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6.3 平面自治系统的基本概念

6.3 平面自治系统的基本概念. 一 相平面、相轨线与相图. 二 平面自治系统的三个性质. 三 常点、奇点与闭轨. 一 相平面、相轨线与相图. 自治系统轨线的特点. 自治系统在任意时刻从相空间同一点出发的解轨线. 均相同。而非自治系统在不同时刻从同一点出发的. 轨线则不一定相同. 例 2 求自治系统. 由此可见，该自治系统在任意时刻 从. 当 时过点 的轨线方程. 解 : 求该初始值问题的解得. 消去解的表达式中的参数 t 得轨线的方程为. 出发的解在相空间的轨线均相同。而非.

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6.3 平面自治系统的基本概念

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Presentation Transcript

  1. 6.3 平面自治系统的基本概念 一 相平面、相轨线与相图 二 平面自治系统的三个性质 三 常点、奇点与闭轨

  2. 一 相平面、相轨线与相图

  3. 自治系统轨线的特点 自治系统在任意时刻从相空间同一点出发的解轨线 均相同。而非自治系统在不同时刻从同一点出发的 轨线则不一定相同. 例2 求自治系统

  4. 由此可见，该自治系统在任意时刻 从 当 时过点 的轨线方程. 解: 求该初始值问题的解得 消去解的表达式中的参数 t 得轨线的方程为

  5. 出发的解在相空间的轨线均相同。而非 (1) 自治系统就不一定具有这样的性质. 例3 求解下面两个初始值问题，并分析它们 的轨线

  6. (2) 其轨线为 ，初值问题（2）的解为 解 初值问题（1）的解为

  7. 其轨线为 显然自治系统（1）所描述的质点无论何 时从点 出发都会沿同一条曲线运动。非自 治系统(2)所描述的质点运动的轨迹取决于它 从点 出发的初始时刻 。

  8. 二 平面自治系统的性质

  9. 设 关于 满足解的存在惟 一性条件，则过相平面上任一点 系统 (6.3.1)两个解 性质2 轨线的唯一性 (6.3.1)有且只有一条轨线经过。换句话说，如果 有一个公共点，则相平面上这两个解的轨线完全 重合

  10. 证 设 ，由解的存在惟一性定理系统 (6.3.1)的满足 的解 假设系统另一条轨线 也经 过点 ，即存在 使得 是存在的。

  11. 且 满足（6.3.1），则由性质1知， 仍然为系统(6.3.1)的解。显然解 与

  12. 这就说明了解 与 在相平面上的轨线是 重合的. 一性定理得出对于所有的 都有 ， 在 时候有相同的值，因此由解的存在惟 即：

  13. P0

  14. 性质2它的含义是自治系统的不同轨线在相平面上是不相交的。由性质1，性质2知我们在6.3.1的解中，只需要讨讨论初始时刻 的解并简记为 从而有下边的性质3。

  15. 性质3对于任意的 有 其中 ， 。

  16. 三 常点、奇点与闭轨 自治系统(6.3.1)式的一个解x = x(t),y = y(t)所对应的轨线可分为两种情形：自身不相交和自身相交的. 轨线自身相交是指，存在不同时刻t１，t２，使得 这样的轨线又有以下两种可能形状：

  17. 由此，我们有结论：自治系统(6.3.1)式的一条轨线只可能是下列三种类型之一：由此，我们有结论：自治系统(6.3.1)式的一条轨线只可能是下列三种类型之一： • (1)奇点， • (2)闭轨， • (3)自不相交的非闭轨线.

  18. 解 (6.3.5)是一个自治系统，且可以消去 后将 例4 描出下列单摆方程的轨线。 (6.3.5)

  19. (6.3.6) 其化为： 容易求（6.3.6）的解为 。 这是(6.3.5)的轨线所满足的方程，由此即可画出 其轨线。 (见下图5.6)。

  20. 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

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