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功及其计算

功及其计算. 一、功 ☆ 1. 功的概念 2. 功的公式及计算 3. 重力的功 ☆ 4. 摩擦力的功 5. 弹力的功 ☆ 6. 合力的功 7. 变力做功. 物理学的几种思维方法：. 能量的观点（力与空间的关系）. 力与运动的关系. 动量的观点（力与时间的关系）. 一 . 功的概念. 1. 定义：. 物体受到力的作用，并在力方向上发生 一段位移，就说力对物体做了功. 2 、做功的两个必要条件：. 力和物体在力的方向上通过的 位移 。. 3 、功的物理意义（功能关系）：. 功是能量的转化的量度。. 二、功的计算：. F.

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  1. 功及其计算

  2. 一、功 ☆ 1.功的概念 2.功的公式及计算 3.重力的功 ☆ 4.摩擦力的功 5.弹力的功 ☆ 6.合力的功 7.变力做功

  3. 物理学的几种思维方法： 能量的观点（力与空间的关系） 力与运动的关系 动量的观点（力与时间的关系） 一.功的概念 1.定义： 物体受到力的作用，并在力方向上发生 一段位移，就说力对物体做了功. 2、做功的两个必要条件： 力和物体在力的方向上通过的位移。 3、功的物理意义（功能关系）： 功是能量的转化的量度。

  4. 二、功的计算： F F1 S1 F а S S S2 1. 功的基本公式：W=Fscosθ 0<≤θ＜ 90°力F对物体做正功, θ= 90°力F对物体不做功, 90°＜ θ≤180°力F对物体做负功。 说明： （1） F2 W1=F1Scos900 W2=F2Scos00 W=W1+W2=FScos а

  5. A h B θ m （2）公式只适用于恒力做功 如果变力做功如何求？ （3） F和S是对应同一个物体的 （4）某力做的功仅由F、S和决定, 与其它力是 否存在以及物体的 运动情况都无关。 2、对“负功”的理解: 物体克服阻力做功。 例1.放在粗糙水平地面上的物体，在10N的水平拉力作用下，以6m/s的速度匀速移动4s，则拉力共做了的 功，摩擦阻力对物体做了的功. 例2、分别讨论地面光滑和 粗糙时重力、支持力 对物块做功的情况。

  6. 练习1.在光滑的水平面和粗糙的水平面上各放一质量不同的木块，在相同的拉力作用下，通过相同的位移，拉力对木块做的功( ) A.在光滑的水平面上较多 B.在粗糙的水平面上较多 C.一样多 D.由小车运动所需的时间决定 C

  7. 三、功的计算方法： 1、公式法： W=F S cosθ恒力做功 动能定理、功能关系、转化为恒力、等效的方法 变力做功 W=Pt 如汽车以恒定功率启动时，通过时间t，牵引力做功的求法.(这种方法用得较少，容易忘却，要注意) 2、功率的 概念： 3、动能定理： W外=ΔEk，一般求变力做功较为方便。 4、根据功的意义（功是能量的转化量度） 一般用能量守恒来求

  8. 例3、一辆马车在力F=100N的作用下绕半径为50m的圆形轨道做匀速圆周运动，当车运动一周回到原位置时，车子克服阻力所做的功为多少？例3、一辆马车在力F=100N的作用下绕半径为50m的圆形轨道做匀速圆周运动，当车运动一周回到原位置时，车子克服阻力所做的功为多少？ 解： 阻力的方向时刻在变，是变力做功的问题，不能直接由功的公式计算。 采用微元法解之，将圆分成很多很多小段，在这些小段中，力可以看作恒力，于是 Wf = – fΔs1– fΔs2– fΔs3– fΔs4– fΔs5 –…… = – fs= – Fs = – 100×2πR= – 3.14 ×104 J W克= – Wf= 3.14 ×104 J 练习. 挂在竖直墙上的画长1.8m，画面质量为100g，下面画轴质量为200g，今将它沿墙缓慢卷起，需做 J的功.(g取10m/s2) 4. 5 解：W= mg ×1/2 × h+Mgh=0.9+3.6 = 4.5 J

  9. 例4.用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多少深度 ? (设铁锤每次做功相等) x2 第一次击入深度为x1，平均阻力F1= 1/2× kx1， 做功为W1= F1 x1=1/2×kx21. 平均阻力F2=1/2× k(x2+x1), 位移为x2-x1， 做功为W2= F2(x2-x1)=1/2× k(x22-x21). x1 (a) 解后有：x2＝ x1=1.41cm. 解一： 用平均力法.铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=-f=kx，可用平均阻力来代替.如图(a) 第二次击入深度为x1到x2， 两次做功相等：W1=W2. ∴△x=x2-x1=0.41cm.

