Gry w postaci ekstensywnej

1. Gry w postaciekstensywnej Wykład 5

2. Trzy firmy • Równowaga indukcji wstecznej: (OUT; OUT; AAF) • Jest jednak dużo więcej równowag Nasha, na przykład • (IN;IN; AFA) – niewiarygodna groźba Tesco.

3. Forma standardowa

4. Dr Strangelove • Komandor floty powietrznej Stanów Zjednoczonych rozkazuje 34 B-52, aby rozpocząć nuklearny atak na Związek Radziecki • Zamyka wszystkie kanały komunikacji z bazą i samolotami • Amerykański prezydent zaprasza rosyjskiego ambasadora do war room i wyjaśnia sytuację • Decydują się zadzwonić do rosyjskiego premiera Dimitrija

5. Dr Strangelove • Co jest wynikiem jeśli Stany Zjednoczone nie wiedzą o istnieniu doomsdaydevice? • Co jest wynikiem jeśli wiedzą? • Zobowiązanie (commitment) musi być obserwowalne • Co jeśli Związek Sowiecki może zdezaktywować urządzenie? • Zobowiązanie musi być nieodwracalne Thomas Schelling: Thepower to constrain an adversarydepends upon thepower to bind oneself

6. Wiarygodne zobowiązania (groźby) • W sytuacjach nie-strategicznych więcej opcji nigdy nie zaszkodzi • Tak nie jest w sytuacjach strategicznych • Można zmienić działanie swojego przeciwnika eliminując niektóre swoje opcje działania

7. Przykłady • 1066: William Zdobywca rozkazał swoim żołnierzom spalić statki po wylądowaniu, aby uniemożliwić im odwrót • 1519: HernanCortes zatopił swoje statki po wylądowaniu w Meksyku z tego samego powodu • Sun-tzu w Theart of war, 400 przed Chrystusem: Atthecritical moment, the leader of an armyactslike one whohasclimbedup a height, and thenkicksawaytheladderbehindhim

8. Skarb piratów • 5 racjonalnych piratów Adam, Bogdan, Czesio, Dzidek i Eustachy znajdują wielką skrzynię ze skarbem a w niej 200 sztuk złota. • Piraci mają ścisły porządek starszeństwa odpowiadający przeszłym zasługom i sile: Adam jest nad Bogdanem, Bogdan nad Czesiem, Czesio nad Dzidkiem a Dzidek nad Eustachym. • Najpierw Adam proponuje jak rozdzielić 200 sztuk złota między pozostałych • Wszyscy piraci głosują demokratycznie • Jeśli większość zaakceptuje – propozycja przechodzi • Jeśli większość odrzuci – zabijają Adama i następny w kolejności pirat proponuje podział

10. Skarb piratów Gra sekwencyjna – znajdziemy SPNE poprzez indukcję wsteczną: 4 krok:zostało tylko dwóch piratów, Dzidek przydziela sobie cały skarb – remis, propozycja przechodzi 3 krok: zostało trzech piratów, Czesio proponuje – nie może dać Dzidkowi więcej niż miał, ale może dać Eustachemu

11. Skarb piratów 2 krok: czterech piratów zostało, Bogdan musi przekonać przynajmniej jednego – najlepiej Dzidka

12. Skarb piratów 1 krok: pięciu piratów zostało, Adam nie przekona Bodzia, ale może przekonać Czesia i Eustachego

13. Gry w formie ekstensywnej (drzewo) vs gry w formie strategicznej (tabelka) • Gra w postaci strategicznej składa się z: • Zbiór graczy • Dla każdego gracza: • Zbiór akcji • Funkcja wypłat dla każdego profilu akcji • Gry w postaci ekstensywnej zawierają więcej informacji: • Kolejność ruchów • Akcje, które mają do dyspozycji gracze na różnych etapach gry • Informacja dostępna dla graczy podczas gry

14. Drzewo – graf acykliczny • Wierzchołki: • Wierzchołki decyzyjne oraz losowe • Korzeń i liście • Krawędzie (gałęzie) • Etykiety graczy • Etykiety akcji • Wypłaty • Zbiory informacji

15. Strategie w grach ekstensywnych • Strategia czysta gracza jest to plan akcji w każdym wierzchołku decyzyjnym tego gracza • W równowadze indukcji wstecznej każdy gracz gra optymalnie w każdym wierzchołku decyzyjnym (gra sekwencyjnie racjonalną strategię) • Równowaga a wynik gry w równowadze

16. Innyprzykład • Kodak zastanawiasię, czywejśćnarynekfotografiinatychmiastowej a Polaroid zastanawiasięczywalczyćczysięzgodzić

