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第一单元细胞 §1.1 空间几何体的结构和视图 §1.2 空间几何体的表面积与体积返回目录

§1.1 空间几何体的结构和视图 1.棱柱的结构特征 (1)棱柱的主要结构特征：有两个,其余各面都是,并且每相邻两个的公共边.棱柱的两个互相平行的面叫棱柱的,其余各面叫棱柱的,两侧面的公共边叫做棱柱的.如果棱柱的一个底面水平放置，则铅垂线与两底面的交点之间的,叫做棱柱的. (2)棱柱的分类： 按侧棱与底面的关系可分为: 、直棱柱； 按底面多边形边数可分为:、四棱柱、等； 底面是正多边形的直棱柱又称. 面互相平行四边形四边形都互相平行侧棱底面侧面线段或距离高斜棱柱五棱柱三棱柱正棱柱

2.棱锥的结构特征 (1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有,这些面围成的几何体叫做棱锥. (2)正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是,并且顶点在底面内的射影是,这样的棱锥叫做正棱锥. (3)正棱锥的性质： ①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的. ②棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个基础直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. 3.圆柱、圆锥、圆台的特征 分别以、、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为,其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做、、圆台. 一个公共顶点的三角形正多边形底面中心斜高矩形的一边直角三角形的一直角边旋转轴圆柱圆锥

其中旋转轴叫做所围成的几何体的;在轴上的这条边叫做这个几何体的其中旋转轴叫做所围成的几何体的;在轴上的这条边叫做这个几何体的 ;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面; 旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线. 4.棱台、圆台的特征 用平行于底面的平面去截、,截面与底面间的部分叫、圆台.5.球 (1)一个半圆围绕着它的所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面, 所围成的几何体叫做球. 形成球的半圆的叫做球心；连结球面上一点和球心的线段叫球的；连结球面上两点且通过叫球的直径.  (2)球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的，被经过球心的平面截得的圆叫做球的. 6.几何体的三视图是指:、、 .又称为:、、. 轴高不垂直于轴的边棱锥棱台圆锥直径球面圆心球心的线段半径小圆大圆正视图俯视图侧视图主视图俯视图左视图

7.三视图的画法要求 (1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成,尺寸线用细实线标出；d表示直径，R表示半径；单位不注明，则按mm计. (2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的、、观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：“正俯一样长、俯侧一样宽、正侧一样高”. (3)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则. 8.平面图形的直观图画法 在斜二测画法中,平行于x轴的线段长度不变;平行于y轴的线段长度. 9.平行投影的投影线;中心投影的投影线. 虚线正前方正上方正左方减半相交于一点互相平行 1.D 2.B 3.C 4.B 5.C

下列结论正确的是 （） A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【思维精析】利用有关几何体的概念判断给出命题的真假. 解析A错误，如右图，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥. B错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形, 但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.

C错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.  D正确. 答案( ) 探究拓展解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，要学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可. D

下列命题中不正确的是 （） A. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面和底面之间的部分是圆台 B.以直角梯形的一腰为旋转轴，另一腰为母线的旋转面是圆台的侧面 C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D.圆台的母线延长后与轴交于同一点 B 正四棱台AC1的高是17 cm,两底面的边长分别是4 cm和16 cm,求这个棱台的侧棱长和斜高. 【思维精析】求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形，然后构造直角三角形，使问题得到解决. 解如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O， B1C1和BC的中点分别是E1和E，连结O1O、E1E、O1B1、 OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形. ∵A1B1=4cm，AB=16cm，∴O1E1=2cm，OE=8cm， O1B1=  cm,OB=  cm,

∴B1B2=O1O2+(OB-O1B1) 2=361 cm2，E1E2=O1O2+(OE-O1E1)2=325 cm2, ∴B1B=19 cm,E1E= cm. 答这个棱台的侧棱长为19 cm.斜高为  cm. 探究拓展在正棱台中，有三个重要的直角梯形——两底面中心连线，相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线，侧棱和两底面相应外接圆的半径组成一个直角梯形；斜高、侧棱和上、下两底面的边长的一半组成一个直角梯形. 正棱台的计算问题，实际上就是解这几个直角梯形的问题. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是( )

解析 C 答案( ) 【思维精析】先根据题意画出直观图，然后根据直观图△A′B′C′的边长及夹角求解.

解析 D 答案( )

探究拓展求直观图面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可.探究拓展求直观图面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可. 将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍. C 解析

下列图形中的图(b)是根据图(a)中的实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？若不正确请改正并画出左视图.下列图形中的图(b)是根据图(a)中的实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？若不正确请改正并画出左视图.

解主视图和俯视图都不正确. 主视图的上面的矩形中缺少中间小圆柱形成的轮廓线（用虚线表示）；左视图的轮廓是两个矩形叠放在一起，上面的矩形中有2条不可视轮廓线.下面的矩形中有一条可视轮廓线（用实线表示），该几何体的三视图如图所示：

探究拓展简单几何体的三视图的画法应从以下几个方面加以把握：探究拓展简单几何体的三视图的画法应从以下几个方面加以把握： (1)搞清主视、左视、俯视的方向，同一物体由于放置的位置不同，所画的三视图可能不同. (2)看清简单组合体是由哪几个基本元素组成. (3)画三视图时要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，还要注意几何体中与投影垂直或平行的线段及面的位置关系. 如图（1）所示的几何体的三视图（图2）错误的是（不考虑尺寸）. 解正确的三视图如下图，故错误的是左视图和俯视图.

1.棱柱主要是理解掌握基本概念和性质，并能灵活应用. 2.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.  3.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面. 4.台体可以看成是由锥体截得的.但一定强调截面与底面平行. 5.掌握三视图的概念及画法 在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线.在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线.并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”. 6.掌握直观图的概念及斜二测画法.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” 7.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.提升空间想象能力.

(2007·山东理,3)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(2007·山东理,3)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是（） D A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥的两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥的两个视图相同. 返回

§1.2 空间几何体的表面积与体积 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是、、 ;它们的表面积等于. 3.柱体的体积; 锥体的体积V锥= ; 台体的体积V台= 4.球的表面积；体积. 各面面积之和矩形扇形扇环形侧面积与底面面积之和 V柱=Sh S=4πR2 3.B 5. 1.A 2.A 4.D

【思维精析】本题可将长方体表面展开，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答.【思维精析】本题可将长方体表面展开，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答. 解

探究拓展 求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型.这类题目的特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上.为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决.其基本步骤是：展开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形，找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长.

解析

【思维精析】 三棱柱的侧面积等于各侧面面积之和. 解

(2)O是AC中点, 探究拓展

解析 - - - 答案( ) C 探究拓展三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积关系，在立体几何中，割补法是重要的方法.

如图所示，三棱锥D—ABC一条侧棱AD=8 cm， 底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17 cm，求三棱锥D—ABC的体积. 解

有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 【思维精析】作出截面图，分别求出三个球的半径. 解

探究拓展球的组合体问题，关键是正确地作出截面图，用圆的知识把立体问题化为平面问题解决.探究拓展球的组合体问题，关键是正确地作出截面图，用圆的知识把立体问题化为平面问题解决.

1.对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大. 2.要注意将空间问题转化为平面问题. 3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利. (1)几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之. (2)几何体的补形 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积. (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.

4.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.

解析 C 答案( ) 返回

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