MOUVEMENTS DE CHUTE VERTICALE

1. MOUVEMENTS DE CHUTE VERTICALE ETUDE ET MODELISATION

2. ETUDE DE MOUVEMENTS DE CHUTES VERTICALES OBJECTIFS : • Étudier différents mouvements de chute à partir de vidéos • Faire l’étude dynamique du mouvement • Modéliser le mouvement par une méthode numérique (méthode d’Euler).

3. I-CHUTE D’UN CORPS

4. 1-PROBLEME POSE • On désire étudier dans un référentiel terrestre, supposé galiléen, le mouvement d’un corps (A) de masse m, constitué d’un matériau de masse volumique rs. A est lâché sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumique rl. • On pourra faire varier : • La masse du corps A, • La masse volumique de A, • Le fluide dans lequel on lâche la bille.

5. 1-PROBLEME POSE Comment décrire le mouvement de la bille ?

6. 2-DEMARCHE UTILISEE • On étudie le mouvement de chute d’une bille dans un fluide. • L’étude de l’enregistrement vidéo donne la position et la vitesse de la bille. • On applique le théorème du centre d’inertie, au système « bille ». • On utilise une méthode numérique pour simuler le mouvement de la bille, et on compare les résultats aux résultats expérimentaux.

7. ETUDE EXPERIMENTALE On étudie le mouvement avec REGRESSI Yexp(t) et vexp(t)

8. II – ETUDE DYNAMIQUE 1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE

9. 1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE CHUTE LIBRE LE SYSTEME N’EST SOUMIS QU’A L’ACTION DE SON POIDS

10. 1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE RAPPEL : LE POIDS • Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, tout corps de masse m est soumis à son poids: La direction du poids est donnée expérimentalement par un fil à plomb . A l'échelle du laboratoire , tous les fils à plomb sont parallèles, donc la direction du poids est la même . Le champ de pesanteur est dit uniforme :

11. 1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE THEOREME DU CENTRE D’INERTIE • Référentiel : terrestre supposé galiléen • Système étudié : la bille de masse m • Forces appliquées au système: Le poids de la bille (P) : P

12. 1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE THEOREME DU CENTRE D’INERTIE O m a = P m a = - m g a = - g Or a = Donc = - g Y(t)

13. 1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE EQUATIONS HORAIRES DU MOUVEMENT CONDITIONS INITIALES DU MOUVEMENT • À t = 0: a (t) = = - g v(t) = - gt + V0 or V0 = 0 donc v(t) = - gt y(t) = - ½ gt² + y0

14. 1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE CHUTE D’UNE BALLE DE TENNIS DANS L’AIR

15. 1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE CHUTE D’UNE BALLE DE TENNIS DANS L’AIR Le modèle n°1 convient pour ce mouvement

16. 1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE CHUTE D’UNE BILLE DANS DU LIQUIDE VAISSELLE

17. 1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE CHUTE D’UNE BILLE DANS DU LIQUIDE VAISSELLE Le modèle n°1 NE CONVIENT PAS pour ce mouvement

18. 1- Modèle n°1 : LA CHUTE LIBRE CHUTE D’UNE BILLE DANS DU LIQUIDE VAISSELLE L’hypothèse selon laquelle la bille n’est soumise qu’à son poids ne convient pas. D’autres forces s’appliquent au système

19. II – ETUDE DYNAMIQUE 2- Modèle n°2

20. 2- Modèle n°2 THEOREME DU CENTRE D’INERTIE • Référentiel : terrestre supposé galiléen • Système étudié : la bille de masse m • Forces appliquées au système: p Le poids de la bille La poussée d’Archimède ( ) Les forces de frottement visqueux du liquide sur la bille ( ) f P

21. O f P y 2- Modèle n°2 FORCES APPLIQUEES REMARQUE : On travaille maintenant avec un axe orienté vers le bas ce qui permet d’avoir des valeurs positives pour v et y. p

22. O f P y 2- Modèle n°2 FORCES APPLIQUEES • POIDS : • POUSSEE D’ARCHIMEDE : • FORCES DE FROTTEMENT FLUIDE (direction du mouvement, sens opposé au déplacement) : (avec n = 1 ou n=2) p

23. O f P y 2- Modèle n°2 THEOREME DU CENTRE D’INERTIE m a = P + p + f m a = m g - rfV g - m k vn a = g - rfV/m g - k vn Or m = rsV donc a = g - rf/ rs g - k vn a = (1- rf/ rs )g - k vn a = g’ - k vn avec g’ = (1- rf/ rs )g

