应用题专题复习

1. 应用题专题复习

2. 引言： 素质教育呼唤应用意识，近几年来的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度，突出对能力的考查——重视应用，培养应用数学的意识，培养分析问题的解决问题的能力。 分析近几年高考应用性问题不难得出，试题从实际出发提供公平背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识和基本方法。 解决应用性问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为： 实际问题 分析、联系、抽象、转化 建立数学模型（列数学关系式） 数学方法 回答问题 实际结果 数学结果 解决应用性问题的关键是读题——懂题——建立数学关系式。

3. D C A O B 要求AE，则在三角形AED中考查。 ADB是直角三角形，DE是斜边是的高 从而有y=2x+（2R- ） 即y= - 2x+2R （0〈x〈R） 例1、如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上.写出这个梯形周长y和腰长x的函数式，并求出它的定义域. 分析：周长（y）=2AD+CD =2x+CD 关键是如何把CD用x来表示。 E F 而CD=EF=AB-2AE=2R-2AE

4. y=-x2 +40x+500 例2、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润. 分析：利润=（零售价—进货单价）销售量 故有：设利润为 y元，零售价上涨x元 y=（50+x-40）（50-x） （其中 0〈x〈50）） 即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润. 最高利润为900元.

5. 例 3、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的 。根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平. （1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？ （2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？ 分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。 该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润

6. 略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。 y= + （2）2005年时，n=9此时y= =8201.25+28.9 当且仅当n=2时，即98年总利润最少为y=960万元。 故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温饱问题。 即2005年底该乡能达到小康水平。

7. （2） 例4、 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。 （1）设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式； （2）如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由。 分析要求y与x的函数关系式，就是找出 DE与AD的等量关系。 （1）三角形ADE中角A为600 故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。

8. 解：（I）∵ΔABC的边长为20米，D在AB上，则10≤x≤20。解：（I）∵ΔABC的边长为20米，D在AB上，则10≤x≤20。 则 （II）若DE做为输水管道，则需求y的最小值。 等号成立； 若DE做为参观线路，须求y的最大值。 令 设

9. ∴当t=200，即 当t=100或t=400即x=10或20时， 故若DE是输水管道的位置，则需使 若DE是参观线路，则需使x=10或20 当100≤t1<t2≤200时，104<t1t2<4•104, ∴t1t2-4•104<0，又t1-t2<0,t1t2>0,∴f(t1)>f(t2)， 则f(t)在[100，200]上是减函数。 当200≤t1<t2≤400时，4·104<t1t2<42•104, ∴t1t2-4•104>0，又t1-t2<0,∴f(t1)<f(t2)， 则f(t)在[200，400]上是增函数。

10. 例5、从北京(北纬40°，东经120°) 飞往智利的圣地亚哥(南纬30°，西经70°)，有两条航空线供其选择： 甲航空线：从北京向西飞到纽约(北纬400，西 经70°)，然后向南飞到目的地． 乙航空线：从北京向南飞到澳大利亚的弗里曼特尔(南纬30°，东经120°)，然后向西飞到目的地．请问：哪一条航空线较短？（飞行航线走的都是球面距离） 分析：甲航线A C B。 乙航线A D B。 只需比较 大小，而两弧都是地球大圆上的弧长，故只需比较AC与BD大小。 C O1 (两者相等，因两弧都在经度线，即地球 大圆上，且角AOD与角COB相等为700） A O B O2 D 由此可得BD>AC 具体解答过程同 学们课后整理。 即甲航空线较短。

11. 例6、荆州市某电脑公司在市区和洪湖各有一分公司，市区分公司现有电脑6台，洪湖分公司有同一型号电脑12台，宜昌某单位向该公司购买该型号电脑10台，荆门某单位向该公司购买该型号电脑8台，已知市区运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是40元和30元，洪湖运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是80元和50元．例6、荆州市某电脑公司在市区和洪湖各有一分公司，市区分公司现有电脑6台，洪湖分公司有同一型号电脑12台，宜昌某单位向该公司购买该型号电脑10台，荆门某单位向该公司购买该型号电脑8台，已知市区运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是40元和30元，洪湖运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是80元和50元． （1）设从洪湖调运x台至宜昌，该公司运往宜昌和荆门的总运费为y元，求y关于x的函数关系式； （2）若总运费不超过1000元，问能有几种调运方案？ （3） 求总运费最低的调运方案及最低运费． 分析： 注：x取值范围是什 么？ 宜昌 （要10台） 宜昌 10-x 40（10-x） 40元/台 荆门 荆州 80元/台 荆州 荆门 （要8台） X-4 30（x-4） 30元/台 50元/台 洪湖 有6台 宜昌 x 80x 洪湖 有12台 荆门 12-x 50（12-x）

