Understanding Vector Components and Tension States in Mechanical Engineering

1. Z g b X Y Componentes de un vector V = Vx + Vy + Vz Vx = V· cos a = V· a Vz V Vy= V· cos b = V · b Vz = V· cos g = V · g a Vx Vy

2. k s = sx + sy + sz g b i j Componentes del vector tensión sx = s · a sz s sy= s · b sz = s ·g a sx s y u = a · i + b · j + g· k 1 = a2 + b2 + g2

3. a 0 0 i = u 0 b 0 * j g 0 0 k sx 0 0 i s = sy 0 0 * j sz 0 0 k Componentes de un vector

4. z snz tzx tzy txz snx tyz snx txy x txy txz tyx sny y Estado tensional de un punto

5. z snz tzy tzx txy txz tyz snx snx x txy txz tyx sny y Estado tensional de un punto dy·dx·snz dx·dz·tyz dy·dz·txz S Fx = 0 dy·dz·snx+dx·dz·tyx+dy·dx·tzx = dy·dz·snx+dx·dz·tyx+dy·dx·tzx S Fy = 0 dy·dz·txy+dx·dz·sny+dy·dx·tzy = dy·dz·txy+dx·dz·sny+dy·dx·tzy S Fz = 0 dy·dz·txz+dx·dz·tyz+ dy·dx·snz= dy·dz·txz+dx·dz·tyz+ dy·dx·snz

6. txy txz tyz snx snx txy txz tyx sny Estado tensional de un punto z Mx =(dy·dx·snz )·dy·1/2 - (dy·dx·snz )·dy·1/2 snz My =(dy·dx·snz )·dx·1/2 - (dy·dx·snz )·dx·1/2 tzy tzx Mx =(dy·dx· tzy)·dz x My =(dy·dx· tzx)·dz S Mx = 0 => y (dx·dz·tyz )·dy – (dy·dx·tzy)·dz = 0 S My = 0 => (dy·dx·tzx )·dz – (dy·dz·txz )·dz = 0 S Mz = 0 => (dx·dz·txx )·dy – (dy·dz·txy)·dx = 0 Teorema de la reciprocidad de las Tensiones Tangenciales

7. Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales tzy = tyz tzx = txz txy = tyx

8. Vectores tensión en un punto SFx = 0 => snx dy dz + tzx dx dy + tyx dx dz = X SFy = 0 => sny dx dz + tzy dy dx + txy dy dz = Y SFz = 0 => snz dx dy + txz dy dz + tyz dx dz = Z Tomamos momentos respecto al eje Z, Y, X SMx = 0 => ( tzy dx dy ) dz - ( tyz dx dz ) dy = 0 SMy = 0 => ( tzx dy dx ) dz - ( txz dy dz ) dx = 0 SMz = 0 => ( txy dy dz ) dx - ( tyx dx dz ) dy = 0 Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales

9. z N snx dW txy x txz y Tensiones principales de un punto dSx = dW·a dSy = dW ·b dSz = dW · g

10. z snx s1 txy x s2 txz s3 y Tensiones principales de un punto N s = s1+ s2 + s3 s1  s2s3

11. sx txz snx txy a sy = tyx sny tyz s = * b snz tzx tzy sz g Condiciones de equilibrio sx dW = snx dW a + tyx dW b + tzx dW g sy dW = txy dW a + sny dW b + tzy dW g sz dW = txz dW a + tyz dW b + snz dW g cosenos directores [ s  = [ T  * [ u

12. txz snx txy = T tyx sny tyz snz tzx tzy sx txz snx txy a sy = tyx sny tyz s = * b snz tzx tzy sz g Matriz de tensiones s = T * u cosenos directores

13. 0 = (snx -s )*a + tyx * b + tzx * g 0 = txy * a + (sny - s)*b + tzy * g 0 = txz * a + tyz * b + (snz -s)*g (snx -s ) tyx tzx = 0 txy (sny - s) tzy txz tyz (snz -s) Tensiones y direcciones principales [ s  = [ T  * [ u Existe un plano cuya tensión es perpendicular a él: Su determinante es : que desarrollado es -s3 + I1 s2 - I2s + I3 = 0

14. Calculo matricial

15. Calculo matricial

16. Tensiones y direcciones principales [ s  = [ T  * [ u Ecuación característica o secular -s3 + I1 s2 - I2s + I3 = 0 Tensiones principales : son las raíces de la ecuación donde : I1 = snx + sny+ snz I2 = snxsny+snysnz+snzsnx-t2yz-t2zx-t2xy I3 = |T|

17. dFN dFt s1 s n = t = 0 0 dS dS = T s2 0 0 s3 0 0 Tensiones Principales s = s1 .a .i + s2 .b .j + s3 .g .k sn = s. u = s1. a2 + s2 . b2 + s3. g2 t2 = s2 - sn2