  10. F kx2 kx1 x 0 x1 x2 (b) 解后有：x2＝ x1=1.41cm. 解二：用图像法 因为阻力F=kx,以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图像，如图(b)， 曲线下面积的值等于F对铁钉做的功. （示功图） 由于两次做功相等，故有： S1 = S2 (面积)，即： 1/2× kx21=1/2× k(x2+x1)(x2-x1)， ∴ △x=x2-x1=0.41cm.

  11. N f P mg L P B α A 例5.如图示，板长为L，板的B端放有质量为m的小物体，物体与板的动摩擦因素为μ，开始时板水平，若缓慢转过一个小角度α的过程中，物体与板保持相对静止，则这个过程中（ ） D A. 摩擦力对P做功为 μmgLcosα(1-cosα) B. 摩擦力对P做功为mgLsinα(1-cosα) C. 弹力对P做功为mgLcosαsinα D. 板对P做功为mgLsinα

  12. 例6.如图所示,相同物体分别自斜面AC和BC顶端由静止开始下滑, 物体与两斜面的动摩擦因数相同,物体滑至斜面底部C点时的动能分别为EA和EB,下滑过程中克服摩擦力所做的功分别为WA和WB，则 ( ) A.EA＞EB,WA=WB B.EA=EB,WA＞WB C.EA＞EB,WA＞WB D.EA＜EB,WA＞WB A B C A 解：设底边长为b，斜面倾角为α，克服摩擦力所做的功 W= -μmgcos α×S= -μmg b ∴ WA=WB 由动能定理： W合=EK -0 =mgh - μ mgb ∴EA＞EB

  13. 例7.如图所示，物体受到二 个水平恒力F1和 F2相作用，F1和F2互垂直，物体沿光滑水平面从A点运动到B点的过程中，位移为S，AB连线与F1间的夹角为，则下面关于外力做的功的表达式一定正确的是： （ ） (A) (B) (F1+F2) S (C) F1Scos  + F2Ssin  (D) F1Ssin  + F2Scos  F2 B ﹚  注意： 合外力是矢量，本题的合外力 与位移的夹角难以确定，并不等于（若vA=0时才等于 ） 为合外力与位移的夹角 A F1 C 用总功等于各力做功的代数和求之

  14. s F F α α B A A s F S合 α F s 例8、质量为m的物块放在光滑的水平面上,绳的一端固定，在绳的另一端经动滑轮用与水平方向成α角、大小为F的力拉物块，如图示，将物块由A点拉至B点，前进S，求外力对物体所做的总功有多大？ 解一：注意W=FS cosα中的S应是力的作用点的位移,当物体向右移动s 时，力F的作用点既有水平位移S，又有沿绳向的位移S，合位移为S合， S合=2S cosα/2 W=F S合cosα/2 =FS(1+cosα) 解二：外力对物体所做的总功等效于水平绳和斜绳上的两个力做功的代数和 ∴W=FS+FS cosα =FS（1+cosα)

  15. 89年高考、 O T θ F mg Q P 一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂在O点，小球在水平拉力F的作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图示，则力做的功为：( ） B A. mgLcosθ B. mgL(1-cosθ) C. FLsinθ D. FLθ 解：注意F是变力，F做的功不能用公式W=FScosα计算，只能用动能定理计算。 画出小球的受力图如图示： 由动能定理 WG+WF=0 ∴ WF= - WG= mgL(1-cosθ)

  16. m h α v s S1=v1Δt S =vΔt α 例9、如图所示，在高为h的光滑水平台面上静止放置一质量为m的物体，地面上的人用跨过定滑轮的细绳拉物体。在人从平台边缘正下方处以速度v匀速向右行进s距离的过程中，人对物体所做的功为多少？。(设人的高度、滑轮的大小及摩擦均不计)  解：由运动的分解，如图示： 人前进s 时，物体的速度为v1， v1=vcos α 由动能定理： （开始时人的速度为0） W=ΔEK= 1/2× mv12 = 1/2× mv2 cos 2α

