فصل دوم

2. فصل دوم تکنیکهای بهینه یابی

3. 2-1-مقدمه در مدیریت تصمیم گیری فرآیند تعیین بهترین راه حل ممکن برای مسأله مفروض است . اگر فقط یک راه حل یا عمل ممکن وجود داشته باشد هیچ مشکلی در تصمیم گیری وجود نخواهد داشت . اما اگر راه حلهای متفاوتی برای عملی وجود داشته باشد عمل بهینه موردی است که سازگارترین نتیجه را با هدف تصمیم گیرنده ایجاد می کند. در فرآیند یافتن بهترین عمل یا تصمیم گیری مدیران از ابزار مهیا شده توسط اقتصاد مدیریت کمک می گیرند.

4. 2-2-حداکثر کردن ارزش بنگاه در اقتصاد مدیریت فرض می شود که هدف اصلی مدیریت حداکثر کردن ارزش بنگاه است. رابطه1-1(فصل1): = ارزش فعلی سودهای انتظاری آتی رابطه 1-1 و نیز 1-2 : = ارزش فعلی سودهای انتظاری آتی به حداکثر رساندن رابطه بالا وظیفه پیچیده ای است زیرا مشتمل بر عناصر درآمدها ، هزینه ها و نرخهای تنزیل در سالهای آینده می باشد.

5. درآمد کل یک بنگاه مستقیماً به وسیله مقدار تولید فروخته شده و قیمت دریافت شده مشخص می شود. بدین معنا که درآمد کل: ارتباط درآمد با مقدار و قیمت در گرو شرایط عرضه و تقاضا است. قیمت عوامل تولید نقش مهمی را در تعیین هزینه ها ایفا می کند به همین جهت ملاحظات در ارتباط با عرضه عوامل اهمیت می یابند. سرانجام ارتباطی میان نرخ تنزیل و ترکیب محصول شرکت ، دارائیهای فیزیکی و ساختار مالی آن وجود دارد.

6. دیدگاه مرکب(تصمیم گیری- تحلیل) : در ارزیابی انتخابهای موجود برای مدیریت و تعیین بهترین اقدام ، باید تصمیمات بخشهای بازاریابی ، تولید و مالی (همچنین تصمیمات مربوط به قسمتهای پرسنلی ، توزیع تولید و ...) در یک سیستم تلفیقی واحدها با یکدیگر ترکیب شوند. نظریه بنگاه این تلفیق را مهیا میکند. این دیدگاه نوعاً استفاده از این رویه برای تصمیمات برنامه های اصلی را محدود می کند. به همین جهت برای اکثر تصمیمات عملیاتی روزانه از تکنیکهای بهینه یابی جزئی با پیچیدگی کمتر استفاده می شود. بهینه یابی جزئی : از طریق تمرکز بر اهداف محدودتر بنگاه در چارچوب بخشهای مختلف عملیاتی بنگاه از پیچیدگی فرآیند تصمیم گیری مرکب می کاهد.

7. مثال : بخش بازاریابی به طور معمول ملزم به تعیین قیمت و خط مشی تبلیغاتی ، با توجه به خط تولید بنگاه و محدودیتهای بودجه بخش بازاریابی ، در جهت رسیدن به پاره ای از اهداف در فروش می باشد .همچنین از بخش تولید انتظار می رود که هزینه تولید مقدار مشخصی از محصول را با سطح مرغوبیت معین به حداقل برساند.در این حالت نیز اصول تحلیل اقتصادی پایه ،زمینه را برای تصمیمات مدیریتی بهینه فراهم می آورد.

8. فرآیند تصمیم گیری صرف نظر از اینکه مربوط به مسائل بهینه یابی جزئی یا کاملاً مرکب باشد در دو گام انجام می شود : اول : روابط اقتصادی باید به شکلی که برای تحلیل مناسب باشند بیان شوند . معمولاً به شکل ریاضی. دوم : تکنیکهای مختلف جهت تعیین راه حل بهینه مربوط به مسأله تحت مطالعه بکار رود.

