Le matrici e I Sistemi lineari

1. Le matrici e I Sistemi lineari

2. Definizioni fondamentali delle matrici • Somma e differenza delle matrici • Prodotto di una matrice per uno scalare • Prodotto di matrici • Proprietà delle operazioni • Determinanti di matrici quadrate • Proprietà dei determinanti • Inversa di una matrice • Calcolo matrice inversa e T. di Laplace • Sistemi lineari • Metodo di calcolo dei sistemi lineari • Le matrici con il TurboPascal

3. Definizione di una matrice Detti m e n due numeri interi positivi e reali, si chiama matrice l’insieme degli m·n numeri considerati, disposti su m righe orizzontali e su n colonne verticale, come nello schema che segue: I numeri reali racchiusi nella tabella si dicono elementi della matrice e sono rappresentati da una lettera munita di due indici: il primo indice fornisce la riga a cui appartiene l’elemento e il secondo la colonna. Se m=n si ha una matrice quadrata (di ordine n).

4. Si chiama matrice riga o vettore riga una matrice di ordine (1,n), cioè formata da una sola riga; si chiama matrice colonna o vettore colonna una matrice di ordine (m,1), cioè formata da una sola colonna. Si definisce matrice nulla o matrice zero una matrice i cui elementi sono tutti uguali a zero. Due matrici dello stesso tipo sono uguali e scriveremo A=B, se hanno uguali tutti gli elementi corrispondenti. Si chiama matrice opposta di A, e si indica con il simbolo –A, la matrice, dello stesso tipo di A, i cui elementi sono gli opposti dei corrispondenti elementi di A. Data una matrice A di tipo (m,n) si definisce trasposta di A e si indica con AT, la matrice di tipo (n,m) che si ottiene da A scambiando ordinatamente le righe con le colonne. [E’ evidente che (AT)T, cioè la trasposta della trasposta di A, è la stessa matrice A].

5. Se A è una matrice quadrata di ordine n, si chiama diagonale principale di A l’insieme degli elementi a11, a22,…., ann che hanno i due indici uguali. Si chiama diagonale secondaria di A l’insieme degli elementi a1n, a2n(n-1), …, an i cui indici hanno per somma n+1. Si dice che una matrice quadrata è diagonale, se sono nulli tutti i suoi elementi tranne quelli che costituiscono la diagonale principale. Una matrice quadrata si dice triangolare superiore se tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli. Si dice che una matrice quadrata è triangolare inferiore, se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli. Si chiama matrice identica o unità quella matrice diagonale i cui elementi, sulla diagonale principale, sono tutti uguale a 1.

6. Somma e differenza delle matrici Somma delle matrici Si definisce somma di due matrici A e B dello stesso tipo (ossia aventi lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne), e si indica con A+B la matrice, dello stesso tipo di A e di B, i cui elementi sono la somma dei corrispondenti elementi delle matrici date. Differenza delle matrici La differenza di due matrici si può definire come somma della prima matrice con l’opposto della seconda: A-B= A+(-B) Esempio: A= 2 3 -1 B= 3 1 0 0 -5 4 2 3 -1 A+B= 2+3 3+1 -1+0 = 5 4 -1 0+2 -5+3 4-1 2 -2 3 A-B= 2-3 3-1 -1-0 = -1 2 -1 0-2 -5-3 4-(-1) -2 -8 5

7. Prodotto di una matrice per uno scalare Si chiama prodotto della matrice A per uno scalare n (cioè per il numero reale n) la matrice che si ottiene da A moltiplicando tutti i suoi elementi per n. Esempio: A= 3 -6 0 9 2A= 2 3 -6 = 6 -12 0 9 0 18