  17. 30° 30° 例10.如图所示，由于机器带动竖直轴转动，使长为l的轻绳拴着质量为m的小球在水平面做匀速圆周运动，轻绳的运动轨迹为圆锥曲面。开始绳与竖直方向的夹角为30°，后来机器转动速度加大，使绳与竖直方向的夹角变为60°。在此过程中，机器对小球做的功为多大? 【分析】当小球在水平面内做圆锥摆运动时，轻绳的拉力与重力的合力提供向心力，一定沿半径指向圆心， 轻绳与竖直方向夹角增大时，所受向心力增加，小球线速度增大，动能增大，同时小球的位置升高，重力势能增大，重力做负功 根据动能定理可求出机器对小球做的功。

  18. T mg 30° 30° 解： 设轻绳与竖直杆夹角为θ，对小球受力分析如图， 小球所受合力F=mgtgθ，小球运动半径r=l sinθ， 由牛顿第二定律 mgtg= mv2/l 1/2 × mv2= 1/2 × mgl tgsin 当θ=30°时 mv12=mgl tg30sin30 当θ=60°时 mv22=mgl tg60sin60 小球上升的高度 h = l (cos30- cos60) 设机器做功W，由动能定理 W-mgh=△EK=1/2 × mv22-1/2 × mv12 W=1/2 × mgl (tg60sin60-tg30sin30) +mgl (cos30-cos60) = 0.97 mg l

  19. 重力、摩擦力、弹力 作用力和反作用力 做功的特点分析

  20. 四、几种力做功的特点分析： • 重力的功：WG =mgh ——只跟物体的重力及物 • 体移动的始终位置的高度差有关，跟 • 移动的路径无关。 思考：在我们所学的力中，那些力做功与路径无 关？那些与路径有关？ 总结：重力、电场力、磁场力、万有引力与路径 无关 ；摩擦力做功与路径有关。 重力做功转化为重力势能； 电场力做功转化为电势能； 弹簧的弹力做功转化为弹性势能。

  21. 2、摩擦力做功的问题： 问题1：摩擦力对物体是否总是做负功？ 问题2：一对摩擦力对物体是不做功，做正功， 还是做负功？ 问题3：一对摩擦力对物体的总和如何？

  22. f1 A a f2 B 例1：AB两物体叠放在水平面上，保持相对静止一起向右做匀加速运动移动S， 则摩擦力f1对A做————功，f2对B做————功。 正 负 W1=f S W2= - f S W1 +W2= 0

  23. F A f1 B f2 S1 S2 ΔS 例2、AB两物体叠放在水平面上，A物体在力 F作用下在B物体上相对滑动， 则f1对A做————功，f2对B做————功。 负 正 W1= - fS1 W2= fS2 转化为热量 W1 +W2= f(S2 - S1 )= - f Δ S

  24. f1 A F f2 B 例3、AB两物体叠放在水平面上，A物体用线系在墙上，B 物体在力 F作用下向右运动，则f1对A做————功，f2对B做————功。 0 负

  25. f 例4、小木块置于旋转的水平转台上，随转台一起匀速转动，小木块受到的摩擦力对木块做————功。 0 若小木块随转台一起加速转动而没有相对滑动，则小木块受到的摩擦力对木块做————功。 正

  26. 例5、正在运动的水平传送带上轻轻放一个小木块小木块受到的摩擦力对小木块做———— —— 功。 f V 开始物体在摩擦力的作用下做匀加速运 动，摩擦力对物体做正功，。 达到速度v后，物体不受摩擦力，做匀速 运动，不做功

  27. 总结:摩擦力的功 （包括静摩擦力和滑动摩擦力） 摩擦力可以做负功 摩擦力可以做正功 摩擦力可以不做功 一对静摩擦力的总功一定等于0 一对滑动摩擦力的总功等于 - fΔS，转化为热能。

