Probabilitas dan Statistika BAB 1 Peluang

ProbabilitasdanStatistikaBAB 1 Peluang

Pembahasan • Ruang sampel • Kejadian • Menghitung titik sampel • Peluang suatu kejadian • Aturan penjumlahan • Peluang bersyarat • Aturan perkalian • Aturan Bayes

Ruangsampel • Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan lambang T. • Contoh: Ruang sampel sebuah dadu adalah: T = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Kejadian • Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. • Contoh: Kejadian A adalah hasil lemparan suatu dadu yang dapat dibagi tiga. Maka hasilnya adalah A = { 3, 6 }

Komplemen • Komplemen suatu kejadian A terhadap T ialah himpunan semua unsur T yang tidak termasuk A. • Komplemen A dinyatakan dengan lambang A’. • Contoh : Komplemen dari A = { 3, 6 } pada lemparan sebuah dadu adalah A’ = { 1, 2, 4, 5 }

Irisan • Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A ∩ B, ialah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B. • Contoh: Pada lemparan sebuah dadu, misalkan A kejadian bahwa bilangan genap yang muncul dan B kejadian bahwa bilangan lebih besar dari 3 yang muncul. Maka A = {2,4,6} dan B = {4,5,6} sehinggaA ∩ B = {4,6}

Gabungan • Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A U B, ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya. • Contoh: A = { a,b,c } dan B = { b,c,d,e} maka A U B = { a,b,c,d,e }

Menghitung Titik sampel • Bilasuatuoperasidapatdilakukandengann1cara, danbilauntuktiapcarainioperasikeduadapatdikerjakandengann2cara, danseterusnya, makaderetankoperasidapatdikerjakanbersama-samadengann1n2…nkcara

Permutasi • Suatu permutasi adalah urutan yang berbeda-beda yang dapat dibentuk dari sekumpulan benda. • Contoh: Dari tiga huruf a, b, c, permutasi yang dapat dibuat adalah abc, acb, bac, bca, cab, dan cba. • Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n! • Seperti contoh diatas, permutasi tiga huruf adalah 3! = (3)(2)(1) = 6

Permutasi… • Banyaknyapermutasinbendaberlainanbiladiambilrsekaligusadalah • Contoh: Dari 20 lotere, duadiambiluntukhadiahpertamadankedua. Banyaktitiksampel = = (20)(19) = 380

Permutasi… • Banyaknyapermutasin bendaberlainan yang disusunmelingkaradalah ( n - 1 )! • Banyaknyapermutasi yang berlainandarinbendabiladiantaranyaberjenispertama, berjeniskedua, …., berjeniskek adalah • Contoh: Adaberapacaramenyusun 9 lampupohon Natal bila 3 diantaranyaberwarnamerah, 4 kuning, dan 2 biru? Banyaknyasusunan yang berlainanadalah = 1260 cara

Kombinasi • Pemilihan r benda dari sejumlah n tanpa memperdulikan urutannya disebut kombinasi. • Contoh: Jika ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan, banyaknya cara memilih kelompok yang terdiri 2 kimiawan dan 1 fisikawan adalah:

Peluang Suatu Kejadian • Peluangsuatukejadian A adalahjumlahbobotsemuatitiksampel yang termasuk A. • Jadi 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ø) = 0, dan P(T) = 1 • Contoh: Sebuahmatauangdilempardua kali. Berapapeluang paling sedikitmunculmukasekali? Ruangsampelnyaadalah T = { MM, MB, BM, BB } makatiaptitiksampelmemilikibobot = ¼ Bila A menyatakankejadianbahwa paling sedikitsatumukamuncul, maka A = { MM, MB, BM } P(A)= ¼ + ¼ + ¼ = 3/4 Jadipeluangnya paling sedikitmunculmukasekaliadalah ¾

Aturan Penjumlahan • Bila A dan B duakejadiansembarang, maka P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) • Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka P(A U B) = P(A) + P(B) • Untuktigakejadian A, B, dan C P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Contoh • Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus biologi 4/9. Bila peluangnya lulus kedua mata kuliah ¼, berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata kuliah? • Jawab: Bila M menyatakan kejadian “lulus matematika” dan B “lulus biologi” maka P(M U B) = P(M) + P(B) – P(M ∩B) = 2/3 + 4/9 – ¼ = 31/36

