3.2 立体几何中的向量方法 —— 空间角

3.2立体几何中的向量方法 ——空间角

1、两条直线的夹角： l l m m

解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设则：例：所以：所以与所成角的余弦值为

2、直线与平面的夹角： l

例：

l 3、二面角：二面角的范围： ①方向向量法： B A C D

l l ②法向量法法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角

例：设平面

1. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC, ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_________ . 2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_________ . 3.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的中点, 则二面角E-BC-A的大小是________

第三问题： 利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题.

1、点与点的距离：

2、点与直线的距离：

z C1 D1 A1 B1 E C D F y A B x 例：在正方体中，E、F分别是BB1,， CD中点，求:点F到直线AE的距离.

3、点到平面的距离：

z x y G D C F B E A

P N D C M A B

4. 异面直线间的距离 b 已知a,b是异面直线, C A CD为a,b的公垂线, B D a A，B分别在直线a,b上

z 即取x=1,则y=-1,z=1,所以 y x C1 A1 B1 C A B E

5. 其它距离问题： （1）平行线的距离(转化为点到直线的距离）（2）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）（3）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）

练习1：如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，练习1：如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离.

解：（I）略 （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为

（III）解：设平面ACD的法向量为 则令得是平面ACD的一个法向量，又所以点E到平面ACD的距离

z S O C y A B x 练习2：如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值; (2)OS与面SAB所成角的余弦值; (3)二面角B－AS－O的余弦值.

z S O C y A B x 如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值;

z S O C y A B x 如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(2)OS与面SAB所成角的余弦值 ; 所以OS与面SAB所成角的余弦值为

z S O C 所以二面角B－AS－O的余弦值为 y A B x 如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(3)二面角B－AS－O的余弦值.

z y G x 练习3：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点. (1)证明：PA//平面EDB； (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值. P E B C D A

z P y E B C G D A x (1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点

z P y E B C 所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为 G 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 D A x (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。

练习5： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小. P E F C D A B

3.2 立体几何中的向量方法 —— 空间角

3.2 立体几何中的向量方法 —— 空间角

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