Wie sieht unser Universum aus ?

1. Wie sieht unser Universum aus ? Überlegung aus der Sicht der Mathematik

2. Die Poincaré-Vermutung besagt: Analog zur 2 Mannigfaltigkeit ist auch jede 3 - Mannigfaltigkeit, auf der alle Schleifen nullhomotop sind, bereits der 3 - Sphäre äquivalent.

3. Henri Poincaré: Mathematiker 1854 - 1912

4. Diese Vermutung wurde erst 1 Jhdt später bewiesen durch den Mathematiker Grigori Perelman (2002 bzw. 2006)

5. Was bedeutet diese Vermutung? Analog zur 2 - Mannigfaltigkeit ist auch jede 3 - Mannigfaltigkeit, auf der alle Schleifen nullhomotop sind, bereits der 3 - Sphäre äquivalent.

6. Was ist eine Mannigfaltigkeit? Man könnte sagen: Der Rand Er kann endlich aber auch unendlich sein.

7. 0 - D Rand Die beiden Endpunkte der Strecke ist eine 0 - D Mannigfaltigkeit (endlich) und heißt 0 - Sphäre.

8. Diese 0 - D Mannigfaltikeit ist aber in einem um 1 Dimension höheren Raum eingebettet. (Gerade = 1D)

9. 1 - D Ränder Gerade =Mannigfaltigkeit (unendlich) Kreisfläche Kreis =Mannigfaltigkeit (endlich) Wird auch als 1 - D Sphäre bezeichnet

10. Diese 1 - D Mannigfaltigkeiten sind aber in einem um 1 Dimension höheren Raum eingebettet. (Ebene = 2D)

11. 2 - D Ränder Es gibt unendlich viele Mannigfaltigkeiten (=Ebenen), die den Raum teilen (Ihre Flächen sind unendlich). Es gibt aber nur 3 Typen von Mannigfaltigkeiten, die endlich sind: 2 - D Sphäre (=Oberfläche einer Kugel) (endlich) Krümmung positiv Torus (=Quadrat) (endlich) Keine Krümmung Sattelfläche (endlich) Krümmung negativ

12. Warum gibt s nur diese 3 verschiedenen Mannigfaltigkeiten in 2 - D?

13. Diese 2 - D Mannigfaltikeiten sind aber in einem um 1 Dimension höheren Raum eingebettet. (Raum = 3D)

14. Aus 2 Exemplaren (=Kreisflächen), die die 1 - D Sphären (=Kreise) eingegrenzt haben, können wir diese mit Verformen (= Ausbeulen) zu einer 2-D Sphäre (Kugeloberfläche) machen. Wir kleben die zwei 1 - D Sphären (=Kreise) an allen äquivalenten Punkten zusammen.

15. Aus 2 Exemplaren (=Kugel), die die 2 - D Sphären eingegrenzt haben, können wir diese mit Verformen (= Ausbeulen) zu einer 3 - D Sphäre machen. Wir kleben die zwei 2 - D Sphären (=Kugeloberflächen) an allen gleichen Punkten zusammen.

16. Was bedeutet diese Vermutung? Analog zur 2 -Mannigfaltigkeit ist auch jede 3 -Mannigfaltigkeit, auf der alle Schleifen nullhomotop sind, bereits der 3 -Sphäre äquivalent.

17. Wie kann man erkennen auf welcher Mannigfaltigkeit, die in einer um einer Dimension höheren Dimension eingebettet ist als sie selbst, man sich befindet?

18. In 2 - D Nullhomotop ------ 1 - D Sphäre

19. In 3 - D Nullhomotop ------ 2 - D Sphäre

20. In 3-D Nicht Nullhomotop ------ 2 - D Torus

21. In 3 - D Nicht Nullhomotop ---- 2 - D Doppel - Torus

22. Was bedeutet diese Vermutung? Analog zur 2 - Mannigfaltigkeit ist auch jede 3 - Mannigfaltigkeit, auf der alle Schleifen nullhomotop sind, bereits der 3 - Sphäre äquivalent.

23. Was bedeutet das für die Form unseres Universums?

24. Aus der Geschichte sollte man lernen! Man glaubte: Die Erde ist eine Scheibe, da sie flach ist und begrenzt ist. Man konnte sich nicht vorstellen, dass ein Fläche unbegrenzt und doch endlich groß sein kann. (Die Krümmung im Raum konnte man nicht erkennen!)

25. Wie kann ich erkennen, ob ich auf einer 2 - D Sphäre lebe? Ich mache einen Kreis und messe sowohl Durchmesser als auch Umfang und vergleiche!

26. Wie kann ich erkennen, ob ich auf einer 3 - D Sphäre lebe? Ich nehme einen Kreiselkompass und mache mit ihm eine Kreisreise. Wenn ich beim Ausgangspunkt angekommen bin muss der Kreiselkompass wieder in die gleiche Richtung zeigen!

27. Wie schaut es in verschiedenen Dimensionen aus, wenn ich mich auf einer 2 - D Sphäre bewege? Wenn ich mich immer in dieselbe Richtung bewege, komme ich wieder am Ausgangspunkt an!

28. Wie schaut es aus, wenn ich mich auf einem Torus bewege? In 2 - D: A B http://www.geometrygames.org/TorusGames/index.html

29. Wie schaut es in 3 - D aus, wenn ich mich auf einer 3 - D Sphäre bewege? Wenn ich mich immer in dieselbe Richtung bewege, komme ich wieder am Ausgangspunkt an!

30. Wie kann ich erkennen in welchem Universum wir leben?

31. In einer 3 - D Sphäre: Wenn das Universum endlich und nicht zu groß ist, müssten wir rundherum blicken können. Ein und dasselbe Gebilde müsste nicht nur 1 Mal zu sehen sein. (Statistisches Problem -Kosmische Kristallographie)

32. In einer 3 - D Sphäre: Geschlossene Schleifen, die sich nicht auf einen Punkt schrumpfen lassen, müssten sich im Paarverteilungshistogramm (math. Werkzeug zur Suche nach Periodizität) als Spitzen zeigen. Das Fehlen solcher Spitzen würde darauf schließen lassen, dass unser Universum einfach zusammenhängend ist.

33. In einer 3 - D Sphäre: In einem einfachen nicht zusammenhängenden Universum müssten die so genannten „letzten streuenden Oberflächen“ entlang ihrer Schnitte blasse Kreise bilden. Auf Grund der Anordnung der Kreise könnte man auf die Form des Universums schließen. Bis jetzt wurden trotz intensiver Suche keine Kreise gefunden. (Entweder das Universum ist zu groß oder einige „rauschende“ Quellen überlagern die Keise.) Seifenblasennebel

34. Die neuesten astronomischen Beobachtungen weisen darauf hin, dass die durchschnittliche Krümmung unseres Universums dicht bei Null liegt. Würde für einen Hypertorus (Torus in 3 - D) sprechen! Auf Grund von Perelmans Arbeit wissen wir, dass das Universum positiv gekrümmt sein muss, wenn es nur eine endliche Anzahl von nicht äquivalent geschlossenen Schleifen gibt. Wie soll man das aber beweisen?

35. Ob das Universum eine 3 - Sphäre ist, die in einem 4 - D Raum eingebettet ist oder ob noch mehr Dimensionen involviert sind, wie die Stringtheoretiker glauben, wird sicher noch nicht so schnell geklärt werden können. Hauptproblem: Menschen können sich keine 4 - D Gebilde vorstellen. HP