תרגול 6

1. תרגול 6 AVL Trees

2. עצי AVL • Height- Balance Property • For every internal node v of a tree T, the height of the children nodes of v differ by at most 1. • AVL Tree • Any binary search tree that satisfies the Height-Balance property. • AVL Interface • The AVL interface supports the following operations in O(log n): • insert, search, delete, maximum, minimum, predecessor and successor. • AVL Height • Lemma: The height of an AVL tree storing n keys is O(logn)

3. עצי AVL • דוגמא של עץ AVL:

4. איזון בעץ AVL • כאשר תכונת איזון הגובה מופרת בהכנסה\הוצאה של קודקוד(נוצר קודקוד שהפרש הגבהים בין שני בניו הוא 2), צריך לאזן את העץ. • האיזון נעשה בקודקודהנמוך ביותר בו מופר האיזון • סיבוב יחיד: • כאשר חוסר האיזון מצורת או

5. איזון בעץ AVL • כאשר תכונת איזון הגובה מופרת בהכנסה\הוצאה של קודקוד(נוצר קודקוד שהפרש הגבהים בין שני בניו הוא 2), צריך לאזן את העץ. • האיזון נעשה בקודקודהנמוך ביותר בו מופר האיזון • סיבוב יחיד: • כאשר חוסר האיזון מצורת או הדגמה: • סיבוב כפול: • כאשר חוסר האיזון מצורת או • את הסיבוב הראשון נבצע מתחת לקודקוד הלא מאוזן, כדי להביא לחוסר איזון מצורת \ 15 10 h=10 h=10 h=11

6. שאלה 2 • הכניסו את האיברים הבאים לפי הסדר לעץ AVL (העץ ריק בהתחלה): 10, 20, 15, 25, 30, 16, 18, 19 חוסר איזון מצורת – סיבוב כפול קודקוד לא מאוזן 10 20 15

7. שאלה 2 • הכניסו את האיברים הבאים לפי הסדר לעץ AVL (העץ ריק בהתחלה): 10, 20, 15, 25, 30, 16, 18, 19 חוסר איזון מצורת – סיבוב כפול קודקוד לא מאוזן 10 15 20

8. שאלה 2 • הכניסו את האיברים הבאים לפי הסדר לעץ AVL (העץ ריק בהתחלה): 10, 20, 15, 25, 30, 16, 18, 19 15 20 10 25 30

9. שאלה 2 • הכניסו את האיברים הבאים לפי הסדר לעץ AVL (העץ ריק בהתחלה): 10, 20, 15, 25, 30, 16, 18, 19 חוסר איזון מצורת – סיבוב יחיד 15 קודקוד לא מאוזן קודקוד לא מאוזן 20 10 25 30

10. שאלה 2 • הכניסו את האיברים הבאים לפי הסדר לעץ AVL (העץ ריק בהתחלה): 10, 20, 15, 25, 30, 16, 18, 19 חוסר איזון מצורת – סיבוב כפול קודקוד לא מאוזן 15 10 25 30 20 16

11. שאלה 2 • הכניסו את האיברים הבאים לפי הסדר לעץ AVL (העץ ריק בהתחלה): 10, 20, 15, 25, 30, 16, 18, 19 חוסר איזון מצורת – סיבוב כפול 15 20 10 25 16 30

12. שאלה 2 • הכניסו את האיברים הבאים לפי הסדר לעץ AVL (העץ ריק בהתחלה): 10, 20, 15, 25, 30, 16, 18, 19 חוסר איזון מצורת – סיבוב יחיד 20 קודקוד לא מאוזן קודקוד לא מאוזן קודקוד לא מאוזן 15 25 30 10 16 18 19

13. שאלה 2 • הכניסו את האיברים הבאים לפי הסדר לעץ AVL (העץ ריק בהתחלה): 10, 20, 15, 25, 30, 16, 18, 19 20 15 25 30 10 18 19 16

14. שאלה 2 • כעת הסירו את האיבר 30 חוסר איזון מצורת – סיבוב כפול 20 קודקוד לא מאוזן 15 25 30 10 18 19 16

