Download
1 / 27
600 likes | 1.69k Vues
KUYRUK TEORİSİ (bekleme hatti modelleri). Hazırlayan: Özlem AYDIN. Giris.
E N D
KUYRUK TEORİSİ (bekleme hatti modelleri) Hazırlayan: Özlem AYDIN
Giris • Bir hizmet için beklemek günlük yaşantının bir parçasıdır. Örneğin, restoranlarda yemek yemek için bekleme, hastanelerdeki hasta kuyruğunda bekleme, marketlerde ödeme yapmak için kasalarında önünde oluşan kuyruğa girme… • Beklemek sadece insana özgü bir deneyim değildir. İşlerin makinede işlem görmeyi beklemesi, arızı makinelerin onarım için beklemesi, araçların trafik ışıklarında durması..
Giris • Bir işletmedeki yönetici hizmet maliyetinin düşük olmasını, hizmet niteliğinin yüksek olmasını ve müşterilerin bekleme zamanını en düşük düzeyde tutmayı amaçlamalıdır. • Hizmet için gelen müşteri isteklerinin zamanında karşılanması bekler. Müşteri gereğinden fazla beklediğinde işletmenin müşteriyi kaybetme olasılığı vardır. Bu işletmeye zarar verir. • İşletmenin yararları ile müşterilerin yararlarını dengeleyen bir ekonomik strateji belirlenmesi kuyruk analizi ile gerçekleştirilebilir.
Kuyruk teorisi • Kuyruk teorisi bekleyen sıraların (ya da kuyrukların) matematiksel olarak incelenmesidir. • Teori, sıraya girilmesi, kuyrukta bekleme (aslında bir depolama işlemi) ve sıranın önünde hizmet sağlayanlar tarafından servisin sunulmasını içeren birçok ilişkili işlemin matematiksel analizine uygundur. • Teori, kuyrukta ya da sistemde ortalama bekleme zamanı ,bekleyen ya da alınan hizmetin beklenen değerini ve belirli durumlarda (müsait bir servis sağlayıcıya sahip olunan ya da hizmet almak için belirli bir zamanın beklendiği) bir sistemle karşılaşma olasılığını içeren birkaç performans ölçümünü hesaplamayı ve bunları türetmeyi sağlar.
Kuyruk teorisi • Kuyruk durumunda temel aktörler müşteri ve hizmet verendir. Müşteriler bir kaynaktan türetilir. Müşteri hizmet yerine vardığında hemen hizmet görür veya tesis meşgulse kuyrukta bekler. Bir hizmet yeri hizmetini tamamlandığında eğer varsa bekleyen müşteriyi kendiliğinden kuyruktan çeker. Kuyruk boşsa hizmet yeri yeni müşteri gelinceye kadar boş kalır.
Örnek • Aşağıdaki durumların her biri için müşteriyi ve hizmet vereni tanımlayın. • Havaalanına inan uçaklar • Taksi durağı • Bir atölyede depodan çıkan kesme takımları • Postanede işlenen mektuplar • Üniversitede kayıt yenileme • Mahkemedeki davalar • Süpermarketteki kasalar • Otopark hizmetleri
Temel kavramlar-1 • Bir kuyruk teorisinin temel kavramları şunlardır: • Kuyruk: Servis için beklemekte olan müşteri sayısı. • Servis kanalı: müşterilere hizmet sunan sistem veya süreçtir. • Geliş debisi: birim zamanda hizmet görmek için gelen müşteri sayısıdır. • Servis debisi: birim zamandaki müşteriler olup servisi gerçekleştiren servis kanalındaki müşteri sayısıdır.
