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§6. 置换群

§6. 置换群. 6.1 置换群 6.2 置换的表示方法 :2- 行法 6.3 循环 6.4 补充结论. 变换群的一种特例 , 叫做置换群 , 在代数里占一个很重要的地位 . 比方说 , 在解决方程能不能用根号解这个问题时就要用到这种群．这种群还有一个特点，就是它们的元可以用一种很具体的符号来表示，使得这种群里的计算比较简单．现在我们把这种群讨论一下．. 6.1 置换群. 定义 1 　一个有限集合的一个一一变换叫做一个 置换 ．. 一个有限集合的若干个置换作成的一 个群叫做一个 置换群 ．.

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§6. 置换群

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Presentation Transcript

  1. §6.置换群 • 6.1 置换群 • 6.2 置换的表示方法:2-行法 • 6.3 循环 • 6.4 补充结论

  2. 变换群的一种特例,叫做置换群,在代数里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程能不能用根号解这个问题时就要用到这种群．这种群还有一个特点，就是它们的元可以用一种很具体的符号来表示，使得这种群里的计算比较简单．现在我们把这种群讨论一下．变换群的一种特例,叫做置换群,在代数里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程能不能用根号解这个问题时就要用到这种群．这种群还有一个特点，就是它们的元可以用一种很具体的符号来表示，使得这种群里的计算比较简单．现在我们把这种群讨论一下．

  3. 6.1 置换群 定义1　一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换． 一个有限集合的若干个置换作成的一 个群叫做一个置换群．

  4. 我们看一个有限集合 ， 有 个元 ．由Ⅱ，５， 的全体置换作成一个群 ． 定义2　一个包含 个元的集合的全体置换作成的群叫做 次对称群． 这个群用 来表示． 定理１　 次对称群 的阶是 ！．

  5. 现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个置换现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个置换 这样一个置换所发生的作用完全可以由 ， ， …， 这 对整数来决定． 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成 6.2 置换的表示方法:2-行法

  6. 形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的 我们也可用

  7. 例１　 ．假如 那么 不过我们普通用 来表示这个 ．

  8. 例２ 有６个元．这６个元可以写成 ， ， ， ， ， ● 如何计算乘法? (注意我们规定的顺序) (从右向左)

  9. ● 如何求逆? =?? ● 所以 不是交换群． 无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第一个有限非交换群的例子． 可以说是一个最小的有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非交换群至少要有六个元．

  10. 为了说明置换的第二种表示方法，我们先证明一个公式．看两个特殊的置换 ： , 那么以下公式成立： 6.3 循环

  11. ● 证明这个公式.我们只须注意，因为 是 ， ，…, 这 个元的一一变换， 而在 之下， ，…, 已经各是 ， …, 的象,所以它们不能再是 的 象,这就是说, ● 先看一个例子

  12. 这样， 将 变成 . 显然， 将 变成 定义　 的一个把变成 变到 ， 变到 ，…， 变到 ，而使得其余的元，假如还有的话，不变的置换，叫做一个 循环置换．这样的一个置换我们用符号 ， ，…或 来表示．2-循环称为对换.

  13. 例３　我们看 ，这里 一个任意的置换当然不一定是一个循环置换．

  14. 例４　 的 就不是一个循环置换． 但是, 定理２　每一个 个元的置换 都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连的）循环置换的乘积． 一般来说，我们有

  15. 证明 先看一个例子. 在 中， I.当 不使任何元变动的时候，就是当 是 恒等置换的时候，定理是对的． 我们再用归纳法．

  16. II. 假定对于最多变动 个元的 定理是对的．现在我们看一个变动 个元的 ．我们任意取一个被 变动的元 ，从 出发我们找 的象 ， 的象 ，这样找下去，直到我们第一次找到一个 为止，这个 的象不再是一个新的元，而是我们已经得到过的一个元: 因为我们一共只有 个元，这样的 是一定存在的．我们说 ．因为 已经是 的象，不能再是 的象．这样，我们得到

  17. 因为 只使 个元变动， ，假如 ， 本身已经是一个循环置换，我们用不着再证明 什么．假如，由公式（1），

  18. 但 只使得 个元变动，照归纳法的假定，可以写成不相连的循环置换的乘积： 在这些 里 不会出现.不然的话, 那么 同 不会再在其余的 中出现, 也必使 但我们知道, 使得 不动,这是一个矛盾.这样, 是不相连的循环置换的乘积: 证完

  19. 例５的全体元用循环置换的方法写出来是 ， ， ， ， ， ； 定理３　每一个有限群都与一个置换群同构． 这就是说，每一个有限群都可以在置换群里找到例子．现在置换群又是一种比较容易计算的群，所以用置换群来举有限群的例是最合理的事．

  20. 1.每一个循环可以写出对换的乘积.进一步, 对换个数的奇偶性是固定的. 提示: 2. 每一个对换可以写出形如: (12),(13),…(1n)的乘积. 提示: (ij)=(1i)(1j)(1i) 3. 每一个形如: (12),(13),…(1n)的对换可以写成(12),(23),(34)…(n-1 n)的乘积. 提示: (13)=(12)(23)(12) (14)=(13)(34)(13) ………… 6.4 补充结论

  21. 作业 • P55:2,5

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