Henneberg-Konstruktion in O(n²)

Henneberg-Konstruktion in O(n²) Konstruktion von Laman-Graphen mittels Rot-Schwarz-Hierarchien Marko Walther WS 07/08

Überblick • Grundlagen und Definitionen • Die Rot-Schwarz-Hierarchie (RSH) • Charakterisierung von Laman-Graphen mittels der RSH • Berechnung der Henneberg-Konstruktion mittels der RSH in O(n²)

Grundlagen

Theorem 1(Charakterisierung von Laman-Graphen): Ein Graph G(V,E) heißt Laman-Graph genau dann, wenn:

Theorem 2 (Henneberg): Ein Graph ist genau dann ein Laman-Graph, wenn für ihn eine Henneberg-Konstruktion existiert.

Theorem 3 (Lovász und Yemini): Ein Graph G(V,E) mit n Ecken und 2n-3 Kanten ist ein Laman-Graph genau dann, wenn für jede Kante e aus E der Multigraph G+e, der durch Hinzufügen einer Kante parallel zu e entsteht, die Vereinigung von zwei kantendisjunkten Spannbäumen ist.

Definition 1: 3tree2-Partition

Beispiel für 3tree2-Partition:

Theorem 4: Ein Graph G(V,E) ist ein Laman-Graph genau dann, wenn er eine 3tree2-Partition zulässt.

Die Rot-Schwarz-Hierarchie (RSH)

Definitionen:

Definition: Hierarchie

Beispiel: Hierarchie

Definition: Rot-Schwarz-Hierarchie Eine Rot-Schwarz-Hierarchie ist eine Hierarchie welche folgenden 4 Regeln genügt:

1. Wurzel-Regel: Die Wurzel von T hat genau zwei Kinder.

2. Blatt-Regel: Eine Ecke v von T ist genau dann das einzige Kind seines Elternknotens, wenn v ein Blatt ist.

3. Querkanten-Regel: Die Endecken jeder Querkante haben denselben Großelternknoten, jedoch unterschiedliche Elternknoten.

4. Baum-Regel: Für jede Ecke v aus T bilden die Querkanten, die inzident zu Enkelknoten von v sind einen Baum, der alle Enkel von v verbindet.

Färbung der RSH: • Ecken gerader/ungerader Tiefe werden rot/schwarz eingefärbt. • Kanten können rot oder schwarz gefärbt sein. • Querkanten haben die Farbe ihrer Endpunkte.

Beispiel: Rot-Schwarz-Hierarchie Hierarchie H

Charakterisierung von Laman-Graphen mittels der RSH Die RSH als Charakterisierung von Laman-Graphen.

Bezeichnungen:

Lemma 5:

Beweis: Lemma 5

Beweis: Lemma 5 Lemma 5 impliziert auch, dass nicht für jeden Graphen eine RSH existiert.

Lemma 6:

Beweis(Skizze): Lemma 6

Folgerung aus Lemma 5,6: Graphen, für die eine RSH existiert sind Laman-Graphen.

Theorem 7:

Beweis: Theorem 7 Der Beweis wird hier nicht geführt. Nur soviel: Die RSH wird konstruiert, indem der Graph G in eine 3tree2-Partition zerlegt wird und aus dieser rekursiv die Unterbäume der Knoten in H sowie die Querkanten erzeugt werden. Für einen ausführlichen Beweis, siehe [2].

Laufzeit: Die 3tree2-Zerlegung kann in O(n²) Zeit konstruiert werden (siehe [3]). Die Knoten in H der selben Tiefe werden in O(n) Schritten bearbeitet. Da die Höhe der RSH O(n) beträgt, folgt eine Laufzeit von O(n²).

Folgerung: Ein Graph ist genau dann ein Laman-Graph, wenn für ihn eine RSH existiert. Damit ist die RSH eine weitere Charakterisierung von Laman-Graphen neben der 3tree2-Partitionierung z.B. .

Lemma 8 (Validierung der RSH): Sei H eine Hierarchie für den Graph G. Es kann in O(n) Schritten überprüft werden, ob H eine Rot-Schwarz-Hierarchie ist.

Beweis: Lemma 8

Beweis: Lemma 8 Nun wird überprüft, ob H allen 4 Regeln für RSH genügt.

Beweis: Lemma 8 Die Wurzel-Regel kann in O(1) Zeit überprüft werden.

Beweis: Lemma 8 Die Blatt-Regel kann für jedes Blatt und jeden inneren Knoten von H überprüft werden. Dafür sind O(n) Schritte notwendig.

Beweis: Lemma 8

Beweis: Lemma 8 Die Baum-Regel kann in O(m+n) Zeit überprüft werden. Es folgt eine Gesamtlaufzeit von O(n).

Berechnung der Henneberg-Konstruktion mittels der RSH in O(n²)

a a v b b Henneberg-Operationen: Henneberg-Einfüge-Operation vom Typ I

a b Henneberg-Operationen: a v b Henneberg-Einfüge-Operation vom Typ II

Henneberg-Operationen: Die inversen Operationen werden Henneberg-Lösch-Operationen vom Typ I bzw. Typ II genannt.

Theorem 9:

Beweis(Vorbemerkungen): Theorem 9

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