8. Prodotto scalare di una matrice riga per una matrice colonna Definiamo prodotto scalare di A per B la matrice P di tipo (1,1) che ha per elemento il numero che si ottiene sommando i prodotti del tipo a1j e bj1 con j=1,2,…s, cioè: A= [a11, a12…a1s] e B= b11 b21 . . bs1 P= A•B= [a11 b11 + a12 b21 + … + a1s bs1] = [ a1j bj1]. Esempio: A= [1 2 4] e B= 3 5 2 Si ottiene P= A•B= [1 2 4] 3 =[1•3+2•5+4•2]=[21]. 5 2

9. Prodotto di matrici Siano A una matrice di tipo (m,s) e B una matrice di tipo (s,n). Le due matrici siano dunque tali che il numero delle colonne della prima sia uguale al numero delle righe della seconda. Si definisce prodotto (righe per colonne) della matrice A di tipo (m,s) per la matrice B di tipo (s,n) la matrice P di tipo (m,n) il cui generico elemento Pik si ottiene moltiplicando scalarmente la i-esima riga di A per la k-esima colonna di B, cioè: P= A•B= [Pik]=[ aij bjk] Esempio: calcoliamo il prodotto delle matrici A= 2 1 B= 1 2 1 3 3 0 4 3 0 1 P=A•B= 6 7 2 7 1 2 3 6 3 9 9 8 1 5 P11= [2 1] 1 = 2•1+1•4= 6 4 *L’elemento P11 sarà il prodotto scalare della prima Riga di A per la prima colonna di B.

10. Proprietà delle operazioni -Proprietà distributiva del prodotto di una matrice per uno scalare rispetto alla somma di matrici: n(A+B)=nA+nB -Proprietà distributiva del prodotto di una matrice per uno scalare rispetto alla somma di scalari: (n+s)A=nA+sA -Proprietà associativa del prodotto di una matrice per uno scalare: (ns)A=n(sA) -Prodotto per 1 e per -1: 1•A=A; (-1)•a=-A -Proprietà commutativa della somma: A+B= B+A -Proprietà associativa della somma e del prodotto: A+(B+C)=(A+B)+C ; A•(B•C)=(A•B) •C -Proprietà distributive (destra e sinistra) del prodotto rispetto alla somma: A•(B+C)=A•B+A•C ; ATTENZIONE!! -il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa; -non vale la legge di annullamento del prodotto ossia, il prodotto di due matrici può essere una matrice nulla senza che nessuno dei fattori lo sia.

11. Determinanti di matrici quadrate Ad una matrice quadrata può essere associato un valore numerico, detto determinante: il determinante di una matrice A=[i,j], si indica detA. Nel caso particolare di matrice quadrata di ordine 1, cioè A=[a11] detA= a11 Nel caso delle matrici di ordine 2, il determinante si definisce nel seguente modo: a11 a12 a21 a22 = a11 a22 - a12 a21 Esempi: A= 2 3 detA= 2•8- 3•5= 1 5 8 B= senß cosß -cosß senß detB=sen2ß + cos2ß = 1

12. Minore complementare Si dice minore complementare di un elemento di una matrice di ordine n il determinante che si ottiene sopprimendo dalla matrice data la riga e la colonna alle quali l’elemento appartiene. Il minore complementare di una matrice di ordine n risulta quindi di ordine n-1. Complemento algebrico Si dice complemento algebrico di un elemento aik di una matrice A di ordine n il minore complementare di aik preceduto dal segno + o dal segno -, a seconda, rispettivamente, che (i+k) sia pari o dispari. Esempio: Se A= 1 2 -3 5 0 1 3 -1 2 Il complemento algebrico di a11 risulta A11 = + 0 1 -1 2 Il complemento algebrico di a21 risulta A21 = - 2 -3 -1 2

