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5.1 自然對數函數：微分 5.2 自然對數函數：積分 5.3 反函數 5.4 指數函數：微分與積分 5.5 一般底數的指數函數和應用 5.6 反三角函數：微分

5.1 自然對數函數：微分 5.2 自然對數函數：積分 5.3 反函數 5.4 指數函數：微分與積分 5.5 一般底數的指數函數和應用 5.6 反三角函數：微分 5.7 反三角函數：積分 5.8 雙曲函數. P.258. Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數. 5.6 反三角函數：微分. 反三角函數的定義 函數 定義域 值域

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5.1 自然對數函數：微分 5.2 自然對數函數：積分 5.3 反函數 5.4 指數函數：微分與積分 5.5 一般底數的指數函數和應用 5.6 反三角函數：微分

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Presentation Transcript

  1. 5.1 自然對數函數：微分 5.2 自然對數函數：積分 5.3 反函數 5.4 指數函數：微分與積分 5.5 一般底數的指數函數和應用 5.6 反三角函數：微分 5.7反三角函數：積分 5.8雙曲函數

  2. P.258 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 5.6 反三角函數：微分 反三角函數的定義 函數 定義域 值域 y = arcsin x iff sin y = x –1 ≤ x ≤ 1 –π/2 ≤ y ≤π/2 y = arccos x iff cos y = x –1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤π y = arctan x iff tan y = x –∞ < x <∞ –π/2 < y <π/2 y = arccot x iff cot y = x –∞ < x <∞ 0 < y <π y = arcsec x iff sec y = x |x| ≥ 1 0 ≤ y ≤π, y≠π/2 y = arccsc x iff csc y = x |x| ≥ 1 –π/2 ≤ y ≤π/2, y≠0

  3. P.258 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 圖5.29

  4. P.259 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 1計算反三角函數 計算下列各題的值。a. arcsin(–½) b. arccos 0 c.d. arcsin(0.3) 解 a.由定義，從 y = arcsin(–½) 可得 sin y = –½，在區間 [–π/2,π/2] 中，y 的正確答案是 –π/6，因此 arcsin(–½) = –π/6 b.由定義，從 y = arccos 0 可得 cos y = 0，在區間 [0,π] 中，y 的正確答案是 y =π/2，因此 arccos 0 = π/2

  5. P.259 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 1（續） c.由定義，從　　　　 可得 　　　　 ，在區間 (–π/2,π/2) 中，y 的正確答案是 y =π/3，因此 d.以計算機求出 arcsin(0.3) ≈ 0.305

  6. P.259 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 反三角函數的性質 如果 –1 ≤ x ≤ 1 並且 –π/2 ≤ y ≤ π/2，則有 sin(arcsin x) = x和 arcsin(sin y) = y 如果 –π/2 < y < π/2，則有 tan(arctan x) = x和 arctan(tan y) = y 如果 |x| ≥ 1 並且 0 ≤ y <π/2 或者 π/2 < y ≤π，則有 sec(arcsec x) = x和 arcsec(sec y) = y 其他反三角函數也有類似的性質。

  7. 原式 兩邊取正切 tan(arctan x) = x 解 x P.259 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 2解方程式

  8. P.260 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 3利用直角三角形 a.已知 y = arcsin x， 0 < y <π/2，求 cos y。 b.已知 y = arc ，求 tan y。 解 a.從 y = arcsin x，可知 sin y =x，所以以一個直角三角 形表示 x 和 y 的關係，如圖5.30 所示。 （此結果亦適用於 –π/2 < y < 0）。 b.以圖5.31 中的直角三角形來看

  9. P.260 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 圖5.30

  10. P.260 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 圖5.31

  11. P.260 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 定理5.16反三角函數的導函數

  12. P.261 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 4求反三角函數的微分 a. b. c. d. 因為 e2x > 0，絕對值記號是多餘的。

  13. P.261 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 5一個可以化簡的導函數 微分 。 解

  14. P.261 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 6分析一個反三角函數的圖形 分析 y = (arctan x)2的圖形。 解 先求導函數 可看出 x = 0 是唯一的臨界數。由一階導數檢定， x = 0 對應的是一個相對極小，再由二階導數 反曲點出現在 2x arctan x = 1 處，可利用牛頓法求出 x 的近似值大概是 x ≈±0.765。最後，由於 得知圖形以 y =π2/4 為水平漸近線，見圖5.32。

  15. P.261 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 圖5.32y = (arctan x)2的圖形，以y = π2/4 為水平漸近線。

  16. P.262 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 例 7求攝影角度的最大值 攝影機的鏡頭對準一輻掛在牆上，上下高度 4 呎的畫， 鏡頭的位置在畫的下緣之下 1 呎，如圖5.33 所示。攝影 機應該距畫多遠才能使攝角最大？ 解　在圖5.33 中，令β是攝角。 β=θ–α = arccot x/5 – arccot x 微分得到 由於當x =時，dβ/dx = 0，從一階導數檢定得知β 會有最大值。因此，x ≈ 2.236 呎，而最大角β≈ 0.7297 弧度 ≈41.81°。

  17. P.262 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 圖5.33攝影機要距離牆壁2.236 英呎才能得到最大的攝角 。

  18. P.263 Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數 基本函數的微分規則

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