阶Bessel方程。两个线性独立的解为

34. 这样可定义球Bessel函数和球Neumann函数 它们在ρ→0时的渐近行为是 此时由 得

35. 对方程 其中 !!表示双阶乘，比如 5!!=5×3×1 如果把ρ=0点包括在内，nl(ρ)解必须抛弃。 因而球方势阱内有界解取 k由边界条件Rl(ka)=0或jl(ka)=0确定。

36. 因为j与ka是三角函数关系，所以当a取有限 值时，k只能取一些分立的值。 令jl(x)=0的根依次记为 则由能量本征值 及 可得

37. 当a有限时，与 相应的径向本征函数为 其中 且

38. 当a→∞时，根据(见附录) 则jl(ka)=0自动满足。 因为a无任何限制 由 k无任何限制 由 E无任何限制，可连续变化

39. 由前面的知识可知，连续变化的本征态是 不能归一化的。为了实现归一化，常取如 下径向波函数 这样 使其“归一化”为δ函数。 作为中心力场的例子，前面我们研究了球方 势阱。下面看另一个例子。

40. §3 氢原子 氢原子是最简单的原子，Schrödinger方程可 以严格求解，从而成为研究复杂原子性质的基 础，曾为量子力学发展提供了重要线索。 1、径向波函数及其满足的方程 选择无穷远处为零势点，其库仑吸引势可表 为

41. 满足下列方程 令 径向波函数满足方程 利用复合函数求导方法可知 边界条件为

42. 分别为电子和质子的质量。 其中 在以下计算中采用原子单位： 计算结果出来后再添上各物理量的相关单位。 此时方程化为 显然此方程有两个奇点：

43. 根据前面所介绍的正则奇点和非正则奇点 的知识，显然方程 中， 为正则奇点， 为非正则奇点。 上述方程可化为合流超几何方程求解。

44. 2、径向方程的求解 根据方程 （1）当r→0时 由前面给出的条件 （一般中心力场都满足这个条件） 令 代入上述方程，得指标方程

45. s=l 由此解出 s=-l-1 从而有 由此给出 但对后一解，有界条件要求 l<3/2 但l的取值范围 决定了这一解不符合要求，故去掉，所以 即 ﹟

46. 方程化为 （2）当r→∞时 故 且 （以后要用到） 但 不满足∞边界条件，故

47. 因此方程 的解可以表为 u(r)是何种形式？ 问题： 将上述形式的解代入上面的方程，得 令ξ=2βr，有

48. 标准型为 其中参数为 此方程在 邻域有界的解为 合流超几何函数 其中

49. 中断为一个多项式。 容易证明： 不满足束缚态边界条件,因此必须要求 这只有在α=0或负整数时可得到。 单纯α=0是没有意思的。故取 现在令 且 则

50. 由 及 得 添上能量自然单位 得氢原子能量本征值为 其中 是第一Bohr半径， 它是长度的原子单位，n为主量子数。