24. 2- Modèle n°2 THEOREME DU CENTRE D’INERTIE a = g’ - k vn • L’accélération de la bille dépend de sa vitesse  l’accélération dépend du temps • On ne résout pas cette équation facilement

25. III- LA METHODE D’EULER PRINCIPE ET MISE EN OEUVRE

26. 1- LA METHODE D’EULER : PRINCIPE • Méthode numérique utilisée pour résoudre pas à pas une équation différentielle à partir des conditions initiales (en mécanique : position et vitesse, en électricité : tension et intensité du courant) • Basée sur les propriétés de la dérivée

27. 2- EULER : MISE EN OEUVRE • On cherche, par exemple à résoudre par cette méthode l’équation différentielle suivante : • Conditions initiales : • u0 = 0 • (du/dt)0 = E/t Remarque: cette équation sera étudiée plus tard en électricité.

28. 2- EULER : MISE EN OEUVRE • On connaît à t0: u0 et (du/dt)0 • On cherche à t1 =t0+dt : u1 et (du/dt)1 • Et ainsi de suite … • Le problème posé est donc le suivant : • On connaît à ti: ui et (du/dt)i • On cherche à ti+1 =ti+dt : ui+1 et (du/dt)i+1

29. 2- EULER : MISE EN OEUVRE • En maths on a vu que : • On peut donc considérer que :

30. 2- EULER : MISE EN OEUVRE • Transposé à la physique f(x)  u(t) : • Soit pout tout instant t i+1 : • En posant dt = t i+1 –ti, on a : dt est appelé le pas de temps

31. (1) 2- EULER : MISE EN OEUVRE • ITERATIONS :

32. (2) (1) (1) 2- EULER : MISE EN OEUVRE • ITERATIONS :

33. (2) (2) (1) (1) 2- EULER : MISE EN OEUVRE • ITERATIONS :

34. 2- EULER : MISE EN OEUVRE On obtient les formules de récurrence, permetta,t à chaque pas de temps de calculer (ui+1 ; (du/dt)i+1 )à partir de (ui ; (du/dt)i ) : • FINALEMENT et

35. 2- EULER : MISE EN OEUVRE u M i+1 M i Coefficient directeur de la tangente à la courbe à la date ti • Interprétationgraphique M i+1 estimé tangente ERREURCOMMISE u(ti+dt)réel M i+1 u(ti) M i u(ti) t ti ti +dt

36. 2- EULER : MISE EN OEUVRE Mi+1 estimé tangente • POUR AVOIR UNE MEILEURE PRECISION ERREURCOMMISE u(ti+dt) Mi+1 réel u(ti) Mi dt’ On diminue dt ti ti + dt Erreur commise diminue

37. 2- EULER : MISE EN OEUVRE • Influence du pas de temps dt sur la qualité de la simulation

38. III-LA METHODE D’EULER 3-Chute d’une bille dans un fluide

39. 3-Chute d’une bille dans un fluide CONDITIONS INITIALES DU MOUVEMENT Lorsqu’on lâche la bille : • Son accélération est a0 = g’ • Sa vitesse est nulle : v0 = 0 • La bille est à l’origine du repère donc : y0 = 0

40. 3-Chute d’une bille dans un fluide ITERATIONS • v1 = v0 + a0 x dt = v0 + g’ dt • a1 = g’ - k v1n • y1 = y0 + v0 dt Puis : • v2 = v1 + a1 dt = v1 + (g’ –kv1n) dt • a2 = g’ - k v2n • y2 = y1 + v1 dt …

41. 3-Chute d’une bille dans un fluide ITERATIONS • vi+1 = vi + ai x dt • ai+1 = g’ - k vin • yi+1 = yi + vi dt

42. 3-Chute d’une bille dans un fluide Mouvement d’une bille dans du liquide vaisselle vmax = 1,05 m.s-1 , n = 2 , g’ = 8,41 N.kg-1 , k = 7,6(SI)

43. 3-Chute d’une bille dans un fluide Mouvement d’une bille dans du liquide vaisselle vmax = 1,05 m.s-1 , n = 1 , g’ = 8,41 N.kg-1 , k = 8(SI)

44. 3-Chute d’une bille dans un fluide Mouvement d’une bille dans du liquide vaisselle • On peut conclure que pour la bille d’acier tombant dans du liquide vaisselle : • Le mouvement n’est pas un mouvement de chute libre, • Les forces de frottements fluides sont de la forme : f= mkv2