Arthur Cayley

1. Arthur Cayley “Kao i za sve drugo, tako i za matematičku teoriju vrijedi: ljepota se može spoznati, ali ne objasniti.”

2. Arthur Cayley • Rođen 16.8.1821. u Engleskoj • 1838. upisao studij matematike • Bio je pravnik • Objavio 967 matematičkih radova • Bio je najmlađi profesor u Cambridgeu u 19. st.

3. Arthur Cayley • Pokret za sveučilišno obrazovanje žena • Umro je za vrijeme uređivanja svojih sabranih dijela 26.1.1895. • Dao svoje doprinose u različitim granama matematike

4. Cayleyjev rad • Uspostavio teoriju grafova kao samostalnu matematičku disciplinu • Primjene u kemiji • Bavio se posebnom vrstom grafova – stablima

5. Primjer • Crteži kemijskih molekula Molekulu prikazujemo grafom na sljedeći način: Molekula vode H2O. H — O — H • Imamo 3 vrha povezana s 2 brida • 2 vrha predstavljaju atome vodika, a jedan vrh atom kisika

6. U geometriji... • Cayley je razvio geometriju u n dimenzija • Njegov rad primjenjen je na proučavanje kontinuuma prostor – vrijeme • Predložio da se euklidska i neeuklidske geometrije promatraju kao posebni tipovi geometrija

7. Veliki doprinos • Osim u teoriji grafova i geometriji, imao je veliki značaj u teoriji grupa • Postavio je temelje modernoj teoriji matrica

8. Veliki doprinos • Po Cayleyu je nazvano mnogo matematičkih pojmova, posebno u algebri • Neki od njih su: - Cayleyjev teorem - Cayleyjeve tablice - Cayley – Hamiltonov teorem

9. Cayleyjev teorem • Svaka konačna grupa izomorfna je nekoj grupi permutacija. • Jednostavnije, konačna grupa je neki konačan skup na kojem je definirana neka operacija. • Ta operacija mora imati svojstva: - zatvorenost - asocijativnost - ima neutralni element - svaki element ima inverzni

10. Primjer • Skup {1,2,...,12} (sati) uz operaciju “zbrajanje na satu”. • Vidimo da operacija “zbrajanje na satu” ima sva potrebna svojstva:tu je 1+2=3, ali također 5+10=3neutralni element je 1210+2=12 – inverzni element od 10 je 2

11. Cayleyjeve tablice • Izomorfnost dviju grupa znači da se te grupe razlikuju samo po karakteru ili imenima operacija i elemenata. • Kada njihova pravila upišemo u “tablicu zbrajanja”, izgedat će jednako • Pogledajmo to na primjeru

12. Primjer • Grupa {0,1} s operacijom binarnog zbrajanja ima tablicu:

13. Grupa s elementima ∆ i  i s operacijom  takva je njezina tablica ovakva:

14. Vidimo da se te tablice razlikuju samo po oznakama, ali ne i po smislu, tj. one predstavljaju izomorfne grupe. • Cayleyjevi rezultati su bili previše ispred vremena pa u tom trenutku nisu imali bitnog utjecaja. Kasnije su bitno unaprijedili teoriju grupa.

15. Matrice • Cayley je postavio temelje modernoj teoriji matrica • Njegov rad poslužio je kao temelj kvantne mehanike • Prvi je dao apstraktnu definiciju matrice • Definirao je operacije s matricama • Prvi uveo množenje matrica

16. Cayley – Hamiltonov teorem • Svaka kvadratna matrica zadovoljava svoju kvadratnu jednadžbu. • Karakteristična jednadžba matrice je jednadžba det(A-xI)=0, gdje je I jedinična matrica s istim brojem redaka i stupaca kao A, a x nepoznanica.

17. Primjer • Za A= je A-xI= pa je Det(A-xI) = x2-2x+1, tj. karakteristična jednadžba je x2-2x+1 = 0.

18. Cayley-Hamiltonov teorem kaže da A možemo uvrstiti na mjesto x te da, ako slobodni član shvatimo kao slobodni član puta jedinična matrica, dobit ćemoistinitu matričnu jednakost: A2 − 2A + 1· I = 0

19. Problem četiri boje Problem: Može li se bilo koja karta obojiti četirima bojama tako da susjedne države budu različito obojene?

20. Problem četiri boje • Cayley je jedan od mnogih matematičara koji se bavio ovim, naizgled jednostavnim problemom • nije uspio dokazati teorem, ali došao je do nekih vrlo važnih zaključaka

21. 1. zaključak Ako je proizvoljna karta, koja se sastoji od n država, većobojena s četiri boje i ako toj karti dodamo jednu državu, tada se i nova karta od n+1 država može obojiti četirima bojama.

22. 2. zaključak Cayley je zaključio kako je dovoljno promatrati samo karte kod kojih se u svakom čvoru dodiruju točno tri države, tzv. kubne karte. Naime, ako se u nekom čvoru susreće više od triju država, tada se na taj čvor postavi mala kružna “zakrpa”, oboji se tako dobivena kubna karta, a zatim se zakrpa jednostavno ukloni.

23. 2. zaključak Dodavanje i izbacivanje zakrpe:

24. 3. zaključak Ako je Teorem o četiri boje istinit, tada se bojenje karata uvijek može izvesti na takav način da se sve države koje leže uz rub karte mogu obojiti najviše trima bojama.

25. Rješenje problema: • Cayley je pokušao riješiti ovaj problem na razne načine: • Metodom matematičke indukcije • Metodom kontradikcije

26. Rješenje metodom matematičke indukcije Problem se javio zbog toga što postoji bezbroj načina na koje se nekoj karti može dodati još jedna država. Kako odrediti kojom bojom treba obojiti tu dodanu državu? U nekim situacijama je to lako, no sigurno ima slučajeva kad to nije jednostavno jer je potrebno promijeniti boju cijelom nizu prethodno obojenih država.

27. Rješenje metodom kontadikcije Zamislimo da je Teorem lažan i da postoje neke karte koje se ne mogu obojiti samo četirima bojama. Među svim takvim uljezima za koje je potrebno 5 ili više boja, izaberimo onu s najmanjim brojem država. Nazovimo je najmanjim uljezom. Dokazati Teorem o 4 boje, sada znači dokazati da najmanji uljezi ne postoje.

28. Rješenje metodom kontadikcije • Metoda je zakazala već kod promatranja država s 4, 5 ili više bridova (Cayley ju je pokazao za 3 brida).

29. Teorem o šest boja Iako nije uspio dokazati tvrdnju, njegova ideja se pokazala korisnom: njome se mogla dokazati slabija tvrdnja: • Svaka karta može se obojiti sa šest boja tako da susjedne države budu obojene različito.

30. Zaključak • Cayley je bio vrlo svestran matematičar • bio je najmlađi profesor na Cambridgeu u 19. stoljeću • autor je 967 matematičkih radova iz raznih područja • bavio se geometrijom, teorijom grafova, teorijom grupa, matricama i drugim matematičkim problemima • dao je veliki doprinos u raznim granama matematike, posebno u algebri

31. Literatura • S. Gračan: “Četiri su dovoljne!”, Matka, broj 41 / godina 9. / 2007. • Franka Miriam Brückler: Povijest matematike II

32. Hvala na pažnji! Katica Babić Anita Jukić Manuela Pavić