Kümeler

1. Kümeler

2. Alt küme Kümenin tanımı Kümelerde yapılan işlemler Kümelerin gösterilişi İki kümenin farkı Eşit küme denk küme eşit olmayan küme boş küme Eleman sayısı

3.    A. TANIM Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,a€ A biçiminde yazılır.“a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur.b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır.“b, A kümesinin elemanı değildir.”diye okunur. Kümede, aynı eleman bir kez yazılır. Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

4. B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ 1. Liste Yöntemi Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır. A = {a, b, c} ise, s(A) = 3 tür. 2. Ortak Özelik Yöntemi Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. A = {x : (x in özeliği)}   Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.   Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir. 3. Venn Şeması Yöntemi Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir

5. C. EŞİT KÜME, DENK KÜME Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümelerdenir. A kümesi B kümesine eşit ise A = B, C kümesi D kümesine denk ise  C≡D dir. D.EŞİTOLMAYAN(FARKLI) KÜMELER Tamamen aynı elemanlardan oluşmayan kümelereeşit olmayan (farklı)kümeler denir.   A = {a, b, c}, B = {a, b, d} ise A ≠ B dir. A = {1, b, 7}, B = {a, 2, d, 5} ise A ≠ B dir. E. BOŞ KÜME Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş kümedenir. Boş küme { } ya da Ø sembolleri ile gösterilir. {Ø} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

6. F. ALT KÜME A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A  ⊂  B biçiminde gösterilir. Alt Kümenin Özelikleri Her küme kendisinin alt kümesidir. A ⊂ A Boş küme her kümenin alt kümesidir. Ø⊂ A (A ⊂ B ve B ⊂A)  ise A = B dir. (A⊂ B ve B  ⊂ C) ise A  ⊂  C dir. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n dir.

7.      G. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER Birleşim ve Kesişim işlemi ÖRNEK: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ve B = {1, 3, 5, 7} kümelerinin; a) Bütün elemanlarının oluşturduğu kümeyi, b) Ortak elemanların oluşturduğu kümeyi bulalım. a) A ve B kümelerinin bütün elemanlarından oluşan küme bu iki kümenin birleşim kümesidir. Bu küme A∪B biçiminde gösterilir. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5, 7} A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {1, 3, 5, 7 }   A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} b)Ave B kümelerinin ortak elemanlarının oluşturduğu küme bu iki kümenin kesişim kümesidir. Bu küme A∩B biçiminde gösterilir. A∩B = {1, 3, 5}

8. 2. Birleşim İşleminin Özelikleri A ∪ Æ = A A  ∪  A = A A  ∪ B = B  ∪  A A  ∪ (B  ∪  C) = (A  ∪ B)  ∪  C A  ⊂  B ise, A  ∪  B = B A  ∪  B =  Ø  ise, (A =  Ø  ve B =  Ø) dir.

9. H. İKİ KÜMENİN FARKI A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B gösterilir.

10.      İ. ELEMAN SAYISI     A, B, C herhangi birer küme olmak üzere, s(A  ⊂  B) = s(A) + s(B) – s(A  ∩  B) s(A  ⊂  B  ⊂  C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A  ∩  B) – s(A  ∩  C) – s(B  ∩  C) + s(A  ∩ B  ∩ C) s(A  ⊂  B) = s(A – B) + s(A  ∩  B) + s(B – A)

11. a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T  ∩  V) = b olsun. • Tenis veya voleybol oynayanların sayısı: a + b + c • Sadece tenis oynayanların sayısı:a • Sadece voleybol oynayanların sayısı: c • Tenis oynamayanların sayısı: c + d • Voleybol oynamayanların sayısı: a + d • Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı: a + b + c • Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı: d + a + c • Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:d

12. Kazanımlar: • Bir kümeyi modelleri ile belirler, farklı temsil biçimleri ile gösterir. • Kümelerle birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar ve bu işlemleri problem çözmede kullanır. • Bir kümenin alt kümelerini belirler.

13. Hazırlayan : Merve YILDIRIM 110403034 2/B GÜNDÜZ