Nonlinear Equations Resolution: Key Points and Methods for Efficient Solutions

1. Resolução de equações não lineares Pontos mais importantes: -número de raízes -métodos iterativos -ordem de convergência -métodos intervalares -bissecções sucessivas -falsa posição -métodos abertos -iteração de ponto fixo -Newton-Raphson -Secante -critérios de paragem -caso especial: multiplicidade de zeros 1

2. Raízes das funções f(x)=ax2+bx+c f(x)=log(2x)+sinh(3x) Raíz(es): x= ? tal como f(x)=0 x= ? tal como f(x)=0 implícito explícito métodos numéricos 2

3. velocidade, m/s tempo, s -exemplo de queda livre: m=0.5 kg, c=0.29, g=9.81 m/s2 - se for c uma incognita? -------> 3

4. Exemplos de problemas em engenharia 4

5. Número de zeros -f(x) é uma função contínua no intervalo [a,b], o número de zeros é: -ímpar (pelo menos uma) se f(a)*f(b)<0 -par (pode ser 0) se f(a)*f(b)>0 -se mais do que um f ’(x) também tem pelo menos uma raíz 5

6. Métodos iterativos -carácter iterativo: a partir de alguns valores iniciais (x1, x2,...xs-1) da raiz (z) construímos uma nova aproximação xs supostamente melhor: ou 6

7. ~ Ordem (velocidade) de convergência -comparação de dois métodos iterativos: se xk e Xk convergem para o mesmo limite, e: Xk converge mais rapidamente. -ordem de convergência (p): -comentários: -quanto maior for p mais rápida a convergência -p=1 -----------> M<1 -p>1 -----------> e0 suficientemente pequeno 7

8. Métodos de localização de zeros 1, Métodos intervalares: -mudança de sinais na vizinhança de zero -duas estimativas iniciais -método gráfico -bissecções sucessivas -falsa posição 8

9. Método gráfico -exemplo de queda livre: f(c) c c 9

10. Algoritmo: 1. passo: escolha xl (limite inferior) e xu (limite superior) tal que f(xl)*f(xu)<0 2. passo: 3. passo: a, se f(xl)*f(xr)<0 -----> xu = xr b, se f(xu)*f(xr)<0 -----> xl = xr c, se f(xu)*f(xr)=0 -----> z= xr , fim 4. passo: volta 2. Bissecções Sucessivas (BS) -f é uma função contínua no intervalo [a,b] e f(a)*f(b)<0; existe pelo menos um zero neste intervalo. -divisões sucessivas a meio de [a,b] para subintervalos [ak,bk] tal que f(ak)*f(bk)<0. 10

11. Exemplo queda livre: m= 0,5 kg; t= 3s; v= 13,6 m/s c= 0,3013 (ea=-0,29%) 11

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13. -explicação gráfica: http://www.cse.illinois.edu/iem/nonlinear_eqns/Bisection/ Critério de paragem 1, 2, - convergência linear (p=1) - c=0.5 13

14. f(xu) xl xr f(xl) xu f(xr) Falsa Posição(FAP) -o método de BS não utiliza a informação sobre o valor f(a) e f(b) z -algoritmo igual a BS excepto passo 2. 14

15. Características do método FAP -só um dos limites são alterados: -função convexa: xl -função côncava: xu -no caso de conv., o limit [xl, xu] aproxima uma constante com k-->inf.: -função convexa: xu-z -função côncava: xl-z -ordem de convergência: -p=1 -c<1 -normalmente mais rápido que BS mas não sempre (exemplo: f(x)=x10-1) Critério de paragem f(x)<e 15

16. Exemplo queda livre: m= 0,5 kg; t= 3s; v= 13,6 m/s c= 0,3016 (ea=0,01%) 16

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18. Métodos de localização de zeros 1, Métodos abertos: -uma ou duas estimativas iniciais -Iteração de ponto fixo -Newton-Raphson -Secante 18

19. Iteração de ponto fixo(IPF) -métodos iterativos em forma geral: xk+1=G(xk) -no caso de convergência (f(z))=0: ou seja z=G(z) -o ponto z é um ponto que a função G transforma-se nela própria. -em geral, para uma dada f(x)=0 é possível escolher várias G(x) -x=x+f(x)=G(x) f(x)=sin(x) ---> G(x)=sin(x)+x -outros exemplos para f(x)=x3-x-1, G(x)=: 19

20. Convergência de IPF -não é sempre convergente para a solução -critério de convergência: • xk+1=G(xk) e z=G(z) • z- xk+1= G(z)- G(xk) aplicando o teorema do valor médio conduz-nos a: e z- xk+1= (z- xk)G´ (x) ou Ek+1= G´(x) Ek ----> |G´(x)|<1 -convergência linear (p=1), 20

21. y y=x y y=x x x y y=x y y=x x x 0>G´(x)>-1 0<G´(x)<1 y=G(x) y=G(x) x2 x0 x1 x1 x0 x2 y=G(x) G´(x)<-1 y=G(x) x0 x2 x0 x1 x1 21 G´(x)>1

22. m= 0,5 kg; t= 3s; v= 13,6 m/s Exemplo: c= 0,3016 (ea=0,02%) 22

24. f(x0) x2 x1 x0 Método de Newton-Raphson(NR) -talvez o mais popular, só precisamos de uma (boa) estimativa inicial -algoritmo: 1, escolha x0 2, 3, continua 2 até que o critério de paragem seja satisfeito Expansão de Taylor: 24

25. Convergência de NR aproximação: exacto: subtracção: -não converge sempre (exemplos gráficos) -não é conveniente programar a derivada http://www.cse.illinois.edu/iem/nonlinear_eqns/Newton/ 25

26. m= 0,5 kg; t= 3s; v= 13,6 m/s Exemplo: c= 0,3016 (ea=0,00%) 26

27. f(x0)=a* x0 +b f(x1)=a* x1 +b 0=a x2 +b f(x0) x2 x1 x0 Método de Secante (SEC) -duas estimativas iniciais, modificação de NR -algoritmo: 1, escolha x0 e x1 2, 3, continua 2 até o critério de paragem ser satisfeito 27

28. Convergência de SEC -pode ser demonstrado que o erro Ek+1: -ordem de convergência p é apróx. 1.618 -diferenças entre os métodos de FAP e SEC 28

29. FAP: SEC: -explicação gráfica: http://www.cse.illinois.edu/iem/nonlinear_eqns/Secant/ 29

30. m= 0,5 kg; t= 3s; v= 13,6 m/s Exemplo: c= 0,3016 (ea= 0,00%) 30

31. Critérios de paragem 1, Número de iterações: k<kmax 2, Valor da função: f(x)<e 3, Amplitude de intervalo: [xl,xu]<d 4, Diferença entre it. consecutivas: 31

32. Método Função Nº X Ordem de Conv. 0 conv. Intervalares: + BS 2 1 sempre x x = l u x r 2 FP 2 1 sempre - f ( x )( x x ) - u l u x = x - r u f ( x ) f ( x ) l u Abertos: x IPF x =G(x ) 1 1 |G´( )|<1 k+1 k f ( x ) = - k ¢ ¢ f ( x ) f ( x ) x x NR 1 2 £ < k 1 + ¢ k 1 k f ( x ) ¢ 2 ( f ( x )) k - f ( x )( x x ) £ u u u - = - k k 1 k x x SEC 2 1<p<2 k + 1 k k - 1 + - k 1 k f ( x ) f ( x ) - k 1 k Sumário 32

33. 33