9. 2-3-روشهای بیان روابط اقتصادی برای بیان روابط اقتصادی به کرات از معادلات ، جداولی که در آنها روابطی نشان داده می شود و نمودارهایی که در آنها روابط معینی رسم می شوند استفاده می شود. یک جدول و یا یک نمودار برای بسیاری از مسائل تصمیم گیری ممکن است کفایت کند. اما وقتی مسائل پیچیده باشد معادلات مفیدترند زیرا در آنها امکان استفاده از ابزارهای قدرتمند تحلیلهای ریاضی و شبیه سازی کامپیوتری وجود دارد.

10. 2-3-الف: روابط تابعی : معادلات آسانترین راه بررسی و بیان روابط اقتصادی ، و به طور همزمان تحصیل اطلاعات درباره تکنیکهای بهینه یابی ، ملاحظه روابط تابعی متعددی است که نقش مهمی در الگوی نظریه بنگاه ایفاء می کند.ابتدا ارتباط بین محصول (Q) و درآمدکل (TR) را در نظر بگیرید. رابطه 2-3 رابطه غیر صریح(ضمنی) TR=f(Q) معادله فوق چنین خوانده می شود«درآمد کل تابعی از تولید است» .ارزش متغیر وابسته(یعنی درآمد کل) به وسیله متغیر مستقل (تولید) مشخص می شود. رابطه 2-3 رابطه صریح(دقیق) TR=P.Q در رابطه فوق P نشاندهنده قیمیتی است که هر واحد از Q در آن قیمت فروخته می شود. مثال :TR=15Q اگر قیمت محصول فروخته شده صرف نظر از مقدار آن در 15 تومان ثابت باشد رابطه دقیق بین مقدار محصول فروخته شده و درآمد کل بدست آمده بیان می شود.

11. مثال :ارقام جدول (2-1)دقیقاًهمان رابطه تابعی را که به وسیله معادله TR=15Q مشخص شده است را بیان می کند.و شکل (2-1)همان تابع را به صورت نموداری نمایش می دهد .

12. 2-4- استفاده از نهایی ها برای حداکثر یا حداقل کردن توابع فرآیند یافتن بهترین راه حل برای تصمیم گیری ، که به آن بهینه یابی نیز می گویند، غالباً نیازمند پیدا کردن مقدار حداکثر یا حداقل یک تابع است. برای آنکه یک تابع در حداکثر یا حداقل خود باشد، شیب آن تابع یا مقدار نهایی آن باید صفر باشد. با توجه به اینکه مشتق یک تابع شیب آن را اندازه گیری می کند بنابراین حداکثر یا حداقل یک تابع در جایی خواهد بود که مشتق تابع برابر صفر باشد.

13. مثال : تابع سود زیر را در نظر بگیرید: = سود کل بر حسب تومان وQ=مقدار تولید بر حسب واحد است اگر مقدار تولید صفر باشد: زیان بنگاه برابر با 10000 خواهد بود زیرا هزینه ثابت برابر 10000 تومان است. با افزایش تولید سود نیز افزایش خواهد یافت . در حدود 29 واحد تولید به نقطه سربه سر می رسیم(سطح تولیدی که در آن سود صفر است)، در 100 واحد تولید سود حداکثر خواهد بود و بعد از آن کاهش می یابد

14. در ادامه مثال فوق : نقطه حداکثر سود را می توان بوسیله یافتن مشتق(مقدار نهایی تابع و سپس تعیین آن مقدارQکه مشتق (مقدار نهایی) را معادله صفر می کند نیز بدست آورد : سود نهایی : با برابر صفر قرار دادن این مشتق داریم :