15. שאלה 2 • כעת הסירו את האיבר 30 18 15 20 19 25 10 16

16. שאלה 1 • קודקוד בעץ בינארי T נקרא בן יחיד אם יש לו קודקוד הורה ואין לו קודקוד אח (השורש אינו בן יחיד) • יחס הבדידות של עץ T מוגדר כמספר הבנים היחידים בעץ חלקי מספר כל הקודקודים בעץ LR(T) = (The number of nodes in T that are only children) / (The number of nodes in T) • הוכיחו כי בכל עץ AVLT מתקיים

17. שאלה 1 • הוכיחו כי בכל עץ AVLT מתקיים פתרון: אם קודקוד בעץ AVL הוא בן יחיד, אז הוא עלה (למה?) לכל בן יחיד יש קודקוד אבא, ולשני בנים יחידים שונים יש אבות שונים (למה?) מספר הבנים היחידים + האבות שלהם = 2 * מספר הבנים היחידים (למה?) סה"כ מספר הקודקודים בעץ ≤ מספר הבנים היחידים + האבות שלהם = 2 * מספר הבנים היחידים לכן

18. שאלה 1 • קודקוד בעץ בינארי T נקרא בן יחיד אם יש לו קודקוד הורה ואין לו קודקוד אח (השורש אינו בן יחיד) • יחס הבדידות של עץ T מוגדר כמספר הבנים היחידים בעץ חלקי מספר כל הקודקודים בעץ • LR(T) = (The number of nodes in T that are only children) / (The number of nodes in T) • הוכיחו כי בכל עץ AVLT מתקיים • האם נכון שלכל עץ בינארי T, אם אז Height(T)=O(log n)?

19. … … שאלה 1 • האם נכון שלכל עץ בינארי T, אם אז Height(T)=O(log n)? פתרון:זה לא נכון. זה רק אומר שיש לכל היותר בנים יחידים. דוגמאות נגדיות: קודקודים עץ מלא בגודל

20. שאלה 1 • קודקוד בעץ בינארי T נקרא בן יחיד אם יש לו קודקוד הורה ואין לו קודקוד אח (השורש אינו בן יחיד) • יחס הבדידות של עץ T מוגדר כמספר הבנים היחידים בעץ חלקי מספר כל הקודקודים בעץ • LR(T) = (The number of nodes in T that are only children) / (The number of nodes in T) • הוכיחו כי בכל עץ AVLT מתקיים • האם נכון שלכל עץ בינארי T, אם אז Height(T)=O(log n)? • האם נכון שבכל עץ בינארי T, אם יש בנים יחידים, שכולם עלים, אז Height(T)=O(log n)?

21. שאלה 1 • האם נכון שבכל עץ בינארי T, אם יש בנים יחידים, שכולם עלים, אז Height(T)=O(log n)? פתרון:זה לא נכון. דוגמה נגדית:

22. שאלה 3 • במימוש לAVL שלמדתם בכיתה, לכל קודקוד שדה נוסף h, ששומר את גובה הקודקוד. בגובה משתמשים בכדי לאזן את העץ. • מכיוון שגובה הקודקוד יכול להיות עד log(n), דרושים log(log(n)) ביטים בכל קודקוד לשמירת שדה הגובה. • כיצד ניתן להקטין את מספר הביטים שעל כל קודקוד לשמור?

23. שאלה 3 • כיצד ניתן להקטין את מספר הביטים שעל כל קודקוד לשמור? פתרון: במקום לשמור את הגובה, כל קודקוד ישמור רק את מצב האיזון שלו – אם תת-העץ השמאלי\ימני גבוה יותר או אם הוא מאוזן • 00 ’/’ – h(x.left) > h(x.right) • 01 ’–‘ – h(x.left) = h(x.right) • 10 ’\’ - h(x.left) < h(x.right) כיצד נדע מתי ואיפה יש לבצע סיבוב\סיבוב כפול בהכנסה בהצגה הנ"ל?