Peluang Bersyarat • Peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(B|A). • P(B|A) = bila P(A) >0

Contoh • Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu P(B) = 0,83; peluang sampai tepat waktu P(S) = 0,82 dan peluang berangkat dan sampai tepat waktu P(B ∩ S) = 0,78. • Peluang pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu P(S|B)= = = 0,94

Kejadian Bebas • P(A|B) = P(A) • Terjadinya B sama sekali tidak mempengaruhi terjadinya A. • Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P(B|A) = P(B) dan P(A|B) = P(A) jika tidak demikian, A dan B tak bebas.

Contoh Kejadian Bebas • Pengambilan dua kartu yang diambil berturutan dari sekotak kartu dengan pengembalian. A = kartu pertama yang terambil as B = kartu kedua sebuah skop Karena kartu pertama dikembalikan, ruang sampel untuk kedua pengambilan terdiri atas 52 kartu. • P(B|A) = 13/52 = ¼ • P(B) = 13/52 = ¼ Jadi, P(B|A) = P(B) Kejadian A dan B dikatakan bebas.

Aturan Perkalian • Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka P(A∩B) = P(A) P(B|A) • Jadi peluang A dan B terjadi serentak sama dengan peluang A terjadi dikalikan dengan peluang terjadinya B bila A terjadi. • Karena kejadian A∩B dan B∩A ekivalen maka tidaklah menjadi soal kejadian mana yang disebut A dan yang disebut B.

Contoh • Jika kita memiliki kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya cacat. Bila 2 sekering dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak), berapakah peluang kedua sekering itu cacat? • Jawab A = kejadian bahwa sekering pertama cacat B = kejadian bahwa yang kedua cacat A∩B = kejadian bahwa A terjadi dan kemudian B terjadi setelah A terjadi. P(A) = 5/20 = ¼ P(B|A) = 4/19 P(A∩B) = (1/4) (4/19) = 1/19

Aturan Perkalian Khusus • Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P(A∩B) = P(A) P(B) • Contoh : Suatu kota memiliki 1 mobil pemadam kebakaran dan 1 ambulans. Peluang mobil pemadam kebakaran siap waktu diperlukan 0,98, peluang ambulans siap waktu dipanggil 0,92. Peluang keduanya siap adalah P(A∩B) = P(A) P(B) = (0,98) (0,92) = 0,9016

Aturan Bayes A merupakan 2 kejadian yang terpisah E∩A danE’∩A dapatditulis A = (E∩A) U (E’∩A) Sehingga P(A) = P [(E∩A) U (E’∩A)] = P (E∩A) + P (E’∩A) = P(E) P(A\E) + P(E’) P(A\E’) E E’ A E ∩ A E’ ∩ A

Aturan Bayes • Misalkankejadianmerupakansuatusekatan (partisi) dariruangsampel T dengan P(Bi) ≠ 0untuki = 1,2,…,k, Makauntuksetiapkejadian A, anggota T kk P(A) = ∑ P(Bi∩A) = ∑ P(Bi) P(A\Bi) I = 1 I = 1

MisalkankejadianB1, B2, … Bkmerupakansuatusekatan (partisi) dariruangsampel T denganP(Bi) ≠ 0 untuki = 1,2,…,k, Misalkan A suatukejadiansembarangdalam T dengan maka untuk r = 1,2,….,k

Contoh • Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Ali terpilih 0,3, peluang Badu terpilih 0,5, sedangkan peluang Cokro 0,2. Kalau Ali terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Bila Badu atau Cokro yang terpilih maka peluang kenaikan iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4. Bila seseorang merencanakan masuk jadi anggota koperasi tersebut tapi menundanya beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, berapakah peluang Cokro terpilih jadi ketua?

Jawab • Kejadian: A : Orang yang terpilih menaikkan iuran : Ali yang terpilih : Badu yang terpilih : Cokro yang terpilih

Probabilitas dan Statistika BAB 1 Peluang