15. تشخیص حداکثر از حداقل برای آنکه تابعی حداکثر یا حداقل باشد نباید بطور پیوسته صعودی یا نزولی باشد .مفهوم مشتق درجه دوم به منظور تشخیص حداکثر ها و حداقل ها در محدوده تابع بکار می رود. مشتق درجه دوم به طور ساده مشتقِ مشتق اصلی است. اگر معادله سود چنین باشد : صورت مشتق اول که تابع سود نهایی است عبارست از : مشتق دوم تابع سود کل ، مشتق تابع سود نهایی است که بدین صورت می باشد :

16. B سود کل A B A سود نهایی

17. مثال :تابع روبه رو را در نظر بگیرید : سود نهایی به وسیله مشتق اول سود کل بدست می آید : در نقاطی که مشتق اول(سود نهایی) برابر صفر است سود کل مقادیر حداقل یا حداکثر خود را اختیار می کند: با حل معادله فوق جوابهای Q=24 و Q=4 بدست می آید. این مقادیر سود نهایی را صفر می کنند یا در آن تابع سود کل مقدار حداقل یا حداکثر اختیار می کند. مشتق دوم از تابع سود کل به وسیله مشتق گیری از تابع سود نهایی بدست می آید: اگر مقدار تولیدQ=4 باشد، داریم : از آنجائیکه مشتق دوم مثبت است در نتیجه سود نهایی فزاینده بوده و سود کل در 4 واحد تولید به حداقل می رسد. با ارزیابی مشتق دوم در 24 واحد تولید داریم : از آنجائیکه مشتق دوم منفی است در نتیجه سود نهایی کاهنده بوده و سود کل در 24 واحد تولید به حداکثر می رسد.

18. مطالعه موردی : یک اشتباه بزرگ معروف در طراحی هواپیماهای بمب افکن استیلت(stealth) برای ساخت هواپیماهای بمب افکن (B-2 استیلت) میلیاردها دلار هزینه شده بود اما در طراحی این هواپیما بدلیل اشتباه دو متخصص ایراداتی وجود داشت ،آنها اشتباهاً نقطه مینیمم را به جای ماکزیمم انتخاب کرده بودند.این نوع هواپیما با نیروی محرکه موتور جت و از نوع بالدار است و آنها از فرمولهای ریاضی برای تعیین اینکه حجم هواپیما چگونه باید بین بال و بدنه تقسیم شود تا بُرد آن به حداکثر برسد استفاده کردندآنها از بُرد هواپیما نسبت به حجم آن مشتق گرفتند و دریافتند که مشتق وقتی برابر صفر است که تقریباً کل حجم بر روی بال باشدو بدین صورت آنها نتیجه گرفتند که با تکیه بر روی بال، بُرد به حداکثر خواهد رسید، اما در تحقیقات بعدی مشخص شد که تحت این شرایط مشتق دوم مثبت است نه منفی و در نتیجه طراحی با تکیه بر روی بال، بُرد هواپیما را به حداقل می رساند و نه حداکثر. در حقیقت اشتباه آنها در این بود که : کمترین وزن را روی بال هواپیما قرار داده بودند در صورتیکه باید بیشترین وزن را روی بال هواپیما قرار می دادند.

19. رابطه بین کل ، نهایی و متوسط برای درک بیشتر به شکل روبه رو توجه نمایید : در این شکل رابطه بین سود کل ، سود متوسط و سود نهایی با مقدار تولید نشان داده شده است. نقطه D نقطه حداکثر سود متوسط است زیرا در آن نقطه یکی از شعاعهای رسم شده از مرکز مختصات بر تابع سود کل مماس می باشد و تابع سود کل در یک طرف این شعاع قرار می گیرد. بنابراین شیب آن نشاندهنده سود نهایی می باشد. E سود کل D C B N A C B سود متوسط سود نهایی

