4.1.1 罗尔中值定理

1. 4.1.1 罗尔中值定理 • 现在我们开始讨论函数导数的更进一步的结果，由于这些结果都与某一个区间内的某一个中间点处的导数值有关，所以，把这些结果统称为中值定理 。本段要介绍的罗尔定理就是其中一 个较简单的结果。 • 定理1（罗尔定理） 设函数 f(x)在区间[a,b]上有定义，如果 （1）函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续； （2）函数 f(x)在开区间（a，b）内可导； （3）函数 f(x)在区间两端点处的函数值相等，即 f(a)= f(b); 则在（a，b）内至少存在一个点 a<<b，使得 f ()=0 . • 证明：根据闭区间上连续函数的性质，函数f(x)在区间[a,b]上必有最大值M和最小值m，即存在 x1 ，x2 [a,b]， 使得 f(x1)=M ， f(x2)= m，

2. 以下分两种情况：(1) M = m; (2) M  m 来讨论。 • （1）当M = m时，函数 f(x)在区间[a,b]上为常数，于是它的导数在开区间（a，b）内恒为 0，因此定理结论成立。 • （2）当M  m时，由条件f(a)= f(b) 可知，函数的最大值和最小值中至少有一个是在开区间内取得，不妨设函数的最大值在开区间内取得，即x1 (a,b)，使得 f(x1)=M 。根据函数可导性的条件，函数在 x1 处的导数一定存在。现在我们证明 f(x1)=0。 • 根据导数的定义，

3. 由于 f(x1)=M为函数的最大值，所以 • 同理 • 从而 • 即存在 =x1 (a,b)，a<<b，使得 f ()=0 • 综合（1）、（2）即知定理结论成立。 • 罗尔定理的几何解释: • 当曲线方程满足罗尔定理的要求 时，在区间内至少存在一点， 使得该点的切线的斜率为零，换 句话说，该点的切线平行于 x 轴. y M y=f(x) f(a) f(b) a b x1 o x

4. 例 1 不用求出函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的导数，说明方程 f (x)=0 有几个实根，并指出它们所在的区间。 • 解：由于函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) 在整个实数轴上连续、可导，并且 f(1)= f(2)=f(3)=f(4)= f(5)=0，分别在区间 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) 内应用罗尔定理，可得方程 f (x)=0 至少有4个实根，但由于f (x)是一个4次多项式，至多有4个实根，因此，方程 f (x)=0 只有4个实根，并且分别位于区间 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) 内。 • 例 2 设 试证方程 • 在区间(0,1)内至少有一个实根。 • 证明：记 则 f(0)=f(1)=0，从而存在0<<1,使得

5. 4.1.2 拉格朗日中值定理 • 本段要介绍的拉格朗日中值定理是一 个重要的中值定理，它可以看作是罗尔中值定理的推广。 • 定理 2（拉格朗日定理） 设函数 f(x)在[a,b]上有定义，如果 （1）函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续； （2）函数 f(x)在开区间(a，b)内可导； 则在(a，b)内至少存在一个点 a<<b，使得 • 证明：为了证明定理的结论，构造辅助函数 • 则容易验证，函数(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，且满足(a) = (b) = 0 , 由罗尔定理，则在(a，b)内至少

6. 存在一个点 a<<b，使得 ( ) = 0, 即 • 从而 • （证毕） • 拉格朗日中值定理的几何意义 • 当曲线方程满足拉格朗日定理的 要求时，在区间内至少存在一点 ，使得该点的切线平行于曲线 两端点 ( a, f(a) )与 ( b, f(b) )的连 线，其斜率为 f(b) y y=f(x) f(a) a  b o x

7. 例 1 若x>0,试证 • 证明：设函数 f(x)=ln(1+x) ,取区间为 [0，x]，则函数在区间 [0，x]上连续，在（0，x）内可导，并且 f(0)=0， f(x)=ln(1+x)， 在区间[0，x]内应用拉格朗日中值定理，可得 • 由于 • 所以 • 于是 （ 证毕）

8. 例 2 试证 |sin x -sin y|  | x - y | • 证明：设 x< y, 函数 f(t)=sin t, t [x, y] ,显然该函数满足拉格朗日中值定理的条件，应用拉格朗日中值定理，可得 • 所以 或者 |sin x -sin y|  | x - y | • 对于x> y的情况，类似地可以证明；而当x = y 时是显然成立的。这样综合即知，对任意的 x, y不等式均成立。 • 练习：(1) 试证 |cos x -cos y|  | x - y |. • (2) 试证 |arctg x -arctg y|  | x - y |.

9. 4.1.3 柯西中值定理 • 本段要介绍的柯西中值定理可以看作是拉格朗日中值定理的推广。 • 定理 3（柯西中值定理） 设函数 f(x), g(x)在[a,b]上有定义，如果它们满足 （1）函数 f(x)， g(x)在闭区间[a，b]上连续； （2）函数 f(x)， g(x)在开区间(a，b)内可导，且g(x)  0； 则在(a，b)内至少存在一个点 a<<b，使得 • 证明：类似于定理2的证明，构造辅助函数 • 则容易验证，函数(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)

10. 内可导，且满足(a) = (b) = 0 , 由罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一个点 a<<b，使得 ( ) = 0, 即 • 从而 • （证毕） • 柯西中值定理的几何意义 • 设曲线方程为 • 在区间内至少存在一点，使 得该点的切线平行于曲线两端 点 ( g(a), f(a) )与 (g(b), f(b) ) y f() f(b) x=g(t) y=f(t) f(a) g(a) x o g(b) g()

11. 的连线，其斜率为 • 例 1 若 0<a<b ,且函数 f(x)在闭区间[a，b]上可微，试证存在一个点，a<<b，使得 2 [f(b) - f(a) ] = ( b2 - a2 ) f ( )。 • 证明：将上述结论的形式变为 • 显然，只需取函数 g(x) = x2 , 则函数 f(x)， g(x) 在区间 [a，b]上满足定理3的条件， 应用柯西中值定理，可得 • （ 证毕）

12. 例 2 若 0<a<b ,且函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可微，试证存在一个点，a<<b，使得 • f(b) - f(a) =  ( lnb- lna ) f ( )。 • 证明：将上述结论的形式变为 • 显然，只需取函数 g(x) =ln x , 则函数 f(x)， g(x) 在区间 [a，b]上满足定理3的条件， 应用柯西中值定理，可得 • （ 证毕） • 设 x< y, 函数 f(t)=sin t, t [x, y] ,显然该函数满足拉格朗日中值定理的条件，应用拉格朗日中值定理，可得 • 所以 或者 |sin x -sin y|  | x - y | • 对于x> y的情况，类似地可以证明；而当x = y 时是显然成立的。这样综合即知，对任意的 x, y不等式均成立。 • 练习：(1) 试证 |cos x -cos y|  | x - y |. • (2) 试证 |arctg x -arctg y|  | x - y |.