13. Determinanti del 3° ordine Il determinante di una matrice del 3° ordine è la somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici. Naturalmente il valore numerico ottenuto è indipendente dalla riga o dalla colonna scelta. Esempio 2 -1 3 A = 0 1 2 3 -1 4 Il determinante risulta, sviluppando la 3° colonna, detA = +3 0 1 -2 2 -1 +4 2 -1 = 3(-3)-2(-2+3)+4(2) = -3 3 -1 3 -1 0 1 Sviluppando la 2° colonna si ha: detA = +2 1 2 -0 -1 3 +3 -1 3 = 2(4+2)+3(-2-3) = -3 -1 4 -1 4 1 2

14. Regola di Sarrus La regola di Sarrus è valida solo per le matrici quadrata di ordine 3°; a destra della matrice data si riscrivono, di seguito e nell’ordine, la prima e la seconda colonna; si calcola il prodotto degli elementi della diagonale principale della matrice e quello degli elementi delle due diagonali parallele; lo stesso si fa con la diagonale secondaria e le sue parallele ma prendendo, questa volta, i prodotti con il segno cambiato: la somma algebrica dei 6 prodotti ottenuti fornisce il determinante. Esempio 1 2 -3 A = 2 -1 1 -2 1 4 + + + - - - 1 2 -3 1 2 2 -1 1 2 -1 -2 1 4 -2 1 detA = -4-4-6+6-1-16 = -25

15. Determinanti di ordine n Il procedimento seguito per definire un determinante del 3° ordine è valido anche per determinanti di ordine superiore; si può infatti dare la seguente definizione: Il determinante di una qualsiasi matrice di ordine n è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una linea qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici. Esempio A = -1 1 2 0 0 3 2 1 0 4 1 2 3 1 5 7 Conviene sviluppare il determinante secondo la prima colonna, che è la linea che contiene il maggior numero di 0; detA = -1 3 2 1 -3 1 2 0 4 1 2 3 2 1 1 5 7 4 1 2 Applicando la regola di Sarrus: detA = -1(21+4+20-1-30-56)-3(4+8+0-0-1-12) = 45

16. Proprietà dei determinanti • Se tutti gli elementi di una linea sono nulli, il determinante è 0; • Il determinante della matrice unità, di qualsiasi ordine, è 1; • Moltiplicando tutti gli elementi di una linea per uno scalare k, il determinante della matrice viene moltiplicato per k; • Se in una matrice una riga o una colonna è la somma di due matrici riga o matrici colonna, il suo determinante è la somma dei determinati che si ottengono sostituendo a quella o colonna rispettivamente le due matrici riga o colonna di cui è somma; • Se una matrice ha due linee uguali o proporzionali, il suo determinante è 0; • Se si scambiano tra loro due righe o due colonne di una matrice il determinante cambia segno; • Se agli elementi di una linea si sommano gli elementi di un’altra linea ad essa parallela, tutti moltiplicati per uno stesso numero, il determinante non cambia; • Il determinante del prodotto di due matrici è il prodotto dei loro determinanti; • Se una linea è combinazione lineare di due o più linee ad esse parallele, il determinante è nullo; • Il determinate di una matrice triangolare o diagonale è il prodotto degli elementi della diagonale principale.

17. Inversa di una matrice Si chiama matrice inversa di una matrice quadrata A di ordine n, e si indica con il simbolo A-1, una matrice (se esiste), anch’essa quadrata e dello stesso ordine, tale che A•A-1 = A-1•A = In L’inversa di una matrice quadrata, se esiste, è unica. Supponiamo per assurdo, che la matrice A abbia due inverse, cioè che esistono A’ e A’’ tali che A’  A’’ e che A•A’ = A’•A = I A•A’’ = A’’•A = I Da queste ipotesi e ricordando che la matrice unità è elemento neutro rispetto al prodotto tra matrici, si ricava che 1) A’•(A•A’’) = A’•I = A’ 2) (A’•A)•A’’ = I•A’’ = A’’ Ma, per la prima proprietà associativa del prodotto di matrici, si ha: A’•(A•A’’) = (A’•A)•A’’ Confrontando perciò la (1) e la (2) otteniamo A’ = A’’ in contraddizione con l’ipotesi A’  A’’.