20. مطالعه موردی : اندازه بهینه یک بیمارستان یکی از مسائل بسیار مهمی که بیمارستانها با آن روبرو هستند این است که یک بیمارستان بر حسب روزهای بستری شدن بیمار چقدر بزرگ باشد تا هزینه یک روز بستری شدن یک بیمار به حداقل برسد؟هارولدکوهن مطالعاتی در این خصوص انجام داد و بیان کرد که هزینه کل عملیاتی یک بیمارستان بر حسب دلار در آمریکا بصورت تقریبی برابر است با : و x بیانگر روزهایی است که بیمار در بیمارستان بستری می شود. الف)فرمولی برای ارتباط میان هزینه یک روز بستری شدن بیمار و تعداد روزهای بستری شدن او استخراج کنید. ب)یک بیمارستان بر حسب روزهای بستری شدن بیمار چقدر باید بزرگ باشد تا هزینه اقامت یک روز بیمار به حداقل برسد؟

21. ج)پاسخ شما هزینه اقامت یک روز بیمار را به حداقل می رساند یا به حداکثر؟ از آنجائیکه باید مثبت باشد . پس y باید در نقطه حداقل باشد. د)آیا تعداد روزهای اقامت بیمار در بیمارستان (بستری شدن بیمار)معیار مناسبی برای کارایی بیمارستان است ؟خیر ، زیرا بیماری بعضی از بیماران ممکن است خطرناک باشد و نیاز به مراقبت شدیدتری داشته باشد

22. بهینه یابی توابع چند متغیره به منظور تعیین ارزش هر یک از دو متغیر مستقل که متغیر وابسته را حداکثر می کند نیاز به دانستن اثر نهایی هر یک از متغیرهای مستقل بر متغیر وابسته است، در حالیکه اثر تمامی متغیرهای مستقل دیگر ثابت باشد. برای مثال ،اگر تابعی بدین صورت داشته باشیم: ( و دو متغیر مستقل هستند و متغیر وابسته می باشد . در چنین حالتی نیاز به دانستن اثر نهایی بر وقتی ثابت است و نیز در مرحله بعد اثر نهایی بر وقتی ثابت است داریم. برای بدست آوردن این اطلاعات مشتق جزئی را یکبار نسبت به و بار دیگر نسبت به حساب می کنیم.

23. مثال : رابطه سود یک بنگاه (به میلیون تومان)و 2 نوع محصول به شکل صریح عبارت است از : سؤال: تولید چه مقادیری از دو کالا سود را حداکثر می کند؟ ابتدا از تابع سود نسبت به دو متغیر و مشتق جزئی می گیریم و آنها را مساوی صفر قرار می دهیم : باحل همزمان این دو معادله می فهمیم که سود وقتی حداکثر است که 267/4= و 933/2= و با چنین ارقامی سودی برابر با 311 میلیون تومان بدست می آید.

24. برای درک اینکه چرا تمامی مشتقهای جزئی را باید معادل صفر قرار داد به شکل ذیل توجه نمایید.این شکل نشاندهنده رابطه بین و و است .این رابطه یک رویه سه بعدی است و حداکثر مقدار در نقطه جایی است که این رویه صاف است به دست می آید. صفحه ای که مماس بر این رویه در نقطه است موازی صفحه خواهد بود.به بیان دیگر شیب آن نسبت به یا باید صفر باشد. بنابراین چون مشتقهای جزئی برابر با این شیبها هستند در نقطه حداکثر آنها نیز باید معادل صفر باشند.

25. مطالعه موردی : اثر تبلیغات بر فروش شربت تنگ(Tang) این مطالعه بوسیله(یانگ و روبیکام) در مورد تخمین اثر هزینه های تبلیغاتی بر فروش تنگ که بوسیله شرکت جنرال فود عرضه می شود صورت پذیرفت و ارتباط میان هزینه های تبلیغاتی و فروش این کالا در دو ناحیه مختلف بدین صورت عنوان گردید: و که و فروش شرکت به میلیون دلار به ترتیب در ناحیه اول و دوم می باشند و و نیز هزینه های تبلیغات در دو ناحیه یک و دو به میلیون دلار در سال هستند. الف)شرکت جنرال فود برای به حداکثر رساندن فروش تنگ در ناحیه اول چقدر باید هزینه تبلیغات بپردازد؟ ب)شرکت جنرال فود برای به حداکثر رساندن فروش تنگ در ناحیه دوم چقدر باید هزینه تبلیغات بپردازد؟ ج)نشان دهید که پاسخهای شما در خصوص قسمتهای الف و ب فروش را به حداکثر میرساند نه حداقل؟ د)آیا شما به شرکت جنرال فود توصیه می کنید جهت به حداکثر رساندن فروش تنگ تلاش کند؟خیر زیرا شرکتها عموماً بدنبال حداکثر رساندن سود هستند و حاضر نیستند به خاطر افزایش فروش، سود را کاهش دهند.

