Б) Чисто усукване на пръти с некръгло сечение

1. Б) Чисто усукване на пръти с некръгло сечение Невалидност на хипотезата на Бернули.

2. Опитът и изследвания с помощта на Теория на еластичността доказват, при чисто усукване на такива пръти напречните сечения се депланират (след натоварването с усукващ момент точките от сечението се преместват извън първоначалната равнина) и загубват равнинната си форма. фиг. 10 Явно е, че хипотезата на Бернули не е валидна. Тангенциалните напрежения са функция на две променливи = ( y,z ) .

3. t ’n n t  7. Специфика в разпределението на напреженията С помощта на закона за взаимност на тангенциалните напрежения ще докажем следните специфични особености в разпределението на напреженията при усукване. 7.1. Върху площадки в близост до контура на напречното сечение тангенциалните напрежения са насочени успоредно на допирателната към контура на сечението ’n= 0 t (фиг. 11).

4. ’1 2 ’2 1 7.2. Върху площадки в близост до връх от контура на напречното сечение тангенциалните напрежения са равни на нула (’1 = 0 ;и ’2 =0 = 0 ), (фиг.12).

5. kmax max 8. Усукване на пръти с пълностенно напречно сечение 8.1 правоъгълно сечение Разпределението на тангенциалните напрежения в случай на правоъгълно сечение с височина h и ширина b, получено с помощта на Теория на еластичността е показано на фиг.13. фиг.13

6. Коефициентите  , иkса функция на отношението h/bи се дават в таблици по Съпротивление на материалите. Част от тези стойности са дадени в таблица 1 8.2 некръгло сечение Структурата на формули (18) и (19) е подобна на (7) и (5). Характеристиките WTи JT за триъгълно, елиптично, шестогранно, осмогранно и др. сечения се дават в таблици по Съпротивление на материалите.

7. 9. Мембранна и хидродинамична аналогии Оказва се, че диференциалите уравнения описващи чистото усукване на прът с произволно сечение и диференциалите уравнения описващи провисването на тънка мембрана (натоварена с налягане) опъната върху контур с формата на сечението, подложено на усукване, са едни и същи от математическа гледна точка. Всеки лесно може да си представи как се деформира от налягане р тънка мембрана опъната върху контур и да сравнява ъглите, които сключва допирателната към деформираната мембрана фиг.14.

8. p контур  =0 мембрана max Прандтл е доказал, че аналог на тангенциалното напрежение в дадена точка е ъгълът на наклона, който допирателната към деформираната мембрана сключва с равнината на контура (недеформираната мембрана). фиг.14 Аналог на усукващия момент е обема заключен между деформираната и недеформираната мембрана.

9. Хидродинамична аналогия Съществува и хидродинамична аналогия. В съд със сечение като това на усуквания прът има идеална течност. Ако приведем течността в стационарно движение в равнината на контура, то токовите линии и посоката на тангенциалните напрежения съвпадат. Скоростта в дадена точка е аналог на тангенциалното напрежение. В ъглите скоростта е нула. Около издатини скоростта се увеличава.

10. 10. Свободно усукване на тънкостенни пръти Тънкостенни са тези пръти, при които дебелината на стената  е много по-малка от разгънатата средна линия на профила L, а тя от своя страна е много по-малка от дължината на прътаlт.е. имаме следното съотношение << L << l . Свободно усукване имаме, когато краищата на пръта могат свободно да се деформират по оста на пръта.

11. Сеченията на тънкостенните пръти се разделят на следните типове: сечения, които могат да се разгънат до тесен висок правоъгълник фиг.15а; фиг.15а тънкостенни затворени сечения фиг.15с. такива, които не могат да се разгънат до правоъгълник фиг.15в фиг.15в фиг. 15с

12. L  а) - сечения, които могат да се разгънат до тесен висок правоъгълник (фиг. 16) Получава се правоъгълник с ширина и височина L .Съотношението L/обикновено е по-голямо от 10. Коефициентите  , в този случай могат да се примат за 1/3. Тогава от формули (18) и (19) следва:

13. в) сечения, които не могат да се разгънат до правоъгълник (фиг.17) L1 Ln n 1 Разделяме мислено сечението на правоъгълници, всеки от тях с ширина iи височина Li .Считаме отношението Li/i за голямо и приемаме коефициентите  , за 1/3. Усукващият момент в сечението може да се разглежда като сума от усукващите моменти в отделните правоъгълници. Приемаме, че всички правоъгълници се завъртат на един и същ относителен ъгъл = i=const. фиг.17

14. Вижда се, че в този случай характеристиката JT се пресмята по формула (22) (22) Тангенциалното напрежение вi- тия правоъгълник определяме чрез (20)

15. Максималното напрежение за цялото сечение се получава в правоъгълника с най-голяма дебелина Това лесно може да се обясни с мембранната аналогия – там мембраната провисва най-много и ъгълът на допирателната към деформираната мембрана е най голям.

16. ds ds 1 a 1 2 2 с) тънкостенни затворени сечения (фиг.18) От условието за равновесие на изрязания елемент по оста на пръта имаме: (24) фиг.18 Произведението от дебелината и тангенциалното напрежение е константа. Най-голямото напрежение се получава където е минималната дебелина

17. 2 r dF  dt 1 Приемането, че тангенциалните напрежения по дебелината са постоянни се основава на мембранната аналогия фиг.19. фиг. 19

18. Разглеждаме диференциален елемент с дебелина , дължина dt и площ dF. Върху него действа напрежение . Елементарният усукващ момент е: Усукващият момент в сечението ще получим чрез интегриране в сечението. Тук F* е площта очертана от линията разполовяваща дебелините.

19. Интегрираме по затворения контур

20. Заместваме  от (25) и интегрираме по дължината на пръта За взаимното завъртане на две сечения на пръта на разстояние lполучаваме: (28)

21. Коравината на усукване в този случай е: При постоянна дебелина се получава: