Kardioida w optyce 1/9

1. Kardioida w optyce 1/9 Krzywe o równaniu {y–a·|x|2/3}2 = b–x2 mają dla pewnych wartości parametrów a,b (np. dla a= ½, ¾ i 1, gdy b= ¾) kształt serca. Jednak to nie im przysługuje, wywiedziona z greckiego słowa kardi = serce, nazwa kardioida. Słowo kardioida po raz pierwszy użył, w r.1741, Johann Castillon w odniesieniu do krzywej, która jest zarówno pewną konchoidą okręgu jak i pewną epicykloidą (mianowicie zakreślaną przez punkt okręgu toczącego się po zewnętrznej stronie okręgu mającego taki sam promień). Szczególny ślimak Paskala, szczególna epicykloida Konchoidy okręgu to krzywe, które badał Étienne Pascal (1588-1651), ojciec Błażeja. Gilles Roberval nazwał je ślimakami Paskala. Cykloidy - krzywe powstające w wyniku toczenia okręgu po prostej - budziły zainteresowanie już Arystotelesa (384-322 p.n.e.). Cykloidami i ich uogólnieniami zajmowali się potem m.in.. Johann Kepler (1571-1630), Bonaventura Cavalieri (1598-1647) i Christopher Wren, który - w r.1658 - pierwszy wyliczył długość łuku cykloidy. W r.1674 kardioidę badał – poszukując optymalnego profilu dla przekładni zębowych – duński astronom Ole Christensen Roemer, nota bene autor terminu epicykloida W r.1708 jej długość wyliczył Phillippe de la Hire. My przyjrzymy się, jak kardioida pojawia się w pewnym zadaniu z optyki.

2. Kardioida w optyce 2/9 Tak jak to widać na fotografii obok, odpowiednie oświetlnie zarysowało na powierzchni płynu nietuzinkowy kształt. Pokażemy, że (pomijając tu dość już słabe efekty wyższego stopnia, tj. odbicia rzędu 2 i wyższe, oraz przymykając oko na silną ingerencję lampy błyskowej i dalekie od ideal- nego umieszczenie źródła odbijanych promienie) ów kształt to kardioida. fot. Piotr Kuświk Kardioida sfotografowana w kubku z kawą z mlekiem p1. Z początku układu współrzędnych zatoczmy okrąg o dowolnym promieniu a. Ma on równanie x2 + y2 = a2. p2. Z punktu A = (– a, 0) wysyłamy promień nachylony do osi Ox pod kątem kątem α . p3. Promień dociera do okręgu w punkcie, który oznaczamy przez B. Tu się odbija i podąża w kierunku punktu C. Napiszemy równania promieni padającego i odbitego oraz wykażemy, że obwiednią rodziny promieni odbitych jest właśnie kardioida.

3. Kardioida w optyce 3/9 p4. Promień padający ma równanie y = tg(α)·(x+a). p5. Zatem współrzędne punktu B wyznaczymy z układu równań y = tg(α)·(x+a), x2 + y2 = a2. Otrzymujemy x2 +{tgα·(x+a)}2 = r2 , tj. {1+tg2α}·x2 + 2a·tg2α·x + {1–tg2α}·a2 = 0. Równanie promieni padającego p6. Równanie to ma dwa zera: x = –a oraz x = a·{tg2α–1}/{tg2α+1} = a·cos(2α). Pierwsze (tzn. x = –a) wyznacza punkt A, drugie jest odciętą punktu B. p7. Wstawiając tę odciętą do równania okręgu natychmiast otrzymujemy rzędną punktu B. I w ten sposób wiemy już, że B = (a·cos(2α), a·sin(2α)). Znamy już równanie promienia wysyłanego z punkty A i współrzędne punktu B, w którym dobiega on do półokręgu. Teraz czas na równanie promienia odbitego.

4. Kardioida w optyce 4/9 p8. Połączmy punkt B ze środkiem O okręgu. Ponieważ |AO| = |OB.|, więc otrzymany trójkąt AOB jest równoramienny i dlatego kąt przy wierzchołku B jest równy α. Równanie promieni odbitego p9. Trzeci kąt w AOB jest równy 180°–, w konsekwencji czego odcinek OB jest nachylony do osi Ox pod kątem 2. p10. CBO = OBA =  (wszak kąt odbicia jest równy kątowi padania), więc odcinek BC jest nachylony do osi Ox pod kątem 180°–{180°–(2+)} = 3. p11. Leży zatem odcinek BC na prostej o równaniu y = a·sin(2α)+tg(3)·(x–a·cos(2α)}. p12. Powyższe równanie nie obejmuje jednego przypadku – gdy α = 60º (wtedy promień BC biegnie równolegle do osi Ox). Nie jest on wykluczony przy przedstawieniu wektorowym prostej BC:x(t) = a·cos(2α) + cos(3α)·t, y(t) = a·sin(2α) + sin(3α)·t. Powyższe równanie opisuje rodzinę promieni odbitych. Aby przejrzyście wyrysować przedstawicieli tej rodziny (uzyskujemy ich dla konkretnych wartości kąta α(-90º,90º)), należy wyznaczyć współrzędne punktów C (tutaj promień odbity dobiega do okręgu) i D (tutaj przecina oś poziomą Ox).

5. Wiemy już (p11), że każdy promień odbity leży na prostej o równaniu cos(3)·{y–a·sin(2α)} = sin(3)·(x–a·cos(2α)}. Kardioida w optyce 5/9 Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów stwierdzamy, że każda z tych prostych spełnia równanie F(a,x,y,α) =0, gdzie F(a,x,y,α) = a·sin(α) + sin(3α)·x – cos(3α)·y. F(a,x,y,α) =0 jest równaniem rodziny tych prostych (a kąt α identyfikuje jej członków, reprezentantów) . Zmieniając kątw zakresie od – 90º do 90º uzyskujemy rodzinę promieni odbitych wysłanych z punktuA= (–a, 0) i odbitych od wnętrza okręgu. Na rysunku obok pokazane są proste, na których leży 45 reprezentantów tej rodziny (dla= –88º, –86º,..., 84º, 86º, 88º). Kardioida rysuje się jako obwiednia rodziny promieni Widać, że wyznaczają one pewną krzywą. Jest ona styczna do każdej reprezentantki rodziny F(a,x,y,α) =0. Krzywą o takiej własności nazywa się obwiednią rodziny F(a,x,y,α) =0. Rysunek uzyskano w programie DERIVE 5 (Texas Instruments) w wyniku poleceniawizualizacji uproszczenia napisu VECTOR(proOd1(,x,y),,-88°,88°,2°) przedtem zdefiniowawszy rodzinę promieni odbitych (dla a=1) proOd1(,x,y):=SIN()-SIN(3)·x+COS(3)·y=0.

6. Dowodzi się, że jeśli rodzina krzywych zadana wzorem (x,y,)=0 ma obwiednię, a funkcja  jest dostatecznie gładka, to jest ta obwiednia określona układem złożonym z równań (x,y,) = 0, D (x,y,) = 0, gdzie D oznacza różniczkowanie względem parametru  rodziny. Kardioida w optyce 6/9 W naszym zadaniu mamy więc układ a·sin(α) + sin(3α)·x – cos(3α)·y = 0 a·cos(α) +3cos(3α)·x +3sin(3α)·y = 0 czyli sin(3α)·x – cos(3α)·y = –a·sin(α) cos(3α)·x + sin(3α)·y = a·cos(α)/3. Równanie obwiedni rodziny promieni odbitych Po obustronnym podniesieniu każdego z równań do kwadratu i dodaniu stronami uzyskujemy związek (x – 1/3)2 + y2 =2/3·(1 –cosα)}2. Stąd wyznaczamy wartość cosα i wstawiamy ją do któregoś z wyjściowych równań. Żmudne przekształcenia, mające na celu eliminację parametru α, prowadzą w końcu do równania (z2 + y2)2 – 2b·z·(z2 + y2) – b2·y2) = 0, gdzie z=x–1/3, b=2a/3. Zamiast eliminować parametr α można układ rozwiązać ze względu na x i y. Otrzymujemy wtedy przedstawienie parametryczne kardioidy: x = {2cosα – cos(2α)}/3, y = {2sinα – sin(2α)}/3.