  28. 3、弹力做功的问题： 问题1：弹力对物体是不做功，做正功， 还是做负功？

  29. N S 例6：光滑的物体A置于光滑的斜面上,斜面位于光滑的水平面上，从地面上看, 物体A沿斜面下滑的过程中,斜面对物体A的弹力的方向_________________ , 弹力做功是否为0？__________ 不为0 垂直斜面向上

  30. N f A mg F θ S 例7：质量为m的物体A置于粗糙的斜面上, 斜面位于水平面上， 用力推斜面向左匀速移动位移S时，斜面对物体A的弹力做功 ， 斜面对物体A的摩擦力做功 。 mgS sin θcosθ - mgS sin θcosθ

  31. 例8：一辆小车静止在光滑的水平导轨上，一个单摆球用线悬挂在车上，由图示位置无初速释放，则小球在下摆的过程中，线对小球的拉力做——————功。例8：一辆小车静止在光滑的水平导轨上，一个单摆球用线悬挂在车上，由图示位置无初速释放，则小球在下摆的过程中，线对小球的拉力做——————功。 负

  32. N f a G 例9：一个木箱放置在匀加速上升的自动扶梯上，随自动扶梯一起上升，跟扶梯保持相对静止。木箱所受的重力对木箱做 ——————功，木箱所受的弹力对木箱做——————功。木箱所受的摩擦力对木箱做 ——————功， 负 正 正

  33. 弹力的功 可见，弹力对物体可以做正功 可以不做功， 也可以做负功。 弹簧的弹力做功转化为弹性势能。 4、作用力和反作用力做功分析

  34. 例10：如下图A、B 两辆小车上各放一个强磁铁，各以速度V相向运动，两磁体间的相互作用力对A车做 ------- 功, 两磁体间的相互作用力对B车做 ------- 功 V V N N S S A B V V S N N S A B 正 正 若用手按住B车，则相互作用力对A 车做功， 对B车 功 若如下图A、B 两辆小车上各放一个强磁铁，各以速度V相向运动，两磁体间的相互作用力对A车做 ------- 功, 两磁体间的相互作用力对B车做 ------- 功 负 负 若用手按住B车，则相互作用力对A 车做负功，对B车不做功

  35. 一对相互作用力的功 可见： 一对相互作用力可以同时做正功， 一对相互作用力也可以同时做负功， 一对相互作用力也可以作用力做正功， 反作用力做负功， 一对相互作用力也可以作用力做正功， 反作用力不做功， 一对相互作用力也可以作用力做负功， 反作用力不做功，

  36. 练习. 下列说法正确的是： （ ） (A)一对摩擦力做的总功，有可能是一负值，有可能 是零； (B)物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化； (C)当作用力作正功时，反作用力一定做负功； (D)当作用力不作功时，反作用力一定也不作功； (E)合外力对物体做功等于零，物体一定是做匀速直 线运动. A

  37. 5.合力的功——有两种方法： （1）先求出合力，然后求总功，表达式为 （为合力与位移方向的夹角） （2）合力的功等于各分力所做功的代数和，即 6.变力做功—— （1）一般用动能定理W合=ΔEK求之 ； （2）也可用（微元法）无限分小法来求, 过程无限分小后， 可认为每小段是恒力做功。 （3） 还可用F-S图线下的“面积”计算.

  38. 例6.如图所示,相同物体分别自斜面AC和BC顶端由静止开始下滑, 物体与两斜面的动摩擦因数相同,物体滑至斜面底部C点时的动能分别为EA和EB,下滑过程中克服摩擦力所做的功分别为WA和WB，则 ( ) A.EA＞EB,WA=WB B.EA=EB,WA＞WB C.EA＞EB,WA＞WB D.EA＜EB,WA＞WB A B C A 解：设底边长为b，斜面倾角为α，克服摩擦力所做的功 W= -μmgcos α×S= -μmg b ∴ WA=WB 由动能定理： W合=EK -0 =mgh - μ mgb ∴EA＞EB

  39. 例7.如图所示，物体受到二 个水平恒力F1和 F2相作用，F1和F2互垂直，物体沿光滑水平面从A点运动到B点的过程中，位移为S，AB连线与F1间的夹角为，则下面关于外力做的功的表达式一定正确的是： （ ） (A) (B) (F1+F2) S (C) F1Scos  + F2Ssin  (D) F1Ssin  + F2Scos  F2 B ﹚  注意： 合外力是矢量，本题的合外力 与位移的夹角难以确定，并不等于（若vA=0时才等于 ） 为合外力与位移的夹角 A F1 C 用总功等于各力做功的代数和求之