17. Analiza • ZbiórrównowagNasha = {(In, A), (Out,F)} • (Out, F) jest opartenaniewiarygodnejgroźbiePolaroida • RównowagaindukcjiwstecznejeliminujerównowagiNasha, któresąopartenaniewiarygodnejgroźbie. • RównowagaNashawymagaracjonalności • Równowagaindukcjiwstecznejwymagaracjonalnościsekwencyjnej • Graczemuszągraćoptymalnie w każdympunkciegry

18. Gra w formie ekstensywnej z niedoskonałą informacją Nie możemy zastosować indukcji wstecznej, ponieważ K nie może znaleźć optymalnej strategii znajdując się w zbiorze informacji, który zawiera dwa wierzchołki

19. SubgameperfectEquilibrium • Podgra to część drzewa gry taka, że: • Zaczyna się od pojedynczego wierzchołka decyzyjnego • Zawiera każdy następnik tego wierzchołka • Jeśli zawiera jakiś wierzchołek w zbiorze informacji, wtedy zawiera wszystkie wierzchołki w tym zbiorze informacji Jetpodgrą Nie jest podgrą

20. SubgamePerfectNashEquilibrium • Czysta strategia gracza to plan akcji w każdym zbiorze informacji tego gracza • Profil strategii jest SPNE jeśli w każdej podgrze jest równowagą Nasha

21. Bank run

22. Panika finansowa • Dwóch inwestorów – każdy z nich zdeponował sumę D w banku. • Bank zainwestował w długoterminowy projekt. • Jeśli bank będzie zmuszony upłynnić inwestycję przed terminem zapadalności, wówczas będzie w stanie odzyskać tylko 2r, gdzie D>r>D/2 • Jeśli inwestycja „dotrwa” do końca, wypłata będzie równa 2R, gdzie R>D • Są dwa okresy, w których inwestorzy mogą wycofać swój wkład: • Okres 1, przed okresem zapadalności inwestycji • Okres 2, po okresie zapadalności • Nie ma dyskontowania

23. Niestandardowy sposób reprezentacji gry OKRES 1 • Jeśli oboje wypłacą, każdy otrzyma r • Jeśli jeden wypłaci a drugi nie, to ten pierwszy otrzyma D a drugi 2r-D i gra się kończy • Jeśli nikt nie wypłaci, wówczas przechodzimy do kolejnego etapu OKRES 2 • Jeśli oboje wypłacą, każdy otrzyma R • Jeśli jeden wypłaci a drugi nie, to ten pierwszy otrzyma 2R-D a drugi D • Jeśli żaden nie wypłaci, wówczas bank zwraca każdemu R R>D>r>D/2

24. Rozwiązujemy od tyłu OKRES 2 • Ponieważ R>D, “wypłaca” ściśle dominuje “nie wypł.”, dlatego (wypłaca, wypłaca) jest równowagą w strategiach ściśle dominuj. OKRES 1 • Nie ma dyskontowania, więc po prostu wstawiamy (R,R) • Dwie równowagi Nasha: • (nie wypł. nie wypł.) z wypłatą (R,R) • (wypłaca, wypłaca) z wypłatą (r,r) [panika finansowa] R>D>r>D/2

25. RównowagainduckjiwstecznejvsSPNE • Równowagaindukcjiwstecznejwystępuje w grachdynamicznych z doskonałąinformacją • SPNEbardziejogólna– takżedlagier z niedoskonałąinformacją • Od terazniebędęrobiłrozróżnienia, tylkobędęzawszemówił SPNE

26. Gra ultimatum • Gracz 1 proponuje podział 100 złotych (liczonych w dziesiątkach) • Gracz 2 akceptuje podział – każdy dostaje to co przewiduje podział, lub odrzuca – wtedy 100 złotych przepada • Jakie gracze mają strategie? Ile ich jest? • Co jest równowagą SPNE? Ile ich jest?

27. Gra ultimatum • Jedyne równowagi SPNE to • (0, AAAAAAAAAAA) • (1,OAAAAAAAAAA)

28. Gra ultimatum • (5,OOOOOAAAAAA) jest równowagą Nasha (czemu?), ale groźba gracza drugiego, że odrzuci wszystko poniżej 50 złotych jest niewiarygodna, nie jest SPNE ponieważ nie jest optymalna w drugiej podgrze. • Ile jest równowag Nasha?

29. Stonoga (Centipede) Co jest równowagą indukcji wstecznej? Krytyka: Jakiego rodzaju racjonalność jest wymagana?

30. Gry statyczne vs gry dynamiczne • Gry statyczne • Gracze ruszają się jednocześnie • Wybierają jedną akcję • Równowaga Nasha – profil akcji (jedna akcja najlepszej odpowiedzi dla każdego gracza • Gry dynamiczne • Gracze ruszają się sekwencyjnie • Wybierają jedną akcję w każdym swoim zbiorze informacyjnym • SPNE – profil strategii (jedna strategia najlepszej odpowiedzi w każdej podgrze dla każdego gracza