Temel kavramlar-2 • Kuyruk disiplini: Müşterilerin hizmet için seçilme düzenine kuyruk disiplini denir. Servis disiplininde kullanılan standart kural, ilk gelen ilk hizmet görür (FCFS-FirstComeFirst Service) kuralıdır. Diğerleri; Son gelen ilk hizmet görür (LCFS) ve Rastgele sırada hizmet verme (SIRO) disiplinleridir. • Servis olanaklarını yapısı: servis olanaklarını düzenlenmesi şu şekillerde gerçekleşebilir: tek kanallı ve çok kanallı
Kuyruk modellerinin temsilinde kendall –lee-tahanotasyonu-1 • D. G. Kendall 1953 yılında çok kaynaklı kuyruk modelleri için gelişlerin dağılımı, servis süresi dağılımı ve sistemde bulunan paralel servis sayısını tanımlamak için bir notasyon önermiştir. Bu notasyona A. Lee 1966 yılında servis disiplini ve sistemde bulunan maksimum birey sayısını 4. ve 5. karakterler olarak eklemiş, sonrasında ise Hamdy A. Taha 1968’de 6. karakter olarak geliş kaynağını eklemiştir.
Kendall-lee-tahanotasyonu-2 (a/b/c):(d/e/f) a: varış debisi dağılımı b:servis debisi dağılımı c: sistemde bulunan kanal sayısı d: geliş kaynağı büyüklüğü e:sistemdeki birim sayısı f: kuyruk disiplini
Kendall-lee-tahanotasyonu-3 a ve b sembollerinin alabileceği değerler: D: deterministik gelişler arası süre veya hizmet süresi. M: Poisson geliş veya ayrılış dağılımları (gelişler arası sürenin veya servis süresinin üstel olmasıyla eş anlamlıdır.) Ek: Erlang veya Gamma gelişler arası hizmet dağılımı. GI: gelişler arası sürenin bağımsız dağılımı. G: hizmet süresinin genel dağılımı.
Kendall-lee-tahanotasyonu-4 • d sembolünün alabileceği değerler: FCFS: İlk gelen ilk hizmet görür (FirstComeFirst Service). LCFS: Son gelen ilk hizmet görür (LastComeFirst Service). SIRO: Tesadüfi servis (Service InRandomOrder). GD: Genel servis disiplini (General Service Dicipline). • c sembolü paralel hizmet kanalı sayısını belirten herhangi bir pozitif tamsayıdır. • e ve f sembolleri sonlu ve sonsuz kuyruklarda sırasıyla sistemde ve geliş kaynağında bulunan birey sayısını gösterir.
Örnek (M/M/3):(FCFS/∞/∞) Sonsuz geliş kaynağı Poisson Poisson ayrılış Sistemdeki müşteri sayısı Kanal sayısı İlk gelen ilk hizmet görür
kuyruk modelinde geliş ve servis yapisiniaçiklamadakullanilandağilimlar-1 • Kuyruk modellerinde müşterilerin kuyruğa geliş süreçleri, geliş oranları ve gelişler arasındaki süre bulunarak açıklanır. • Geliş oranı (λ), zaman birimi başına müşterilerin kuyruk sistemine geliş sayısıdır. Gelişler arası süre ise müşterilerin gelişlerine göre aradaki geçen süredir. • Servis oranı (μ), zaman birimi başına servis sayısıdır. Servis süresi, bir servisi gerçekleştirmek için gerekli olan zamandır. Örnek: Saatte 30 sayfa yazan bir sekreter, bir sayfa yazıyı ortalama 2 dakikada yazabilir. Yani ortalama servis süresi 1/μ = 1/30 saat = 60/30 = 2 dakika/sayfa
kuyruk modelinde geliş ve servis yapisiniaçiklamadakullanilandağilimlar-2 • Müşterilerin kuyruk sistemine gelişlerinin genellikle tesadüfi olduğu kabul edilir ve gelişler ile gelişler arasındaki süreyi açıklamada olasılık dağılımlarından poisson ve üstel dağılım kullanılır.
Kuyruk modelini uygulama üstünlükleri-1 • Kuyruk modeli yöneticiye aşağıdaki önemli sonuçları verir. • Sistemdeki müşteri sayılarının olasılık dağılımı: bu olasılık dağılımı ele alınacak diğer sonuçların elde edilmesinde temel olacaktır. • Sistemdeki ortalama müşteri sayısı (L): Servis görmekte olan ve kuyrukta bekleyen müşteri sayısıdır. Bu sayı sistemde müşterinin harcadığı ortalama zamanı bulmada yardımcı olur. • Sistemde müşterinin harcadığı ortama süre (W): Müşterinin kuyruk sisteminde harcadığı yani kuyruktaki bekleme süresiyle serviste harcadığı süre toplamıdır.
