EINI-I Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I

EINI-IEinführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I Vorlesung 2 SWS WS ‘99/00 Gisbert Dittrich FBI Unido dittrich@cs.uni-dortmund.de

Gliederung Kapitel 8 • Motivation • Suchen in einfach verketteter Liste + deren Nachteile • Binärer Suchbaum • Grobideen: Suchen, Suchstruktur • Idee Baum • Binärer Baum, Knotenmarkierung, Implementierung knotenmarkierter bin. Bäume, Suchbaum • Suchen • Einfügen • Analyse

Suchen in einer Liste bool Suchen (int i, Liste * L) { if (L == NULL) return false; else return (L->Element == i? true: Suchen(i, L->weiter)); }

Suchen in einer Liste • Ist L die leere Liste: i kann nicht inL sein. • Ist L nicht leer • entweder i ==L->Element • oder iwird in L->weitergesucht

Suchen in einer Liste • Problem: langsame Suche • jedes Element muß bei einer erfolglosen Suche betrachtet werden • also: Suchzeit proportional zur Anzahl der Elemente in der Liste (lineare Suchzeit)

Suchen in einer Liste • Beispiel • erfolglose Suche bei 109 Elementen braucht 109 Vergleiche, also (pro Vergleich 10-5 sec.) 104 sec =~ 2,7 h • Bei geschickter Anordnung der Daten geht´s mit ~35 Vergleichen, also in ~3.5.10-4 sec.

Suche „in einer Hälfte“ • Grobidee: • Suchen in geordneter "Liste" durch Überprüfen des "mittleren" Elementes + Fortsetzung in einer Hälfte • Beispiel: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 7 8 17 19 36 40 k: 19 k:5 OK : nicht vorhanden

Suchstruktur Aufgabe: Trage die Zahlen 17, 4, 36, 2, 8, 19, 40, 6, 7 in eine baumförmige Struktur so ein: 17 4 36 2 8 19 40 6 7

Ziel: Binärer Suchbaum • Zu diesem Ziel nacheinander definieren: • (Binärer) Baum • Knotenmarkierter binärer Baum • Binärer Suchbaum

Idee von Baum Die Informatiksicht: Abstrahiert 2 Künstlerisch Abstrahiert 1

Binärer Baum Definition: (Binärer Baum) 1.) Der "leere" Baum  ist ein binärer Baum mit der Knotenmenge . 2.) Seien Bi binäre Bäume mit den Knotenmengen Ki , i = 1,2. Dann ist auch B = (w, B1, B2) ein binärer Baum mit der Knotenmenge K = {w} –K1– K2. (– bezeichnet disjunkte Vereinigung.) 3.) Jeder binäre Baum B läßt sich durch endlich häufige Anwendung von 1.) oder 2.) erhalten.

Binärer Baum • Sprech-/Darstellungsweisen (im Falle 2.)): Sei B = (w, B1, B2) binärer Baum w heißt Wurzel, B1 linker und B2 rechter Unterbaum. Wurzel w B1 B2 linker Unterbaum rechter Unterbaum

Binärer Baum • Darstellung eines Beispiels nach Definition: B1 = (k1, , (k2, (k3, , ), )). k1 k2 k3

innerer Knoten Blatt Terminologie Binäre Bäume Wurzel

Knotenmarkierter binärer Baum Definition: Sei M eine Menge. (B, km) ist ein knotenmarkierter binärer Baum (mit Markierungen aus M) :¤ 1.) B ist binärer Baum (mit Knotenmenge K = K(B)) 2.) km: K --> M Abbildung. (Markierung/Beschriftung der Knoten k  K mit Elementen m  M)

Knotenmarkierter binärer Baum Beispiel: (M := $, $ := Menge der ganzen Zahlen) damit existiert auf M eine Ordnung ! Damit: "Übliche" Darstellung der Knotenbeschriftung km durch "Anschreiben" der Beschriftung an/in die Knoten. k1 16 24 k2 18 k3

Datentyp BinBaum • Implementierung knotenmarkierter binärer Bäume durch eine struct mit Zeigern: • Inhalt, (hier z. B.) ganzzahlig (Später allgemeiner möglich) • Zeiger jeweils auf den linken und den rechten Unterbaum struct BinBaum { int Element; BinBaum *Lsohn, *Rsohn; }

Binäre Suchbäume Definition: (B, km) ist ein binärer Suchbaum (über $) :¤ 1.) (B, km) ist ein binärer, knotenmarkierter Baum. 2.) Ist w die Beschriftung der Wurzel w, so ist die Wurzelmarkierung im linken Unterbaum kleiner als w, die Wurzelmarkierung im rechten Unterbaum größer als w. (Jeweils, sofern diese vorhanden.) 3.) Ist (B, km) mit B , B = (w, B1, B2), so sind (Bi,kmi) mit kmi := km|Bi (i= 1,2) binäre Suchbäume.