26. بهینه یابی مقید اکثر مسائل تصمیم گیری که مدیران با آنها مواجهند مقید هستند. به عنوان مثال مدیران بازار یابی غالباً موظف به حداکثر کردن فروش ، مشروط به در نظر گرفتن بودجه ثابت تبلیغاتی هستند.در برخی موارد که معادله چندان پیچیده نیست می توان با حل معادله قید برای یکی از متغیرهای تصمیم گیری و سپس قراردادن مقدار آن متغیر در تابع هدف انجام داد.این روش مسأله را به یک مسأله حداکثر یا حداقل کردن غیر مقید تبدیل می کند که به وسیله روشهای شرح داده شده قبلی قابل حل است.

27. مثال : فرض کنید بنگاهی محصولات خود را در دو خط مختلف مونتاژ و تولید می کند و تابع هزینه کل آن بدین صورت است: رابطه 2-1 مدیریت در پی تعیین حداقل هزینه تولید ترکیبی این دو محصول ، مشروط به تولید 20 واحد از آنها در مجموع است. پس مسأله بهینه یابی آن بدین صورت است: رابطه 2-2 حداقل رابطه 2-3 مشروط به

28. ضریب افزایش لاگرانژ روش لاگرانژ جهت حل مسائل بهینه یابی مقید دستورالعملی است که در آن تابعی را که شامل ترکیبی از تابع هدف و شرایط مقید است بهینه می کند.تابع ترکیبی بدست آمده را که تابع لاگرانژ می نامند به صورتی است که موارد ذیل را تضمین می نماید: 1-وقتی به حداکثر یا حداقل می رسد تابع هدف اصلی نیز حداقل یا حداکثر خواهد شد. 2-تمامی شرایط قیود تأمین می شود. بدین صورت می توان عمل کرد : قدم اول: تمامی جملات قید را مجدداً در یک طرف علامت تساوی جمع آوری می کنیم. قدم دوم : شکل اخیر تابع قید را در ضریب مجهول ضرب نموده و به تابع هدف اضافه می نماییم. قدم سوم: از تابع هدف یکبار نسبت به و یکبار نسبت به و در نهایت نسبت به مشتق می گیریم و با صفر قراردادن معادلات بدست آمده مقادیر و و را بدست می آوریم.

29. مثال :مسئله قبل را در نظر می گیریم: بنگاه در پی به حداقل رساندن تابع مشروط به قید است. و طبق قواعد ذکر شده بدین صورت عمل می کنیم :

30. مفهوم «اضافی» در مقابل مفهوم «نهایی» در تحلیلهای اقتصادی کاربرد روابط نهایی در تصمیم گیریهای مدیریت بسیار مهم و محدود است و دلیل این محدودیت این است که نهایی ها فقط نتایج منتج از تغییرات کوچکی در یک متغیر را اندازه گیری می کنند، در حالیکه در بسیاری از تصمیمات مدیریتی موضوع مورد نظر دیدن اثر تغییرات متغیری است که دامنه تغییراتش بسیار وسیع است. واژه اضافی تعمیم مفهوم نهایی توسط اقتصاددانان است. تجزیه و تحلیل اضافی شامل آزمودن نتیجه کلی اعمال مختلف مدیریت بر درآمدها ، هزینه ها و سود است. تغییر اضافی به عنوان تغییر کل منتج از تصمیم تعریف می شود. به طور مثال : درآمد اضافی مربوط به اضافه کردن یک محصول جدید به خط تولید بنگاه ، تفاوت درآمد کل بنگاه می باشد ، هنگامی که محصول جدید تولید می شود و هنگامی که محصول جدید تولید نمی شود.