Kuyruk modelini uygulama üstünlükleri-2 • Ortalama kuyruk uzunluğu (Lq): Servis görmek üzere beklemekte olan müşteri sayısıdır. • Müşterilerin kuyrukta ortalama bekleme süresi (Wq): Müşterinin kuyrukta bekleyerek harcadığı süredir. • Sistem kullanım faktörü (ρ): Sistemin meşgul olma olasılığının yani bir anlamda, hizmet veren kişi veya sistemin müşteriye harcadığı zaman oranıdır.
Tek servisli kuyruk modelleri-1 • Üstel servisli – sınırsız kuyruk modeli Tek bir servis kanalı olan, yani zamanın herhangi bir anında hizmet verecek kuyruk modelidir. İlk önce sistemi müşterilerin geliş süreçlerinin Poisson dağılımı, servis süreçlerinin ise üstel dağılım özelliği gösterdiği varsayılacağı gibi kuyrukta bekleyenlerden ilk gelen ilk hizmet görecektir. Ayrıca ortalama servis oranı, ortalama müşterilerin geliş oranından büyüktür. Bu durumda tüm gelen müşterilerine servis verme olanağı vardır. Eğer müşterilerin geliş oranı, ortalama servis verme olanağından büyük olursa kuyruk belirsizce büyüyecektir. Yani kuyruk yapısı sonsuz olma özelliği gösterecektir.
Tek servisli kuyruk modelleri-2 • Pn, verilen bir zamanda sistemde n sayıda müşteri bulunma olasılığıdır. • Po, sistemde müşteri olmama olasılığını gösterir. • Gelişlerin Poisson, servilerin üstel ve kuyruk uzunluğunda bir sınırlandırmaya gidilmediğinde aşağıdaki formüller uygulanabilir. • Sistemde n birim müşteri bulunma olasılığı Pn = (1 – ρ) ρn
Tek servisli kuyruk modelleri-3 • Servis verenin aylak kalma süresinin oranı • Sistemde n veya daha fazla birimin bulunma olasılığı • Sistemdeki ortalama müşteri sayısı (L)
Tek servisli kuyruk modelleri-4 • Ortalama (beklenen) kuyruktaki müşteri sayısı veya ortalama kuyruk uzunluğu • Servis, ilk gelen ilk hizmet görür kuralına göre verilirse, yeni gelen müşterinin beklenen bekleme süresi yani müşterinin kuyrukta harcadığı ortalama zamanı • Kuyruk sisteminde müşterilerin harcadığı ortalama zaman • Bu formül aynı zamanda yeni gelen müşterinin servis almak için harcadığı toplam süredir.
Tek servisli kuyruk modelleri-5 Sonlu Geliş Kaynaklı Sonsuz Tek Kanallı Kuyruk Modeli • Bazı kuyruk problemlerinde hizmet için gelen müşterilerin sayısı kısıtlanır. Şöyle ki, belirli bir zamanda ancak N sayıda müşteri hizmet için kuyruk sistemine gelir ve kuyruk uzunluğu N – 1 den büyük olamaz. Bir başka değişle bir usta başı fabrikada ancak N sayıdaki makinenin onarımından sorumlu olur. Onarım için gelen makinelerin kuyruktaki sayısı N – 1 dir. Bir anlamda sınırlı bir kuyruk vardır. Kuyruk sistemindeki en fazla müşteri sayısını N, müşteri gelişlerinin Poisson dağılımına göre ve kuyruğun sonlu olduğunu kabul edelim. Ayrıca müşterilere servis verme süresi üstel dağılımlı ise (durağan) denge durumu için aşağıdaki denklemleri yazabiliriz.
