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代数学

代数学. 章 璞 上海交通大学 2007-12-26. 主要内容. 一点历史 粗略分类 问题案例 前景展望. “ 代数学 ” 的来历. 徐光启（ 1562 － 1633 ），上海徐家汇人 农学、天文、数学家 将“ Geometry” 译成“几何” 与利玛窦合译 《 几何原本 》 前 6 卷 李善兰（ 1811 － 1882 ），浙江海宁人 数学、天文、植物学家 将“ Algebra” 译成“代数” 译 《 代数学 》13 卷；与伟烈亚力

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代数学

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Presentation Transcript

  1. 代数学 章 璞 上海交通大学 2007-12-26

  2. 主要内容 • 一点历史 • 粗略分类 • 问题案例 • 前景展望

  3. “代数学”的来历 徐光启（1562－1633），上海徐家汇人 农学、天文、数学家 将“Geometry”译成“几何” 与利玛窦合译《几何原本》前6卷 李善兰（1811－1882），浙江海宁人 数学、天文、植物学家 将“Algebra”译成“代数” 译《代数学》13卷；与伟烈亚力 合译《几何原本》后9卷

  4. 古典代数学：中心问题 Algebra (代数学)的原始含意： 用字母代替数进行运算 古典代数学（至19世纪上半叶）中心问题： 求代数方程的根

  5. 古典代数学：代表性成就 古代巴比伦人:2次方程求根公式 13世纪秦九绍:高次方程的近似解 16纪意大利:3和4次方程求根公式 18世纪初: 复数系的建立 18世纪未：Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 证明了 代数基本定理

  6. 不可逾越的困难 4次方程解出之后200余年，许 多数学家相信更高次方程的求根 公式仍存在，并寻找这样的公式 Lagrange首次意识到不存在此公式 Niels H. Abel(1802-1829)证明 了5次方程无求根公式。但未及说 明哪些方程根式可解

  7. 古典代数学的终结 Evariste Galois(1811-1832) 17岁发现：代数方程的根式可解性 是由这个方程的Galois群的可解性 决定的.因此，5次及以上代数方程 不存在求根公式。而古典代数学的 其它难题（如尺规作图和倍方问题），此后也均可 用Galois理论得到完全解决。从而古典代数学终结

  8. Galois的境遇 1829:Galois论文由Cauchy审理，被遗失 1830:由Fourier审理，不久Fourier逝世 1831:再由Poisson审:“完全不能理解”,要其详细说明 1832-5-30夜Galois留下1份说明 第2天便与情敌决斗而死 1846: Liouville决定发表Galois的文章 1870: Jordan全面清晰地阐明Galois工作 从此Galois的工作得到完全承认

  9. Hermann Weyl的评价 “Galois的论述在好几十年中一直被看 成是“天书”；但是，它后来对数学的 整个发展产生愈来愈深远的影响。如 果从它所包含思想之新奇和意义之深 远来判断，也许是整个人类知识宝库 中价值最为重大的一件珍品”

  10. 对称和美

  11. 代数学新纪元 1843:Hamilton发现四元数代数 1846:Cayley引进抽象群和矩阵 1871:Dedekind引进理想 1872:Klein发表群的几何学纲领 1873:Lie创立Lie群 1894:Cartan分类复半单Lie代数 1896:Frobenius创立有限群表示论 1904:Schur建立无限群表示

  12. 代数学新纪元 1905:Wedderburn确定半单代数 1911:Steinitz奠基域论 1921:Noether奠基环论 1931:Van der Waerden出版《近世代数》 1942:Lefschetz出版《代数拓扑》 1946:Weil出版《代数几何学基础》 1956:Cartan-Eilenberg出版《同调代数》 至此，近世代数的最主要 的分支出现

  13. AMS分类中的代数学分支 06??? Order, lattices, ordered algebraic structures 08??? General algebraic systems 12??? Field theory and polynomials 13??? Commutative rings and algebras 14??? Algebraic geometry 15??? Linear and multilinear algebra; matrix theory 16??? Associative rings and algebras 17??? Nonassociative rings and algebras 18??? Category theory; homological algebra 19??? K-theory 20??? Group theory and generalizations 22??? Topological groups, Lie groups 43??? Abstract harmonic analysis 55??? Algebraic topology 81??? Quantum theory 15/95

  14. AMS分类中的代数学分支 交换代数 结合代数 Lie代数 范畴论与同调代数 K-理论 群论 量子化代数

  15. ArXiv分类中的代数学分支 Algebraic Geometry (math.AG) Algebraic Topology (math.AT) Category Theory (math.CT) Commutative Algebra (math.AC) Group Theory (math.GR) K-Theory and Homology (math.KT) Mathematical Physics (math.MP) Operator Algebras (math.OA) Quantum Algebra (math.QA) Representation Theory (math.RT) Rings and Algebras (math.RA) 11/32

