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運輸問題

運輸問題. 運輸問題 是特殊結構的線性規劃問題。但一般並不採用線性規劃單形法來求解，而有其他更有效率的演算法。 若有數個供給點以及數個需求點，而欲 分配 各供給點之 供給量 以 滿足 各需求點的 需求量 ，而且使 運輸總成本最小 ，即是所謂的「運輸問題」. 運輸模式之建立. 標準運輸模式乃是指從不同來源所加起來的總供應量，恰好等於各目的地之需求量的總和。 設模式有 m 個來源 S 1 , S 2 ,…, S m ，其供應量 分別為 a 1 , a 2 ,…, a m ，

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運輸問題

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Presentation Transcript

  1. 運輸問題 • 運輸問題是特殊結構的線性規劃問題。但一般並不採用線性規劃單形法來求解，而有其他更有效率的演算法。 • 若有數個供給點以及數個需求點，而欲分配各供給點之供給量以滿足各需求點的需求量，而且使運輸總成本最小，即是所謂的「運輸問題」

  2. 運輸模式之建立 • 標準運輸模式乃是指從不同來源所加起來的總供應量，恰好等於各目的地之需求量的總和。 • 設模式有 m 個來源 S1 , S2 ,…, Sm，其供應量 分別為 a1 , a2 ,…, am， • 並有 n 個目的地 D1 , D2 ,…, Dn，其需求量分別為b1 , b2 ,…, bn。 • 令 Cij表示從來源 Si 運送一單位商品至目的地 Dj所需之 運輸成本， • 而 Xij表示從來源 Si運送到目的地 Dj之商品數量 • 在標準模式下，可得 a1 + a2 +…+ am= b1 + b2 +…+ bn

  3. 標準運輸問題 (供需平衡) 有 m+n1 個為基本變數方格

  4. 標準運輸模式 若ai、bj均為整數，必有Xij均為整數最佳解

  5. 運輸問題演算法 • 第一個步驟是先求出一個基本可行的起始解。 (基本可行解，指的是變數的取值均滿足所有的限制條件，且基本變數的個數恰為m+n-1。) • 第二個步驟是判斷目前的基本可行解是否為最佳解。 • 第三個步驟則是更換基本變數來降低總成本，再回到第二個步驟。

  6. 步驟一：求起始之基本可行解 方法一: 西北角法 (此法乃是求起始解之最簡易方式) • 做法是由矩陣的西北角變數 x11開始分配數量 • 取供應量S1與需求量D1的最小值為x11的值 • 刪去滿足供應量的列或需求量的行 • 再由剩餘的矩陣重複上述步驟，直到所有數量 均配置完成，便得到一個可行的起始解。

  7. 一運輸問題如下，請用西北角法求起始解 18 10 X X X 9 14 X X X 5 16 總成本Z=90+120+63+112+65+96=546

  8. 解答 總成本Z=60+165+30+140+125=520

  9. 練習1 請以西北角法求出運輸問題的起始解及目標值。

  10. 練習1解答 請以西北角法求出運輸問題的起始解及目標值。 總成本Z=105+24+30+52+32+115=358

  11. 方法二: 最小成本法 • 由於西北角法並未考慮到單位成本，雖然較易找出起始解，但接續之計算可能相對較繁多。 • 而最小成本法之產生乃是避免此情況發生，其做法與西北角法類似，只是在變數的選取上，優先選擇變數方格中之單位運輸成本最小者來進行數量之配置。

  12. 用最小成本法求起始解 12 16 X X X 19 4 X 6 X X 15 總成本Z=60+64+133+32+36+195=520

  13. 解答 總成本Z=20+75+120+35+50+180=480

  14. 練習2 請以最小成本法求起始解及目標值。

  15. 練習2 解答 請以最小成本法求起始解及目標值。 總成本Z=105+30+51+28+136+30=380

  16. 方法三: 佛格法 • 佛格法又稱差額法 • 佛格法是先算出每列、每行未刪去方格中最小的兩單位成本的差額 • 然後選出具最大差額的列(或行)，以該列(或行)的最小成本方格為基變數方格，分配其量(當最大差額不只一個，可任取其一)。 • 刪去該列(或行)。反覆進行

  17. 用佛格法求起始解 列差額 X X 12 1 6 16 1 2 X 19 4 X X X 18 3 0 7 行差額 1 5 3 2 2 總成本Z=132+64+133+32+108+39=508