18. s1 s2 s1 s1 0 0 0 0 s3 x y z a b g s2 0 0 s2 0 0 = s3 s3 0 0 0 0 x2 y2 z2 + + = 1 s12 s22 s32 Tensiones y direcciones principales s1 >s2 >s3 Direcciones principales x = a s1 y = b s2 z = g s3 => => Elipsoide de Lamé

19. z x y z x* y* z* = s1 s2 x a1 a3 a2 s3 b1 b2 b3 g3 g1 g2 y Cambio de sistema de referencia

20. Unidades utilizadas en Tensiones. • Sistema C.G.S. => dynas/cm2 = 0,1 Pa • Sistema Internacional => Newton/m2 = 1 Pa • Sistema Técnico => 1 Kp/m2 = 9,8 Pa • Utilizamos => 1 Kg/cm2 = 9,8 . 10 4 Pa = 10 4 Kp/m2

21. dF dFN dFt Componentes Intrínsecas de la Tensión t = s = s n = dS dS dS Tensiones principales s1  s2s3 Cosenos directores s = s1 .a .i + s2 .b .j + s3 .g .k Conclusiones Solicitaciones sobre un prisma mecánico. Matriz de tensiones

22. 2 1 0 = T 1 -1 2 3 0 2 Problema Nº 1 En un punto P de un sólido elástico la matriz de tensiones referida al triedro OXYZ es: Calcular en el punto P el vector correspondiente a un plano cuya normal exterior está definida por un vector que forma ángulos iguales de 45º con los ejes X e Y y siendo positivas sus componentes. Indicar si las tensiones principales son de tracción o de compresión.

23. u = \2 / 2· i + \2 / 2 · j + 0· k 2 1 0 = T 1 -1 2 3 0 2 txz snx 2 txy 1 0 \2 / 2 3·\2 / 2 [s] = 1 tyx -1 sny 2 tyz = \2 / 2 = = * * 0 3 snz 2·\2 / 2 tzx 0 2 tzy 0 sx a s = 3·\2 / 2· i + 0· j + \2· k sy b sz g Problema Nº 1

24. 2-s 1 0 0 = 1 -1-s 2 3-s 0 2 Problema Nº 1 0 = s3 - 4s2 - 4s +17 s1 = 4 s2 = 2,1 s3 = -2,1

25. 2 1 0 [T] = 1 -1 2 3 0 2 s = 3·\2 / 2· i + 0· j + \2· k Problema Nº 1 s = s1 .a .i + s2 .b .j + s3 .g .k s1 = 4 s2 = 2,1 s3 = -2,1 sn= s. u = s1. a2 + s2 . b2 + s3. g2 = 4·(2/4) +2,1·0 –2,1·(1/2) = 1,95 t2 = s2 - sn2 = 9·(1/4) + (1/2) – (1,95) 2 t= -1,05

26. Problema Nº 2 Las tensiones principales en un punto P de un sólido elástico, referidas a un sistema cartesiano ortogonal OXYZ y expresadas en MPa son: s1 = 50/3.(2 .i + 2 .j + k) s2 = 20 .i - 10 .j - 20 .k s3 = - 20/3.(i - 2 .j + 2 .k) s1  s2s3 Calcular la tensión correspondiente a un plano cuya normal exterior forma ángulos agudos iguales con los semiejes positivos del triedro OXYZ. (u1 )2= (4 + 4 + 1) (u2 )2 = (4 + 1 + 4) (u3 )2 = (1 + 4 + 4) (u1 )2 +(u2 )2+(u3 )2 = 1 u1 = 1/3.(2 .i + 2 .j + k) u2 = 1/3·(2 .i - 1 .j - 2 .k) u3 = 1/3.(-i + 2 .j - 2 .k)

27. s1 50 0 0 a’ b’ g’ 0 0 5· 3-3/2 - 3-3/2 - 3-3/2 [s]= 0 0 30 s2 0 0 * = * 20 s3 0 0 0 0 Problema Nº 2 s1 = 50/3.(2 .i + 2 .j + k) s2 = 20 .i - 10 .j - 20 .k s3 = - 20/3.(i - 2 .j + 2 .k) s1  s2s3 a2+ b2+g2 = 1 u1 = 1/3.(2 .i + 2 .j + k) u2 = 1/3·(2 .i - 1 .j - 2 .k) u3 = 1/3.(-i + 2 .j - 2 .k) a= b=g = 3-1/2 u = a · i + b · j + g· k = 3-1/2· ( i + j + k) a’= u1·u = 3-1/2 ·1/3·(2 + 2 + 1) = 5· 3-3/2 x=x*a1+y*a2+z*a3 y=x*b1+ y*b2+z*b3 z=x*g1+ y*g2+z*g3 b’= u2·u = 3-1/2 ·1/3·(2 - 1 - 2) = - 3-3/2 g’= u3·u = 3-1/2 ·1/3·(-1 + 2 - 2) = - 3-3/2 = 250· (3-3/2)·i - 30·3-3/2·j- 20·3-3/2·k = 48,61 MPa