  16. ArXiv分类中的代数学分支 范畴论(math.CT) 交换代数(math.AC) 群论(math.GR) K-理论和同伦(math.KT) 量子化代数 (math.QA) 表示论(math.RT) 环与代数(math.RA)

  17. 代数学的粗略分类 交换代数 代数表示论 Kac-Moody代数 同调代数与K-理论 群论与群表示论 量子群与代数群 代数编码 环论与Hopf代数

  18. 代数学的研究对象 代数学研究各种代数结构及其表示和上同调；它们的组合、计算等方面的性质；及其应用；它们之间的相互联系；以及和其它学科之间的联系

  19. 注记与观察 • 代数结构：带有若干二元运算、且满足特定条件的集合 • 和谐：若有多种运算，则必有使这些运算“和谐”的公理 • 基本的代数结构：群、环、域、(结合)代数、Lie代数 • 其它重要结构多为这5种的强、弱、组合或变形。如：Lie (代数、量子)群、格、交换（Hopf、Kac-Moody、Poisson、 Clifford、顶点算子、微分分次、Koszul、Calabi-Yau）代数，等等

  20. 作用、联系、比较、显示差别 • 结构的表示：容许结构作用的一个向量空间，这样的作用 与该结构的运算是“和谐”的 • 表示论：最初是想通过结构在不同表示上的作用效果达到理解 结构目的。现在，表示论成为代数学最活跃分支之一 • 范畴论：将要研究的同类对象放在一起，看重对象之间的相互 联系和整体的性质、以及这个整体与别的整体的联系 • 上同调：如果所要研究的一串对象可由特殊的态射联系起来成 为复形，则比较相邻态射的像和核便得到上同调

  21. 代数学关心的基本问题 • 构造；分类 • 简单与复杂、特殊与一般: 比较、联系 • 部分对整体的影响，或相互确定 • 计算各种上同调，并说明其意义 • 结构、表示、上同调之间的联系 • 不同结构之间、代数与其它学科之间联系与转换 等等

  22. 案例 Hopf代数皆有代数和余代数的结构，它的余乘映射 和余单位映射均是代数同态、并且还存在一个所谓的反 极映射。 1980’s Drinfeld发现量子群的基本结构是Hopf,而 且产生Yang-Baxter方程的解。从而引起极大关注

  23. 若干相关的定理 • 群代数与Lie代数的包络代数恰好是 余交换的Hopf代数 • 量子群和量子广义Kac-Moody代数 均是Hopf代数,且均有三角分解 • 有限维Hopf代数是Frobenius代数 • 有限维Hopf代数H的子Hopf代数的维数整除H的维数 • 阶少于3个素因子的群、和奇数阶群，均为可解群 • 特征0域上有限群G的不可约表示的维数整除G的维数 • Kaplanski猜想：特征0代数闭域上半单Hopf代数H的不可约表示 的维数整除H的维数

  24. 代数表示与量子群 1970’s Auslander解决Brauer猜想并 奠定代数表示论。此后这一分支得到很大发展。1990’s Ringel 重新发现Hall代数；并和Green用有限域上遗传代 数的Hall代数的子代数合成代数成功实现量子群；接着 Van den Bergh 用Hall代数本身实现量子广义Kac-Moody 代数。从而架起代数表示与量子化代数的桥梁

  25. 代数结构与表示 的图的组合方法 使用图是抽象的代数具体化的重要手段。复 半单Lie 代数分类由Dynkin图表达。Gabriel 和Ringel更是用图来表达代数的结构和代数的表示。有限型遗传代数的分类也同样完全由Dynkin图表达。图的组合方法极大地推进和丰富了代数学的研究成果

  26. 群表示 代数表示 三角范畴 刚 性 上同调 Hall代数 CY代数 同调 代数 Poisson 量子群 数学物理 包络 代数 图论 YM代数 Koszul 非交换 几何 Lie代数 Hopf 代数

  27. 三角范畴 三 角 范 畴 Serre对偶 稳定范畴 代数 CY YM Hopf Poisson …… 图 CY范畴 商范畴 导出范畴 Hall运算

  28. Calabi-Yau范畴与周期性

  29. 顶点算子代数 代数学的应用 顶点算子代数是共形场论和统计力学中重要的代数结 构，是Borcherds等研究魔群和Moonshine模时开创的 代数学是基础的学科 然而它有重要的应用 最典型的例子它是 编码和密码学的基础

  30. 代数和组合共进 连续与离散齐飞 确定和随机同妙 基础与应用并重 物理和事理相融 人类与自然和谐

  31. 谢谢各位！ 并祝新年快乐！

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