24. שאלה 3 בצעו הכנסה של האיבר 40. כיצד ישתנו הסמנים? כיצד מזהים היכן יש לבצע סיבוב? • הדגמה:

25. שאלה 3 • במימוש לAVL שלמדתם בכיתה, לכל קודקוד שדה נוסף h, ששומר את גובה הקודקוד. בגובה משתמשים בכדי לאזן את העץ. • מכיוון שגובה הקודקוד יכול להיות עד log(n), דרושים log(log(n)) ביטים בכל קודקוד לשמירת שדה הגובה. • כיצד ניתן להקטין את מספר הביטים שעל כל קודקוד לשמור? • הציעו דרך למציאת גובה העץ במימוש שהוצע ב1?

26. שאלה 3 • הציעו דרך למציאת גובה העץ במימוש שהוצע ב1? פתרון: גובה העץ = העומק המקסימלי של עלה בעץ נרד לעלה העמוק ביותר, ע"י כך שבכל התפצלות נבחר את הצד הגבוה יותר מה יקרה אם נוריד את התנאי הזה?

27. שאלה 4 • הליכה לפי שלבים מוגדרת כביקור בקודקודים בעץ כך שמבקרים קודם בקודקודים עם עומק נמוך יותר (ובאותו עומק מבקרים משמאל לימין). • מהו הסדר של ההליכה לפי שלבים בעץ הבא:

28. שאלה 4 • מהו הסדר של ההליכה לפי שלבים בעץ הבא: Answer: F B H A D G J C E I

29. שאלה 4 • הליכה לפי שלבים מוגדרת כביקור בקודקודים בעץ כך שמבקרים קודם בקודקודים עם עומק נמוך יותר (ובאותו עומק מבקרים משמאל לימין). • מהו הסדר של ההליכה לפי שלבים בעץ הבא: • הציעו אלגוריתם לביצוע הליכה לפי שלבים בעץ בינארי נתון T.

30. שאלה 4 • הציעו אלגוריתם לביצוע הליכה לפי שלבים בעץ בינארי נתון T. פתרון: • נשתמש בתור (Queue) של קודקודים: • כל עוד המחסנית אינה ריקה, נוציא את הקודקוד הראשון בתור, נדפיס אותו ונכניס את בניו לתור. • נתחיל עם תור שמכיל רק את השורש PrintLevelOrder(AVL T) if (T.root ≠ null) Q.enqueue(T.root) while(!Q.isEmpty()) n ← Q.dequque() print(n.val) if (T.left ≠ null) Q.enquque(n.left) if (T.right ≠ null) Q.enquque(n.right) מה יקרה אם נעביר שורה זו לסוף? מה יקרה אם נחליף בין 2 השורות הללו?

31. שאלה 4 • הליכה לפי שלבים מוגדרת כביקור בקודקודים בעץ כך שמבקרים קודם בקודקודים עם עומק נמוך יותר (ובאותו עומק מבקרים משמאל לימין). • מהו הסדר של ההליכה לפי שלבים בעץ הבא: • הציעו אלגוריתם לביצוע הליכה לפי שלבים בעץ בינארי נתון T. • האם ניתן לבנות כל עץ AVL חוקי ע"י פעולות BST של הכנסה ומחיקה של ערכים (ללא סיבובים), כך שלאחר כל הכנסה\מחיקה העץ יישאר מאוזן?

32. שאלה 4 • האם ניתן לבנות כל עץ AVL חוקי ע"י פעולות BST של הכנסה ומחיקה של ערכים (ללא סיבובים), כך שלאחר כל הכנסה\מחיקה העץ יישאר מאוזן? פתרון: כן, נכניס את האיברים לפי סדר הרמות שלהם. שאלה נוספת (אם יש זמן): יהיה T עץ AVL הנבנה ע"י הכנסת הקודקודים הבאים (לפי הסדר, משמאל לימין): ,61,2,5,3,4,7,8 כיצד יש להכניסם לפי האלגוריתם הנ"ל? כיצד ניתן לממש את הפקודה הזאת?