7. Kardioida w optyce 7/9 p13. Współrzędne punktu C uzyskujemy tworząc układ x2 + y2 = a2 x = a·cos(2α) + cos(3α)·t, y = a·sin(2α) + sin(3α)·t złożony z równania okręgu i pary równań opisujących wektorowo prostą BC (przy tym kąta α = 60º nie rozpatrujemy, gdyż dlań BC jest równoległe do osi Ox). Współrzędne punktów C i D Pierwsze z trzech powyższych równań przyjmuje postać {r·cos(2α) + cos(3α)·t}2 +{r·sin(2α) + sin(3α)·t}2 = r2. Jego rozwiązaniami są t = 0 i t = –2r·cos. Pierwsze z nich daje punkt B, drugie – poszukiwane współrzędne punktu C: x = r·cos(2α) + cos(3α)·{–2r·cos)} = –r·cos(4α), y = r·sin(2α) + sin(3α)·{– 2r·cos)} = –r·sin(4α). p14. Odciętą punkt D uzyskujemy wstawiając do równania prostej BC, tzn. do równania y = a·sin(2α)+tg(3)·(x–a·cos(2α)}, wartość y = 0 (jako że D leży na osi Ox). Stąd, nadal przy założeniu, iż α 60, otrzymujemy D = ( r·cos(2α)·{1–tg(2α)·tg(3α)}, 0).

8. "_kardiOp.MTH kardioida jako obwiednia promieni odbitych (A.Marlewski 14.11.2002)" [CaseMode:=Sensitive,InputMode:=Word] promienPadajacy(r,alpha,t):=[-r,0]+[COS(alpha),SIN(alpha)]*t punktB(r,alpha):=r*[COS(2*alpha),SIN(2*alpha)] promienOdbity(r,alpha,t):=punktB(r,alpha)+[COS(3*alpha),SIN(3*alpha)]*t punktD(r,alpha):=IF(alpha/=pi/3,promienOdbity(r,alpha,-r*SIN(2*alpha)/SIN(3*alpha)),r/2*[1,SQRT(3)]) punktC(r,alpha):=promienOdbity(r,alpha,-2*r*COS(alpha)) punktD(r,alpha):=promienOdbity(r,alpha,r*SIN(2*alpha)/SIN(3*alpha)) wezWedlugWiekszejRzednej(P,Q):=IF(P SUB 2>Q SUB 2,P,Q) punktE(r,alpha):=wezWedlugWiekszejRzednej (punktC(r,alpha),punktD(r,alpha)) "Definicja promienia padajacego i odbitego (konczacego sie na okregu lub osi Ox):" odAdoE(r,alpha):=[[-r,0],punktB(r,alpha), punktE(r,alpha)] "Rownanie okregu o srodku w [0,0] i promieniu 3, nastepnie Plot:" x^2+y^2=3^2 "Simplify Approximate, otrzymana macierz Plot:" VECTOR(odAdoE(3,alpha),alpha,2*deg,89*deg,3*deg) "Definicja wektorowa kardioidy:" para_kardioida(C,a,t):=C+2*a*[COS(t),SIN(t)] -a*[COS(2*t),SIN(2*t)] "Simplify Basic, nastepnie Plot (od -Pi do Pi):" para_kardioida([0,0],1,t) Kardioida w optyce 8/9 Uzyskanie ilustracji w systemie DERIVE 5 (Texas Instrs)

9. Pierwsi, którzy zauważyli, że cykloida jest katakaustyką okręgu (czyli obwiednią rodziny promieni świetlnych odbitych, których źródło leży na okręgu) byli – w r.1692 - Jacob Bernoulli i jego ojciec Johann. Kardioida w optyce 9/9 Wiemy dlaczego widać kardioidę. Czas zatem na kawę ! Zarys kardioidy w kubku napełnionym kawą (fot. Piotr Kuświk)