31. برنامه ریزی خطی برنامه ریزی خطی تکنیکی تحلیلی است که برای حل مسائل بهینه یابی مقید بکار می رود و بر خلاف تکنیک لاگرانژ که در آن قیود باید به شکل تساوی باشند در برنامه ریزی خطی قیود می توانند به شکل نامعادله نیز باشند. مفروضات برنامه ریزی خطی 1- تابع هدف و قیود خطی هستند. 2-مسائل اصلی در تصمیم گیری حول محور درآمد، هزینه و ترکیب آنها یعنی سود دور می زند. 3-تحت شرایط رقابت خالص قیمت عوامل و قیمت محصولات ثابت می ماندو بازده نسبت به مقیاس تولید نیز ثابت فرض می شود. 4-برنامه ریزی خطی برای تصمیم گیری در طول دامنه های محدود محصول بکار می رود.

32. حل مسائل برنامه ریزی خطی؛ روش ترسیمی در قدم اول : طبق صورت مسئله تابع هدف و قیود آنرا تنظیم می نماییم. قدم دوم: نامعادلات بدست آمده را حل نموده و اعداد بدست آمده را در نمودار ترسیمی با توجه به محور X وY مشخص می کنیم. قدم سوم: بعد از رسم تمامی قید نهاده ها ناحیه مشترک یا فضای قابل قبول را تعیین می نماییم. قدم چهارم: با رسم خطوط سود یکسان بر روی محور مختصاتی که قیود مسأله در آن رسم شده اند جواب ترسیمی مسأله برنامه ریزی خطی را بدست می آوریم. و در نهایت : (در صورت حداکثر بودن تابع هدف) نقطه ای که تماس بالاترین خط سود یکسان با ناحیه قابل قبول است را به عنوان جواب مسأله انتخاب می نماییم.

33. مثال :یک بنگاه اقتصادی در پی به حداکثر رساندن سود کل حاصل از فروش دو کالای X و Y تولیدش در یک دوره زمانی معین است. اگر فرض شود که سود ناخالص هر واحد یعنی مازاد قیمت نسبت به متوسط هزینه متغیر 12 تومان برای کالای X و 9 تومان برای کالای Y باشد تابع هدف چگونه است؟ اگردر تولید این دو کالا از سه عامل تولیدی AوBوC استفاده شود و مقادیر هریک از این عوامل در هر دوره زمانی به ترتیب 32،10و21 واحد باشد و مقدار استفاده از سه عامل تولیدی برای تولید هر واحد از کالای X به ترتیب4،1 و 0 واحد و مقدار لازم برای تولید هر واحد از کالای y به ترتیب 2،1 و 3 باشد ، ترکیب بهینه دو محصول و همچنین حداکثر سود ناخالص را بدست آورید:

34. راه حل : حداکثر مشروط به با رسم این تابع خطی در صفحه، نقاط قابل دسترس شامل نقاط داخل و روی اضلاع مثلث خواهد بود. و همچنین: مثلث و در نهایت : تابع خطی با عرض از مبدأ ثابت نقطه بهینه M ناحیه قابل قبول

35. به منظور یافتن بهترین ترکیب از دو کالا از خطوط سود یکسان استفاده می کنیم. خط سود یکسان یا سود همسان مکان هندسی ترکیباتی از و است که سود کل یکسانی داشته باشد. تابع سود یکسان در این مسئله : و در نهایت : با رسم خطوط یکسان و بدست آوردن نقطه Mبه عنوان بالاترین نقطه مماس خط سود یکسان با ناحیه قابل قبول داریم : M