33. שאלה 5 • הציעו מבנה נתונים שתומך בפעולות הבאות בזמנים הנתונים. הסבירו כיצד ממשים את הפעולות. For example, for the following sequence of actions: Insert(3), Insert(5), Insert(11), Insert(4), Insert(7), Delete(5) Get_place(7) returns 4, and Delete_in_place(2) will delete 11 from the tree.

34. שאלה 5 • הציעו מבנה נתונים שתומך בפעולות הבאות בזמנים הנתונים. הסבירו כיצד ממשים את הפעולות. פתרון: נשמור 2 עצי AVL, אחד ממוין לפי מפתח, ואחד ממוין לפי זמן הכנסה. לכל קודקוד יהיה מצביע לקודקוד המקביל בעץ השני. בנוסף, כל קודקוד בעץ T2 (הממוין לפי זמן הכנסה) יכיל שדה של גודל תת-העץ המושרש בו. Example: Delete(5) Insert(3), Insert(5), Insert(11), Insert(4), Insert(7)

35. שאלה 5 • הציעו מבנה נתונים שתומך בפעולות הבאות בזמנים הנתונים. הסבירו כיצד ממשים את הפעולות. פתרון: נשמור 2 עצי AVL, אחד ממוין לפי מפתח, ואחד ממוין לפי זמן הכנסה. לכל קודקוד יהיה מצביע לקודקוד המקביל בעץ השני. בנוסף, כל קודקוד בעץ T2 (הממוין לפי זמן הכנסה) יכיל שדה של גודל תת-העץ המושרש בו. אילו שינויים ניתן לבצע על מנת להשתמש בעץ AVL סטנדרטי? (ממיין לפי שדה כלשהו בקודקוד) Init() – initialize 2 empty trees Insert(x) – insert an element by key into T1, insert the element as the biggest to T2, and update the pointers. In T2 update the in T2 the field x.size in the insertion path. (The insertion is as in AVL tree) Delete(x) – find the element in T1 (regular search), and delete it from both the trees. In T2, go up from the deleted element to the root and update x.size for all the nodes in this path. (The deletion is as in AVL tree)

36. שאלה 5

37. שאלה 5

38. שאלה 6 • פקיד רוצה לשמור רשימה של המטלות שלו. לכל מטלה יש מספר מזהה ייחודי, ולכל מטלה הפקיד מעוניין לשמור האם היא כבר בוצעה או לא. • הציעו מבנה נתונים שיבצע עבור הפקיד את הפעולות הבאות בO(log n) במקרה הגרוע. • Insert(k, t) - Insert a new task twith id = k to the data structure, at first mark the task as not completed. • Update(k) – Update task with ID = k to be completed. • FindDiff(k) – Find the difference between the number of completed and incomplete (| #of completed – #of incomplete|) among all the tasks with ID smaller than k.

39. שאלה 6 • Insert(k, t) - Insert a new task twith id = k to the data structure, at first mark the task as not completed. • Update(k) – Update task with ID = k to be completed. • FindDiff(k) – Find the difference between the number of completed and incomplete (| #of completed – #of incomplete|) among all the tasks with ID smaller than k. פתרון: נשתמש בעץ AVLממויין לפי המספר המזהה, בו כל קודקוד מכיל 2 שדות נוספים – מספר המטלות שבוצעו ולא בוצעו בתת-העץ המושרש בו.

40. שאלה 6 == 0 1

41. שאלה 6

42. שאלות נוספות (אם יש זמן) • מה יהיה שדה הsize של הקודקודים הבאים בעץ, לאחר הסיבוב? • האם ייתכן עץ הAVL הבא, לאחר הכנסה (אך לפני הסיבוב)? • האם זה ייתכן לאחר מחיקה? • האם ייתכן עץ AVL עם 2 עלים, אחד בעומק 17 ואחד בעומק 31? • בעץ לפי מיקום (בו כל קודקוד חדש נכנס כהכי גדול), מצאו חסם על מספר הסיבובים שיהיו בהכנסת nקודקודים? key=15 size= 24 key=20 size= 16 key=8 size= 7 key=4 size= 3 key=10 size= 3