18. Non tutte le matrici quadrate hanno un’inversa. Se di una matrice quadrata A esiste un’inversa, A si dice invertibile o non singolare. Se tale inversa non esiste, A si dice non invertibile o singolare. Le matrici con determinante nullo non sono invertibili. Possiamo perciò concludere che la condizione necessaria affinché una matrice sia invertibile è che il suo determinante sia diverso da zero. Inoltre, se una matrice è invertibile, il determinante della sua inversa è il reciproco del suo determinante.

19. Esempio Consideriamo la matrice A = 1 2 0 2 1 0 6 6 1 Verifichiamo che l’inversa della matrice A è la matrice - 1/3 2/3 0 2/3 -1/3 0 -2 -2 1 Infatti 1 2 0 -1/3 2/3 0 1 0 0 2 1 0 • 2/3 -1/3 0 = 0 1 0 = I 6 6 1 -2 -2 1 0 0 1 E anche -1/3 2/3 0 1 2 0 1 0 0 2/3 -1/3 0 • 2 1 0 = 0 1 0 = I -2 -2 1 6 6 1 0 0 1 Calcolando i determinanti delle due matrici si ottiene A = -3; A-1 = -1/3, confermando così che A-1 = 1/ A .

20. Teorema di Laplace La somma dei prodotti degli elementi di una linea per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti di una linea parallela, è 0: ai1Aj1+…+ainAjn = 0 a1iAij +…+aniAnj = 0 ij Per dimostrare la prima uguaglianza osserviamo che l’espressione ai1Aj1 + … +ainAjn può essere considerata lo sviluppo, secondo la j-esima riga, del determinante di una matrice in cui la j-esima riga è uguale alla i-esima riga: a11 … a1n . . . . . . riga i ai1 … ain . . . = ai1Aj1 + … + ainAjn . . . riga j ai1 … ain . . . . . . an1 … ann Tale determinante è nullo e viene dimostrato l’enunciato.

21. Calcolo della matrice inversa • Premettendo, secondo il teorema di Laplace che una matrice può essere invertibile solo se il suo determinante è diverso da 0, ecco i 4 passaggi per calcolare l’inversa di una matrice A. • Calcolare il determinante di A; • Costruire la matrice A* dei complementi algebrici di A; • Formare la trasposta A*T di tale matrice; • Dividere ciascun elemento della matrice ottenuta per il determinante di A. • Esempio • A = 1 2 0 • -1 3 1 • 1 1 2 • - Calcoliamo il determinante di A con la regola di Sarrus: det A = 6+0+2-0-1+4 = 11 • Costruiamo la matrice dei complementi algebrici: A* = 5 3 -4 • -4 2 1 • 2 -1 5

22. Formiamone la trasposta: • A*T = 5 -4 2 • 3 2 -1 • -4 1 5 • Dividiamone ciascuno elemento per DetA = 11 • A-1 = 5/11 -4/11 2/11 • 3/11 2/11 -1/11 • -4/11 1/11 5/11

23. Sistemi lineari Ricordiamo che l’equazioni lineari sono equazioni di primo grado. Un sistema lineare di m equazioni nelle n incognite x1, x2, …, xn si dice in forma normale se è scritto nel modo seguente: a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ………………………………….. am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Le lettere x1, x2, xn indicano le n incognite del sistema; i numeri aij si dicono coefficienti delle incognite e i numeri bi si chiamano termini noti. Il sistema è omogeneo se i termini noti sono tutti nulli. Si dice che una n-pla ordinata di numeri reali (c1, c2, cn) è soluzione del sistema, se le m equazioni del sistema risultano contemporaneamente verificata quando in esse si operino le sostituzioni. Un sistema lineare si dice possibile e le sue equazioni compatibili, se ammette almeno una soluzione: si dice impossibile e l’equazioni incompatibili se non ammette soluzioni. Un sistema lineare possibile si dice determinato se ha una sola soluzione, indeterminato se ne ha infinite.