12. （2） 即 得： 而 故X=4、5、6 所以有三种调配方案总运费不超过1000元。 略解：（1）设从洪湖调运x台至宜昌，则由题意可得： y= 40（10-x）+ 30（x-4）+80x+ 50（12-x） 得：y=20x+880 （3）显然x取最小时，y值最小。 即x=4时，y最小为960元。

13. 例7、GDP（Gross Domestic Product）称为国内生产总值. 我国这四年GDP值如下表： 年 1997 1998 1999 2000 GDP（万亿元）7.4 7.8 8.2 8.9 （1）在右边坐标系画出表示这四年我国GDP的增长曲线，并根据我国近四年GDP增长规律，由所绘曲线估计2001年我国GDP值可能在什么范围内； （2）2000年我国人均GDP约为900美元，如果按7.5％的年平均增长率计，经过10年，在2010年时，可否翻一翻达到人均1800美元水平？试计算你的结果. （要求使用二项式定理进行估值计算） GDP 10 9 8 7 年 97 98 99 00 01

14. 解：（1）由图，若按1997～1999年的规律增长，2001年将达9.3万亿元； 若按1999～2000年规律增长，2001年将达9.6万亿元. ∴ 2001年我国GDP值y的范围大致为： 9.3至9.6（万亿元） (2)按7.5％的年均增长率，经10年后， 人均GDP值为 900（1＋7.5%）10 ＝900(1＋0.75＋0.253＋…) >900(1+0.75+0.25) ＝1800. 答：10年后可以达到翻一翻的目标.

15. 例8、三台机器人位于一直线上（如图所示），它们所生产的零件逐一送到一个检验台，经检验合格后才能送到下一道工序继续加工.已知机器人M1的工作效率为机器人M2工作效率的2倍，机器人M3的工作效率为机器人M2工作效率的3倍，问检验台应放在何处最好，即各机器人到检验台所走距离之和最小？ 分析：各机器人到检验台所走距离之和= M1所走路程+M2所走路程+M3所走路程 如何求三者所走路程？ 设单位时间内M2完成N个零件；则M1、M3分别完成2N、3N个。再设检验台在数轴上坐标为x 。 同学们课后去完成该题解答

16. 得y=kx （2） y=kx 故 时，y最大值为 例9、渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群由足够的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当空闲量. 已知鱼群的年增长量y吨和实际养鱼量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k, (k>0) （1）   写出关于的函数y关于x关系式，并指出这个函数的定义域； （2）   求鱼群年增长量的最大值； （3）   当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围. 分析：（1）由题意可得y=kx（空闲率） 如何求空闲率？ 如何求定义域？

17. 即： （3） 当鱼群的年增长量达到最大值时，渔场中鱼群的养殖总量一定小于渔场中鱼群的最大养殖量m吨。

18. 在三角形BCO中考察。 角BOC=1200 A 在 AOB、 AOC中考察。 求得： C N 故由余弦定理 B o E 例10、海岛O上有一座海拔1km的小山，山顶没有一观察站A， 上午11时测得一轮船在岛的北偏东600的C处，俯角为300，11时10 分，又测得该船在岛的北偏西600的B处，俯角为600。 （1）求该船的速度； （2）若此船以不变的速度继续前进，则它何时到达岛的正西方向？ 此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？ 分析（1）时间为10分，关键是求CB距离。 如何求CB？ 如何求OB、OC？

19. C B O E 分析（2）考察三角形BOE。 如何求BE 、OE？ 所以从B到E所要时间为5分钟，即11点15分到达E。 此时E离小岛距离为1。5km。

20. 小结： 近年来高考应用题所涉及的数学知识无外乎函数、方程、不等式、数列、立体几何等到高中数学中最基本、最重要的内容，其中尤其以函数应用性问题最多。这类问题题源丰富，内容深刻，解法灵活多样，且较易与不等式、数列、几何等内容相关联，是历年高考应用问题命题的一个热点。 我们应该留心观察周围的现实世界并经常读报，以努力拓宽自已的知识面，对于一些常识性的概念如“复利”，“百分点”、“本息和”、“利润率”、“甲A联赛场数”等，都应成为我们熟知的词语。此外，环境、能源、人口、营养保健、知识经济，科技生产生活等方面的问题我们要予以高度重视。

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