36. حل مسائل برنامه ریزی خطی ؛ به روش جبری 1- استفاده از جبر ساده: با مقایسه شیب تابع هدف و شیبهای توابع قیود می توانیم پر شیب ترین قید جنبی و کم شیب ترین قید جنبی رابیابیم. تقاطع این دو قید جواب نقطه بهینه خواهد بود. 2- استفاده از متغیرهای کمکی: برای آنکه معادله قیدها را به صورت تساوی در آوریم در هر یک از معادلات قید متغیر کمکی اضافه می نماییم. متغیر کمکی ، مقدار واحدهای بکار نرفته و یا ظرفیت بیکاری را که در فرآیند خاصی باقی می ماند، اندازه گیری می کند.اگر تمامی واحدهای یک عامل بکار گرفته شده صفر باشد درنتیجه متغیر کمکی صفر خواهد بود.

37. مثال : حداکثر مشروط به مقدار تولید Y K L تعیین متغیرهای صفر در گوشه های ناحیه قابل قبول M O N حل جبری مسأله برنامه ریزی خطی مقدار یا ارزش متغیرها مقدار تولید X

38. 3- استفاده از دو گانگی در برنامه ریزی خطی:برای هر مسأله به حداکثر رساندن در برنامه ریزی خطی یک مسأله به حداقل رساندن قرینه وجود دارد وبالعکس. این زوج از مسائل مرتبط با حداکثر نمودن و حداقل نمودن را مسائل برنامه ریزی خطی«اصلی» و «دوگانه» می نامند.قرینگی یا دوگانگی بین مسائل حداکثر کردن مقید وحداقل کردن مقید یک مفهوم کلیدی در اقتصاد مدیریت است. دلایل اهمیت دوگانگی : 1- دوگانگی نشاندهنده قرینگی بین ارزش تولیدات یک بنگاه و ارزش منابع یا نهادهای بکار رفته در تولید است. 2-ممکن است حل مسأله برنامه ریزی «اصلی» مشکل باشد و با توجه به تقارن بین مسأله اصلی و دوگانه آن می توان از طریق حل مسأله دوگانه به جواب مسأله اصلی رسید.به خصوص اگر مسأله اصلی حداقل کردن باشد با حل دوگانه آن راحت تر به جواب خواهیم رسید.

39. مثال : حداقل حداکثر مشروط به برای حل مسأله برنامه ریزی دوگانه فوق باید توجه کرد که چون دو قید وجود دارد ، حداکثر تعداد متغیرهایی که در هر گوشه مخالف صفر هستند فقط دو مورد خواهد بود.

40. بنابراین می توان سه متغیر را برابر صفر قرار داد . معادلات قید را جهت تعیین مقادیر دو متغیر دیگر حل کرد: چون و نمی توانند منفی باشند این جواب خارج از مجموعه قابل قبول خواهد بود و بدین ترتیب مابقی مقادیر را طبق جدول بدست می آوریم.

41. در جواب شماره 10 کل ارزش منتسب به نهاده های AوB وC حداقل است و به این موارد می توان توجه کرد : 1- کل ارزش منتسب به منابع بنگاه برابر با 108 تومان است که دقیقاً برابر با حداکثر سود ناخالصی می باشد که از طریق حل مسائل اصلی بدست آمد. 2-قیمت سایه نهادهC برابر صفر است. چون قیمت سایه ارزش نهایی یک نهاده را برای بنگاه اندازه گیری می کند. 3-قیمت سایه نهاده A برابر 5/1 تومان است. این قیمت سایه نشان می دهد اگر یک واحد اضافی از A افزوده شود سود ناخالص کل بنگاه 5/1 تومان افزایش می یابد زیرا قیمت سایه مثبت می باشد. 4- هردو متغیر کمکی صفر می باشند، بنابراین هزینه فرصت از دست رفته هر دو کالای X وY صفر است و نشان می دهد منابع لازم جهت تولید آنها در استفاده دیگری برای بنگاه ارزشمند نیست.