  40. s F F α α B A A s F S合 α F s 例8、质量为m的物块放在光滑的水平面上,绳的一端固定，在绳的另一端经动滑轮用与水平方向成α角、大小为F的力拉物块，如图示，将物块由A点拉至B点，前进S，求外力对物体所做的总功有多大？ 解一：注意W=FS cosα中的S应是力的作用点的位移,当物体向右移动s 时，力F的作用点既有水平位移S，又有沿绳向的位移S，合位移为S合， S合=2S cosα/2 W=F S合cosα/2 =FS(1+cosα) 解二：外力对物体所做的总功等效于水平绳和斜绳上的两个力做功的代数和 ∴W=FS+FS cosα =FS（1+cosα)

  41. 89年高考、 O T θ F mg Q P 一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂在O点，小球在水平拉力F的作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图示，则力做的功为：( ） B A. mgLcosθ B. mgL(1-cosθ) C. FLsinθ D. FLθ 解：注意F是变力，F做的功不能用公式W=FScosα计算，只能用动能定理计算。 画出小球的受力图如图示： 由动能定理 WG+WF=0 ∴ WF= - WG= mgL(1-cosθ)

  42. m h α v s S1=v1Δt S =vΔt α 例9、如图所示，在高为h的光滑水平台面上静止放置一质量为m的物体，地面上的人用跨过定滑轮的细绳拉物体。在人从平台边缘正下方处以速度v匀速向右行进s距离的过程中，人对物体所做的功为多少？。(设人的高度、滑轮的大小及摩擦均不计)  解：由运动的分解，如图示： 人前进s 时，物体的速度为v1， v1=vcos α 由动能定理： （开始时人的速度为0） W=ΔEK= 1/2× mv12 = 1/2× mv2 cos 2α

  43. 30° 30° 例10.如图所示，由于机器带动竖直轴转动，使长为l的轻绳拴着质量为m的小球在水平面做匀速圆周运动，轻绳的运动轨迹为圆锥曲面。开始绳与竖直方向的夹角为30°，后来机器转动速度加大，使绳与竖直方向的夹角变为60°。在此过程中，机器对小球做的功为多大? 【分析】当小球在水平面内做圆锥摆运动时，轻绳的拉力与重力的合力提供向心力，一定沿半径指向圆心， 轻绳与竖直方向夹角增大时，所受向心力增加，小球线速度增大，动能增大，同时小球的位置升高，重力势能增大，重力做负功 根据动能定理可求出机器对小球做的功。

  44. T mg 30° 30° 解： 设轻绳与竖直杆夹角为θ，对小球受力分析如图， 小球所受合力F=mgtgθ，小球运动半径r=l sinθ， 由牛顿第二定律 mgtg= mv2/l 1/2 × mv2= 1/2 × mgl tgsin 当θ=30°时 mv12=mgl tg30sin30 当θ=60°时 mv22=mgl tg60sin60 小球上升的高度 h = l (cos30- cos60) 设机器做功W，由动能定理 W-mgh=△EK=1/2 × mv22-1/2 × mv12 W=1/2 × mgl (tg60sin60-tg30sin30) +mgl (cos30-cos60) = 0.97 mg l

  45. A A F F f1 f1 S1 f2 f2 B B S2 ΔS 例2、如图所示，在光滑水平面上放一木板，木板的左端放一物体，对物体施加一水平恒力F，将物体由静止开始从木板右端拉出，如果第一次木板被固定在地面上，第二次木板未被固定，则这两种情况下 （ ） (A)摩擦力大小相同 (B)F做的功相同 (C)摩擦产生热相同 (D)物体获得的动能相同 A C

  46. 【例4】物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F1，经t秒后撤去F1，立即再对它施一水平向左的恒力F2，又经t秒后物体回到出发点，如图6-1-5所示在这一过程中，F1、F2分别对物体做的功W1、W2间的关系是( ) A.W1=W2 B.W2=2W1 C.W2=3W1 D.W2=5W1 C 图6-1-5

  47. 【例1】如图6-1-1所示，把系在轻绳上的A、B两小球由图示位置同时由静止释放(绳开始时拉直)，则在两小球向左下摆动时，下列说法正确的是 ( ) C D A.绳OA对A球做正功 B.绳AB对B球不做功 C.绳AB对A球做负功 D.绳AB对B球做正功

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