  18. 練習

  19. 解答 總成本Z=50+75+120+35+75+120=475

  20. 練習3 請以佛格法求出運輸問題的起始解及目標值。

  21. 練習3 解答 請以佛格法求起始解及目標值。 總成本Z=30+45+68+45+133+40=361

  22. 步驟二:判斷目前的基本可行解是否為最佳解 • 以目前為基變數的成本係數cij，求出滿足 ui+vj=cij之任一組ui、vj值 • 求出所有非基變數方格的Qij=cijui vj (Qij值表示非基變數Xij迭代為基變數對成本的邊際貢獻值) • 若所有Qij0，表示無法使成本再降低，目前的基本解已是最佳解

  23. 判斷目前的基本可行解是否為最佳解 v -7 -1 0 -7 u 11 12 16 2 1 8 19 4 0 9 13 18 3 2 0 所有Qij0，目前已是最佳解 總成本Z=132+64+133+32+108+39=508

  24. 判斷目前的基本可行解是否為最佳解 v 6 12 13 5 u -1 16 12 1 -1 0 -5 19 4 12 10 0 6 15 2 1 並非所有Qij0，目前不是最佳解

  25. 請判斷練習1~3是否為最佳解？ 練習1 v 5 1 3 0 0 6 2 4 u 1 2 5 -3 -2 並非所有Qij0，目前不是最佳解

  26. 練習2 請判斷練習1~3是否為最佳解？ 5 2 6 3 0 1 1 3 0 1 -2 2 0 並非所有Qij0，目前不是最佳解

  27. 練習3 請判斷練習1~3是否為最佳解？ 5 3 4 3 0 3 3 0 1 -1 2 -1 2 並非所有Qij0，目前不是最佳解

  28. 步驟三:迭代基本變數(踏石法) • 以Qij最負值之非基變數Xij迭代為基變數 • 求出其閉回路 由非基變數方格出發(+)，踩著基變數方格(階石)，並以階石為轉角點，沿水平(-)→鉛直(+)→水平(-) →鉛直(-)…的線段前進，回到原來的非基變數方格 • 取標記為(-)的最小基變數值為調整值 • 進行基本變數迭代得到一組新而更佳的基本解 • 回到步驟 二

  29. 迭代基本變數 v 6 12 13 5 u -1 16 12 1 -1 + 12 0 - -5 19 4 12 10 0 6 15 2 + 12 - 1 12 總成本Z=132+64+133+32+108+39=508

  30. 請以踏石法求出最佳解

  31. 解答 3 4 10 11 0 +5 -5 1 -1 -4 12 10 1 0 2 +5 -5 1

  32. 解答 請以踏石法求出最佳解 1 -1 12 10 0 2 1

  33. 解答 請以踏石法求出最佳解 -7 -1 0 -7 10 7 12 所有Qij0，目前已是最佳解 總成本Z=50+75+120+35+75+120=475

  34. 練習4 請以踏石法求出最佳解 5 3 4 3 0 + 15 - 15 3 3 0 1 -1 2 + 15 - -1 2 15

  35. 練習4 請以踏石法求出最佳解 5 2 4 3 0 1 3 3 0 1 0 2 2 所有Qij0，目前已是最佳解 總成本Z=105+68+45+28+60+40=346

  36. 特殊運輸問題 運輸問題的各種特殊情形之處理 • 退化解：指有基變數為0，影響求解效率 • 多重最佳解：Qij0單一最佳解； Qij0多重最佳解 • 限制運送：令該cij = 

  37. 最大化問題 • 當運輸問題中的單位成本 cij換成單位利潤 pij時，就成了最大化問題了。 • 求解最大化問題只要先將 pij 改成pij • 即可按一般運輸單體法加以求解。

  38. 解答 因目標為最大化，先將各單位利潤 pij乘上負號

  39. 不平衡運輸問題 • 當總供給量與總需求量不相等時，稱為不平衡運輸問題 • 求解時，總供給量大於總需求量  ，虛設一個需求量  的終點；總需求量大於總供給量  ，虛設一個供給量  的起點 • 多虛設出的方格單位運輸成本一般為0。 • 以一般運輸單體法加以求解即可 • 虛設起點所供給的量，表供應不足；虛設終點的量，表供應過剩

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