24. Matrici e sistemi lineari Consideriamo un sistema lineare di m equazione in n incognite. a11 a12 … a1n A = a21 a22 … a2n . . . . . . am1 am2 … amn Si chiama matrice dei coefficienti o matrice incompleta del sistema, mentre le due matrici colonna. Rispettivamente di tipo (n,1) e (m,1) x1 b1 X = . B = . . . xn bm Si chiama matrice colonna delle incognite e matrice colonna dei termini noti.

25. La matrice di tipo (m,n+1) a11 a12 … a1n b1 A’ = a21 a22 … a2n b2 . . . . . . . . . . am1 am2 amn bm Ottenuta dalla matrice A dei coefficienti aggiungendovi, come ultima colonna, la matrice colonna dei termini noti, si dice matrice completa del sistema. Ricordano la definizione di prodotto tra matrici, e osservando che le matrici A e X sono conformabili rispetto al prodotto, notiamo che un sistema generale, può essere scritto sotto forma matriciale. a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a11 a12 … a1n x1 b1 ovvero, in a21x1+a22x2+…+a2nxn = b2 a21 a22 … a2n x2 b2 forma . . . . . . • . . = . compatta: . . . . . . . . . A•X = B am1x1+am2x2+…+amnxn = bm am1 am2 … amn xn bm

26. Metodo di calcolo dei sistemi lineari La risoluzione di un sistema lineare può avvenire grazie all’uso delle matrici: uno dei metodi è quello della matrice inversa, possibile nel caso in cui il numero delle equazioni sia uguale al numero delle incognite. In forma matriciale tale sistema sarà A•X = B. La matrice dei coefficienti risulta perciò quadrata; supponiamo inoltre che il determinante di A non sia nullo e quindi esista A-1. Il sistema è risolvibile e la sua soluzione è data da X = A-1•B. Infatti sostituendo al posto di X questa espressione nella equazione A•X = B otteniamo A(A-1•B) = B, che si può scrivere (A•A-1)B = B; da questa relazione B = B. Quindi il sistema è possibile. Esempio x + 2y = 11 -x + 3y +z = 0 x + y + 2z = -11 La matrice inversa della matrice dei coefficienti si determina come si è esposto prima e sarà: 5/11 -4/11 2/11 3/11 2/11 -1/11 -4/11 1/11 5/11

27. Applicandol’equazione X = A-1•B X 5/11 -4/11 2/11 11 x 3 Y = 3/11 2/11 -1/11 0 y = 4 Z -4/11 1/11 5/11 -11 z -9 X= 3 Y = 4 Z = -9

28. Regola di Cramer • Un altro metodo per risolvere un sistema lineare è quello di utilizzare la regola di Cramer, basata sull’utilizzo delle matrici. • Si scrive inizialmente una prima matrice A, in cui si inseriscono i coefficienti delle incognite del sistema, dopo di ché si calcola il determinante. • Si scrive poi, per esempio per il calcolo dell’incognita x, una matrice in cui vengono inseriti i coefficienti delle altre incognite, meno che quelli della x, al posto dei quali, si inseriscono i termini noti. Lo stesso procedimento per le altre incognite • Per trovare i valori delle incognite si calcola i determinanti di ogni incognita e si dividono per il primo determinante trovato. • Esempio: • 5x+3y+4z =-1 • 2x+3y+ z =-1 • x+ y + z =-1 • det = 5 3 4 =3 detx = -1 3 4 = 6 • 2 3 1 -1 3 1 • 1 1 1 -1 1 1 • dety = 5 -1 4 =-3 detz = 5 3 -1 = -6 • 2 -1 1 2 3 -1 • 1 -1 1 1 1 -1 • x=6/3 = 2 y= -3/3 = -1 z=-6/3 = -2