Binäre Suchbäume Beispiel: Aufgaben im Zusammenhang mit (binären) Suchbäumen: • Suchen nach Markierungen/Elementen im Suchbaum • Aufbau solcher Bäume • Abbau, z. B. Entfernen eines Knotens mit Markierung • Durchlaufen aller Knoten

Binäre Suchbäume: Suchen Gegeben: ein binärer Suchbaum (durch Zeiger B darauf), ganze Zahl k Problem: Istk in durch B bezeichneten Baum gespeichert? Lösungsidee: Stimmt B->Element mit k überein: Antwort ja Gilt B->Element < k: suche in B->Rsohn Gilt B->Element > k: suche in B->Lsohn Ist B leer, Antwort nein

17 4 36 2 8 19 40 6 7 Binäre Suchbäume: Suchen Suche nach dem Element 19 Suche nach dem Element 5

Binäre Suchbäume: Suchen bool Suche (BinBaum * B, int k) { if (B == NULL) return false; else { if (B->Element == k) return true; else if (B->Element < k) return Suche(B->Rsohn, k); else if (B->Element > k) return Suche(B->Lsohn, k); } }

Binäre Suchbäume: Einfügen • Aufbau durch wiederholtes Einfügen in einen leeren binären Suchbaum • Einfügeoperation für binären Suchbaum *B und eine ganze Zahl k • B == NULL: erzeuge neuen Knoten, weise ihn B zu und setze B->Element = k • B != NULL • B->Element < k: Einfügen vonk in B->RSohn • B->Element > k: Einfügen von k in B->LSohn

Binäre Suchbäume: Einfügen BinBaum *Einfuegen (BinBaum * B, int k) { if (B == NULL){ Binbaum *Hilf = new BinBaum; Hilf->Element = k; Hilf->Lsohn = Hilf->Rsohn = NULL; return Hilf; } else { if (B->Element < k) B->Rsohn = Einfuegen(B->Rsohn, k); else if (B->Element > k) B->Lsohn = Einfuegen(B->Lsohn, k); return B; } }

Binäre Suchbäume: Einfügen • Rekursion wichtiger Bestandteil der Funktion • Idee: • suche den Unterbaum, in den eingefügt werden soll, • füge in den Unterbaum ein, • weise diesem Unterbaum das Resultat der Einfügung zu.

weise dem Unterbaum das Resultat der Einfügung zu Suche den Unterbaum, in den eingefügt wird Kommentar: Einfügen if (B->Element < k) B->Rsohn = Einfuegen(B->Rsohn, k); else if (B->Element > k) B->Lsohn = Einfuegen(B->Lsohn, k); return B;

Analyse: Einfügen • Wie schnell geht das eigentlich? • Maß für die Güte eines Algorithmus: • Anzahl von Operationen und • Speicherplatz-Verbrauch • hier: • Speicherplatz: pro Knoten eine Instanz von BinBaum, also relativ uninteressant. • Operationen sind hier Vergleiche: interessant

Analyse: Einfügen • Frage: wieviele Vergleiche sind beim Einfügen (oder bei der erfolglosen Suche) notwendig? • Antwort: nicht so leicht zu geben: • ist der günstigste Fall gemeint? (klar: 1) • ist der ungünstigste Fall gemeint? (auch ziemlich klar: längster Pfad im Baum) • ist der durchschnittliche Fall gemeint? (völlig unklar)

Suchen: ungünstigster Fall • Erfolglose Suche: • suche von der Wurzel zu einem Blatt, jeder Knoten entspricht einem Vergleich. • Höhe eines Baums: • gibt den längsten Pfad von der Wurzel zu einem Blatt an. Ist rekursiv definiert • Höhe des leeren Baums ist 0, • Höhe eines nicht-leeren Baums ist 1 + max{Höhe Lsohn, Höhe Rsohn}

17 4 36 2 8 19 40 6 37 7 Höhe eines binären Baums Der Baum hat die Höhe 5

Suchen: ungünstigster Fall • Es gilt der Satz: Ein binärer Baum der Höhe n hat zwischen n und 2 n- 1 Knoten. • Daraus folgt: k Knoten können in einem binären Baum gespeichert werden, der eine Höhe zwischen ~log2 k und k hat • Also: der schlechteste Fall bei der erfolglosen Suche in einem binären Suchbaum mit k Elementen liegt bei k Vergleichsoperationen

Suchen: zu erwartender Fall • Die erfolglose Suche in einem binären Suchbaum mit k Elementen erfordert im Durchschnitt proportional zu log k Vergleichsoperationen. • Recht kompliziert herzuleiten.

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